Пиши Дома Нужные Работы

Обратная связь

Уравнение плоскости. Общее уравнение плоскости

Если в пространстве выбрана аффинная система координат (O, ),

то плоскость задается одним из следующих способов:

Каноническое уравнение: плоскость задаётся принадлежащей ей точкой M0(x0, y0, z0) и парой неколлинеарных векторов, параллельных этой плоскости (двумерным направляющим подпространством) (p123) и :

. (7.1)

Параметрическое уравнение:

x– x0 = l р1 + m q1

y – y0 = l p2 + m q2 , где l , m - действительные числа. (7.2)

z – z0= lр3 + m q3

Плоскость, проходящая через три заданные точки А(а1,а23), В(в123), С(с1,с2,с3):

(7.3)

Плоскость, заданная принадлежащей ей точкой M0(x0, y0, z0) и нормальным вектором (ненулевым вектором, перпендикулярным плоскости). В прямоугольной декартовой системе координат это уравнение имеет вид:

n1 (x-x0) + n 2(y-y0) + n3 (z-z0 )= 0, (7.4)

где вектор задан в базисе { }.

Все указанные уравнения приводится к уравнению вида

A x + B y + C z + D = 0. (7.5)

Последнее уравнение называется общим уравнением плоскости.

Справедливо утверждение: Всякое уравнение первой степени относительно координат точки пространства является уравнением некоторой плоскости. И обратно, всякая плоскость может быть записана в аффинной системе координат уравнением первой степени.

Замечание. Если в прямоугольной декартовой системе координат плоскость a задана общим уравнением A x + B y + C z + D = 0, то вектор нормали плоскости a имеет координаты (А, В,С).

Критерий параллельности вектора плоскостиa: A x + B y + C z + D = 0:

вектор (p123) параллелен плоскости a: A x + B y + C z + D = 0 тогда и только тогда, когда

А р1 + В р2 + С р3 = 0 (7.6)

Пусть в аффинной системе координат (O, ) плоскость a задана общими уравнением: A x + B y + C z + D = 0. Неравенство



A x + B y + C z + D > 0 (7.7)

аналитически задаёт то полупространство с границей a, которому принадлежит конец представителя вектора (А,В,С), отложенного от произвольной точки плоскости a. Неравенство A x + B y + C z + D < 0 аналитически задаёт дополнительное полупространство с границей a.

ПРИМЕР 7.1Написать общее и параметрическое уравнения координатной плоскости ХОУ (система координат прямоугольная декартова)

 

РЕШЕНИЕ

 

1-вый способ.

Чтобы написать уравнение типа (7.1) необходимо знать точку плоскости (очевидно, подойдет точка О(0,0,0) – начало координат, которая принадлежит данной плоскости) и два ненулевых вектора, параллельных плоскости. Ясно, что базисные векторы (1,0,0) и (0,1,0) удовлетворяют требованиям.

Таким образом, уравнение типа (7.1) для данной плоскости примет вид:

 

, что равносильно уравнению: z=0.

 

Параметрическое уравнение можно получить, записав условие линейной зависимости колонн данного определителя:

 

x = l

y = m

z = 0.

2-ой способ.

Чтобы воспользоваться уравнением типа (7.4) необходимо знать точку плоскости (например, О(0,0,0)) и вектор, ортогональный данной плоскости. Очевидно, в качестве нормального вектора плоскости ХОУ можно взять координатный вектор (0,0,1). Уравнение (7.4) для данной плоскости приобретает вид:

0(x-0) + 0(y-0) + 1(z-0) = 0 , что равносильно уравнению: z = 0.

 

ОТВЕТ. z=0, x = l

y = m

z = 0.

ПРИМЕР 7.2 Пересекает ли плоскость 2 x – y + 3 z – 5 = 0 отрезок АВ, если А(-1,0,2), В(3,5,-1) ?

 

РЕШЕНИЕ

 

Нужно проверить: лежат ли точки А и В по одну или по разные стороны от плоскости a. Для этого достаточно проверить знак четырехчленна в левой части уравнения плоскости для данных точек.

2(-1) – 0 + 3(2) – 5 = -1 > 0, 2 (3) – 5 +3(-1) – 5 = 7 > 0. Т.к. эти выражения имеют одинаковый знак, точки А и В лежат по одну сторону от плоскости. Следовательно, плоскость a не пересекает данный отрезок.

 

Решить следующие задачи.

 

7.1 Определить координаты некоторых точек, принадлежащих плоскости:

 

а) 2 x – 4 y + 3 z – 6 = 0; в) 4 x – 2 y + 7 z = 0;

 

б) 7 х – у – 1 = 0; г) z + 2 = 0.

 

7.2. Выяснить, какие из векторов (1,-3,4), (0,6,4), (3,0,1), (0,-2,7) параллельны

7.3. Указать некоторые направляющие векторы плоскостей в задаче 7.1.

7.4. Указать векторы нормали плоскостей в задаче 7.1 (система координат прямоугольная декартова).

7.5. Указать особенности расположения плоскостей б) – г) задачи 7.1 относительно системы координат.

7.6. Составить каноническое и общее уравнения плоскости, которая:

а) проходит через данные точки А(0,-2,1), В(0,4,0) и С(-1,3,5);

б) параллельна векторам (1,-2,4) и (3,0,-1) и проходит через начало координат;

в) параллельна плоскости ХОУ и проходит через точку А(1,2,3);

г) проходит через ось ОУ и точку А(0,-1,2);

д) параллельна оси ОХ и проходит через точки А(2,0,-1) и В(5,-3,0);

е) отсекает на осях координат единичные отрезки.

