Применение метода координат в пространстве и смешанного и векторного произведений к решению задач стереометрии.

ПРИМЕР 6.12

Дан неплоский четырехугольник. Доказать что два отрезка, каждый из которых соединяет середины противоположных сторон, и отрезок, соединяющий середины диагоналей, пересекаются в одной точке и делятся в ней пополам.

РЕШЕНИЕ

Пусть точки М, N, P, Q - середины сторон пространственного четырехугольника АВСD, а Е и F – середины его диагоналей ( Рис. 6.5) Обозначим О₁, О₂, О₃ – середины отрезков М N, Р Q и Е F. Отрезки М N, Р Q и Е F пересекаются в одной точке и делятся в ней пополам тогда и только тогда, когда точки О₁, О₂, О₃ совпадают.

Рассмотрим систему координат (А, , , ) и найдем координат вершин данного четырехугольника, середин его сторон и середин его диагоналей. А(0,0,0), В(1,0,0), С(0,1,0), Д(0,0,1), М( , 0,0), Р( , ,0), N( 0, , ), Q(0,0, ), Е(0, ,0), F( ,0, ).

Рис. 6.5.

Теперь найдем координаты точек О₁, О₂, О₃. О₁( , , ), О₂( , , ), О₃ ( , , )

Так как точки О₁, О₂, О₃ имеют одинаковые координаты в данной системе координат, то значит эти точки совпадают, т.е. середины отрезков М N, Р Q и Е F совпадают. ■

6.69. В неплоском шестиугольнике противоположные стороны попарно параллельны. Доказать, что: а) противоположные стороны равны; б)диагонали, соединяющие противоположные вершины, пересекаются в одной точке и делятся в ней пополам.

6.70. Доказать, что в любом неплоском четырехугольнике середины всех сторон являются вершинами параллелограмма.

6.71.Точки М и Р являются серединами сторон АВ и СD пространственного четырехугольника АВСD. Доказать, что середины диагоналей двух четырехугольников АМРD и ВМРС являются вершинами параллелограмма или лежат на одной прямой.

6.72. В тетраэдре АВСD ребра АВ, АС, DВ, DС разделены точками M, N,

P, Q в одном и том же отношении λ. Доказать, что четырехугольник MNPQ является параллелограммом.

6.73. На сторонах АВ, ВС, СD, DА пространственного четырехугольника АВСD выбраны точки А₁, В₁, С₁, D₁ так, что А А₁ :А₁В = DС₁ :С₁С = λ,

А D₁ :D₁D = ВВ₁ :В₁С = μ. Доказать, что четырехугольник А₁В₁С₁D₁ является плоским и точка, делящая диагональ А₁С₁ в отношении μ, совпадает с точкой, делящей диагональ

В₁ D₁ в отношении λ.

6.74. Дан тетраэдр АВСD и точка М на ребре АВ. Доказать, что середины отрезков АD, ВС, МD, МС лежит в одной плоскости.

6.75. Доказать, что в любом тетраэдре четыре отрезка, каждый из которых соединяет вершину тетраэдра с точкой пересечения медиан противоположной грани, пересекаются в одной точке и делятся в ней в отношении 3 : 1, начиная от вершин.

ПРИМЕР 6.13

Дан параллелепипед АВСDА₁В₁С₁D_1. Точки М, Р, К являются серединами ребер СС₁, АВ, С₁D₁. Найти отношение объемов тетраэдров АВDА₁ и D₁МРК.

РЕШЕНИЕ

Рис.6.6

Введем базис { , , }. Найдем координаты векторов в этом базисе (Рис.6.6).

= = , следовательно, ( ,0,0).

= + = – , следовательно, (1, 0,- ).

= + = - - ,следовательно, ( , -1,-1)

Найдем объемы данных тетраэдров.

V_АВDА1 = | |, V_D1МРК = | |,

Следовательно, V_АВDА1 :V_D1МРК = | | :| |(*)

Теперь выразим смешанное произведение векторов ,зная их координаты в базисе { , , }.

= ( )= - ( ) (**)

Из формул (*) и (**) получаем, что V_АВDА1 :V_D1МРК = .