7.7. Составить общее и параметрическое уравнения плоскости, которая:

а) проходит через данные точки А(0,2,1), В(0,1,0) и С(-1,0,5);

б) параллельна векторам (1,2,-4) и (3,0,1) и проходит через точку М(-1,0,3) ;

в) параллельна плоскости x – 2 y + 5 z – 8 = 0 и проходит через точку А(1,2,3);

г) проходит через ось ОZ и точку А(3,1,-2);

д) параллельна оси ОY и проходит через точки А(2,0,1) и В(-1,3,0);

е) отсекает на осях координат равные отрезки и проходит через точку М(0,0,1).

7.8. Проверить, можно ли провести плоскость через следующие четыре точки

 

а) (0,-3,2), (6,-3,0), (3,0,3), (7,2,3); в) (1,-1,1), (0,2,4), (1,3,3), (4,0,-3);

 

б) (-1,3,4), (4,-5,1),(0,5,3). (-1,0,8); г) (0,0,0), (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1).

 

7.9. Через каждую из осей координат провести плоскость, параллельную вектору

(1,2,-3).

7.10. Даны две точки А(-2,3,4) и В(0,-3,2). Через точку В провести плоскость, перпендикулярную прямой АВ.(Система координат прямоугольная декартова).

7.11. Даны две точки А(-2,3,4) и В(0,-3,2). Найти множество точек пространства, равноудаленных от точек А и В. .(Система координат прямоугольная декартова).

7.12. Точка А(1,-2,3) служит основанием перпендикуляра, опущенного из начала координат на плоскость. Составить уравнение этой плоскости. (Система координат прямоугольная декартова).

7.13. Дан тетраэдр ABCD. Приняв точку А за начало координат, а векторы , , за базисные векторы системы координат, написать уравнения плоскостей:

а) граней тетраэдра;

б) проходящей через вершину А параллельно грани BCD;

в) проходящей через середину ребра АВ и точки С и D;

г) проходящей через ребро АВ параллельно ребру CD.

7.14. Вершины тетраэдра ABCD заданы своими координатами A(-1,2,5), B(0,-4,5), C(-3,2,1), D(1,2,4). Написать уравнение плоскостей:

а) граней тетраэдра;

б) проходящей через вершину А параллельно грани BCD;

в) проходящей через середину ребра АС и точки В и D;

г) проходящей через вершину D перпендикулярно стороне АС;

.(Система координат прямоугольная декартова).

7.15.Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М перпендикулярно плоскостям a и b в каждом из случаев:

а) М(0,0,0), a: 2 x – 3 y + 5 z – 7 = 0 , b: x – 3 z + 8 = 0;

 

б) М(1,-2,3), a: x – 5 z – 8 = 0, b: x + 3 y – z + 7 = 0;

 

в) M(-3,2,0), a: z + 1 = 0, b: y + 5= 0.

(Система координат прямоугольная декартова).

16. Составить уравнение плоскости, проходящей через точки А и В перпендикулярно плоскости a в каждом из случаев:

 

а) А(0,-2,1), В(1,5,-4), a: 2 x – 5 y + z – 6 = 0;

 

б) А(-1,4,3), В(4,-1,0), a: y + 3 = 0.

(Система координат прямоугольная декартова).

7.17. Даны точки М1(-1,0,2), М2(-5,0,4), М3(5,6,9), М4(-3,1,4) и плоскость

х– y + z – 2 = 0. Среди указанных точек выбрать те, которые лежат в одном

полупространстве с началом координат.

7.18. Даны вершины треугольника A(2,5,-1), B(1,-5,-15), C(-2,5,-1). Выяснить, какие из сторон треугольника пересекаются каждой из координатных плоскостей.

7.19. Определить положение точек А(0,1,-2), В(-3,4,1), С(4,-3,5), D(2,-3,7) относительно плоскости x – y + 2 z – 7 = 0.

7.20. Даны точка А(-1,0,1), В(3,-2,0), С(5,-1,-2). Составить линейные неравенства, характеризующие то полупространство с границей (АВС), которое содержит начало координат.

7.21. Даны две параллельные плоскости: x – 2 y + 3 z – 5 = 0 и . x – 2 y + 3 z – 1 = 0. Записать аналитическое задание полосы, которую они образуют.

7.22. Даны две пересекающиеся плоскости: x – 2 y + 3 z = 0 и 2 x + 5 y – z – 11 = 0. Записать неравенства, определяющие ту область, образованную этими плоскостями, которая содержит точку (1,1,1).

7.23. Определить, лежит ли начало координат внутри тетраэдра, грани которого принадлежат плоскостям: x + y + z – 1 =0, x – y – 1 = 0, x – z -1 = 0, z – 2 = 0.

 

 






ТОП 5 статей:
Экономическая сущность инвестиций - Экономическая сущность инвестиций – долгосрочные вложения экономических ресурсов сроком более 1 года для получения прибыли путем...
Тема: Федеральный закон от 26.07.2006 N 135-ФЗ - На основании изучения ФЗ № 135, дайте максимально короткое определение следующих понятий с указанием статей и пунктов закона...
Сущность, функции и виды управления в телекоммуникациях - Цели достигаются с помощью различных принципов, функций и методов социально-экономического менеджмента...
Схема построения базисных индексов - Индекс (лат. INDEX – указатель, показатель) - относительная величина, показывающая, во сколько раз уровень изучаемого явления...
Тема 11. Международное космическое право - Правовой режим космического пространства и небесных тел. Принципы деятельности государств по исследованию...



©2015- 2024 pdnr.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.