ОТВЕТ. V_АВDА1 :V_D1МРК = .

6.76. Из вершины произвольного параллелепипеда проведены три диагонали прилежащих граней. Пользуясь свойствами смешанного произведения, выяснить, какую часть объема параллелепипеда составляет объем пирамиды, боковыми ребрами которой служат эти диагонали.

6.77. Точки А',В', С'делят ребра MА, МВ, МС тетраэдра МАВС в отношениях

(МА, А') = λ₁, (МВ, В') = λ₂ ,(МС, С') = λ₃ . Найти отношение объемов тетраэдров МАВС и МА'В'С'.

6.78. Пирамида МАВСD, основанием которой является параллелограмм АВСD, пересечена плоскостью, проходящей через ребро АВ и середину ребра МС. Найти отношение объемов многогранников, на которые это плоскость делит данную пирамиду.

6.79. Объем правильной треугольной пирамиды с боковым ребром а равен а³. Найти плоский угол при вершине пирамиды.

6.80. Дан параллелепипед АВСDА₁В₁С₁D₁. Найти отношение объемов этого параллелепипеда и тетраэдра АВ₁СD₁.

6.81. Дан параллелепипед АВСDА₁В₁С₁D₁, Точки М, Р, К являются серединами ребер АА₁, D₁С₁, ВС. Найти отношение объемов тетраэдра А₁МРК и данного параллелепипеда.

6.82. Пользуясь векторным произведением, доказать, что площадь S треугольника АВС вычисляется по формуле S = АВ АС sin А.

6.83. Все плоские углы при вершине О тетраэдра ОАВС прямые. Доказать, что квадрат площади грани АВС равен сумме квадратов площадей граней ОАВ, ОВС, ОСА.

6.84. Найти площадь сечения прямоугольного параллелепипеда, длины ребер которого равны а, b, с, плоскостью , проходящей через середины трех ребер, выходящих из одной вершины.

ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ К ГЛАВЕ 6

6.4. а) А₁(0,-3,4), А₂(2,0,4), А₃(2,-3,0); б) А₁(0, ,4), А₂(-3,0,4), А₃(-3, ,0).

6.5. = , = , = .

6.7.а) D (6,5,7), Е(1,3,7); б) D (-1,4,-3), Е(1, , -1).

6.8. В₁(3,6,3), С₁(7,7,3), D₁(8,3,0), С(5,4,4).

6.9. а) Да, б) нет, в) да, г) нет.

6.10. а) ( , , ), б) ( , 0,6), в) (3, (5 + 2 ), -3)

6.11. а) (-3, , 3), б) (-2,13,6), в) (-2,13,6).

6.12. С(4,-5,-2).

6.13. Пересекает ось ОZ.

6.14. Да, (- , , 11).

6.15. а) ( , , ), б) ( , , ).

6.17. Соs А = - , Соs В = , Соs С = .

6.18. а) А₁В₁ = 5, В₁В₂ = , С₁С₂ = , б) ОМ = 5, ОN = ,

ОР = 5, ОQ = .

6.19. .

6.22.

6.23. (0,0, ).

6.24. (0,1,-2).

6.25. ( , 1, ), r = .

6.28. , .

6.29. АМ = , АН = .

6.30. Указание. По свойству биссектрисы АD треугольника АВС ВD : DС = АВ : АС.

6.31. а) Да; б) нет; в) да; г) нет.

6.32. а) Да; б) нет; в) нет; г) да.

6.34. а), б) и г) - левая, в) – правая.

6.35. а), в) и г) – левая, б) и д ) – правая.

6.36. Базис правый.

6.37. а) х׳ = х – у + 7z, у ׳ = у – z, z ׳ = 2z;

б) х׳ = х + 2у - 5, у ׳ = х + у + 5, z ׳ = z + ;

в) х׳ = - х + 1, у ׳ = у – 1, z ׳ = - z + 2;

г) х׳ = х - 2, у ׳ = у – 5, z ׳ = z + 1;

д) х׳ = х + у + z , у ׳ = х – у + z + 1,

z ׳ = х – у – z .

6.38. х′ = - х + у׳ + z + , у′ = - х - у + z + ,

z′ = - х - у - z + .

6.39. х׳ = - х – у – z + 1, у ׳ = у, z ׳ = z.

6.40. х = - х׳ + , у = - у׳ + , z = - z׳ + .

6.41. а) х = х ׳ + 3, у = у ׳ – 4, z = z ׳ + 8;

б) х = 4х ׳ – у ׳– z ׳, у = 3х ׳ + у ׳ – z ׳, z = - 6х ׳ - 5z ׳ .

6.42. а), б), в), д) - являются, г) – не являются.

6.43. М( , , )

6.44. (11а, -11а, )

6.45. а) -87; б) 204; в) 57; г) 0.

6.46. а) -29; б) 68; в) 19; г) 0.

6.47. а) 29; б) -3 .

6.48. р(-19, 0, -10), q(24, 54, 35).

6.49. α = 0, β = - 10, γ = - 20.

6.51. а) 70; б) 8; в) .

6.53. а) 2 [а в ]; б) 4[в а] + [а с] + 2[с в]; в) 2[а в] + [а с]; г) 0.

6.54. [а в] (-10,-8,19),| [а в] | = ,[в с ] (-1,2,-3), | [в с ] | = ,

[а с ] (-3, -1, 5), | [а с ] | = .

6.55. а) (1,0,-2) ; б) (10,5,-5) ; в) (-15,10,-10) ; г) (-21, 13,14).

6.56. а) (-14, -20, 23) ; б) -80.

6.57. Указание. Найти координаты векторов, стоящих в правой и левой частях, в базисе {i, j, k}.

6.59. Указание. Умножив обе части данного равенства скалярно на вектор с, доказать, чтоa b с =0.

6.60. Указание. Т.к.вектор р = [ ] перпендикулярен плоскости АВС, то доказать, что данный вектор коллинеарен вектору р.

6.61. Указание. а) Из данного равенства а + b + с = 0выразить векторси найти [b с ] и

[с а ];

б) От любой точки О отложить векторы = а, = b, = с.Доказать, что векторы [аb], [b с ], [с а ] перпендикулярны одной плоскости γ, содержащей точки О, А, В, С.

6.62. Указание. Если а 0, то ввести такой базис {i, j, k} , у которого

а ↑↑i,и векторы a, b, j компланарны и найти координаты a, b, с.

6.63. а) ; б) .

6.64. АН = 3.

6.65. а) 12; б) S_АВСD = 2 , S_DD1А1 = ; в) ; г) ; д) .

6.66. а) ; б) S_АВС = , S_АВВ1А1 = , S_АСС1А1 = , S_ВСС1В1 = ;

в) ; г) 90°.

6.67. а) ; б) S_АВС = 4, S_АСD = 5, S_АВD = , S_ВСD = ; в) 2; г) , д) 90°.

6.68. 37,5

6.69. Указание. Пусть АВСDЕF – данный шестиугольник. Рассмотреть систему

координат (А, , , ) и сначала найти координаты всех вершин.

6.71. Указание. Пусть АВСD – данный четырехугольник. Рассмотреть систему

координат (А, , , ) и сначала найти координаты середин отрезков

АР, МD, ВР, СМ.

6.73. Рассмотреть систему координат (А, , , ) и сначала найти

координаты точек А₁, В₁, С₁, D₁.

6.74. Рассмотреть систему координат (А, , , ). Пусть М(а,0,0), тогда

найти координаты середин отрезков АD, ВС, МD, МС.

6.75. Указание. Пусть АВСD – данный тетраэдр. Рассмотреть систему

координат (А, , , ) и сначала найти координаты точек

пересечения координат всех граней. Затем доказать, что четыре точки

делящие медианы тетраэдра в отношении 3 : 1, начиная от вершин,

имеют одинаковые координаты.

6.76. 1 : 3.

6.77. .

6.78. .

6.79. 90°.

6.80. .

6.81. .

6.83. Указание. Ввести систему координат (О,i, j, k), где i = , j = , k = .Найти координаты точек А, В,С и затем найти площади всех граней.

6.84.

ГЛАВА VII

ПРЯМАЯ И ПЛОСКОСТЬ В ПРОСТРАНСТВЕ