|
|
Нахождение корней по схеме Горнера. Виды корнейРЕФЕРАТ на тему: Корни многочлена. Теорема Безу
Выполнили: Студенты 1 курса группы ИМ-11 Очного отделения Шабунин Дмитрий Олегович Зорин Александр Сергеевич
Проверила: Бобылева Оксана Владимировна подпись___________________
Абакан 2016г. План
Введение……………………………………………………………………………...3 1.Многочлены………………………………………………………………………..3 1.1.Определение многочлена………………………………………………………3 1.2.Определение корня многочлена……………………………………………….4 1.3.Схема Горнера………………………………………………………………….5 1.4.Нахождение корней по схеме Горнера. Виды корней……………………….7 2. Этьен Безу. Биография. Теорема Безу. Следствия из теоремы……………….13 2.1. Этьен Безу. Биогафия………………………………………………………...13 2.2. Теорема Безу………………………………………………………………….13 2.3 Следствия из теоремы Безу…………………………………………………..14 2.4. Примеры использования теоремы…………………………………………..14 Заключение………………………………………………………………………….16 Список используемых источников………………………………………………..17
ВВЕДЕНИЕ
Тема данного реферата: «Корни многочлена. Теорема Безу». В нем мы хотим рассмотреть, что такое многочлен, что является корнем многочлена, а также рассказать про схему Горнера и теорему Безу. В первой части мы разберем понятие многочлена, его корней и их виды и про схему Горнера. Во второй про теорему Безу. Данная тема довольно актуальна, поскольку теорема Безу является одной из базовых теорем алгебры.
Многочлены Понятие многочлена Многочлен (полином) от одной переменной x – это выражение вида
где x – переменная ,
Также многочлен называют «полиномом», этот термин происходит от греческих слов «πολι» - много и «νομχ» - член.
2 члена называются подобными, если их степени равны. При этом подобные между собой члены можно преобразовать в один, т.е. привести подобные члены.
Степенью многочлена называют наибольшую среди степеней многочлена, при этом многочлен f(x)- не тождественный нуль. Обозначается эта степень deg(f).
Например:
При этом тождественный нуль степени не имеет.
Предполагается, что коэффициенты многочлена принадлежат определенному полю (полю действительных, рациональных, комплексных чисел). Так, если выполнять над многочленом операции сложения, умножения или вычитания при помощи сочетательного, переместительного и распределительных законов, мы получаем снова многочлен. Из вышесказанного следует, что совокупность всех многочленов с коэффициентами из данного поля Р образует кольцо Р
Определение корня многочлена Элемент
мы подставим
Таким образом, при подстановке вместо Поэтому корень многочлена f(x) и корень соответствующего уравнения f(x)=0 по сути одно и то же.
К примеру, найдём корень многочлена f(x)=3 Данное выражение является квадратным поэтому для нахождения корня многочлена нам необходимо решить следующее уравнение
3 Для этого необходимо рассмотреть алгоритм решения квадратных уравнений.
Алгоритм решения квадратных уравнений
1.Найти дискриминант D по формуле D= 2.Если D<0, то квадратное уравнение не имеет корней. 3.Если D=0, то уравнение имеет один корень:
4.Если D>0, то уравнение имеет два корня:
Теперь приступим к решению нашего уравнения 3 где Находим дискриминант:
D= Поскольку D>0, то у данного уравнения два корня. Находим их:
Таким образом, корнями многочлена f(x)=3
Схема Горнера
Схема Горнера(или правило Горнера, метод Горнера) — алгоритм вычисления значения многочлена, записанного в виде суммы полиномов (одночленов), при заданном значении переменной.Она, в свою очередь, и помогает нам выяснить, является ли число Для начала рассмотрим как делится многочлен f(x )на двучлен g(x). Это можно записать следующим образом: f(x):g(x)=n(x), где f(x)- делимое, g(x)- делитель а n(x)- частное. Но в случае, когда f(x) не делится нацело на g(x) имеет место общая запись выражения
При это степень r(x)< deg s(x), в таком случае можно сказать, что Рассмотрим деление многочлена на двучлен. Пусть
Получаем
Где r- число т.к. степень r должна быть меньше степени (x-c). Умножим s(x) на
Отсюда
Таким образом, при делении на двучлен можно определять коэффициенты частного по полученным формулам. Подобный способ определения коэффициентов и называется схемой Горнера.
Теперь рассмотрим несколько примеров применения схемы Горнера.
Пример. Выполнить деление многочлена f(x)= Решение.В начале необходимо записать (x+3) в виде (x-(-3)), поскольку в самой схеме будет участвовать именно -3.В верхней строке мы будем записывать коэффициенты, в нижней- результат действий.
По полученным результатам запишем
Таким образом, мы получили f(x)=
Пример. Выполнить деление многочлена f(x)= Решение.
f(x)=(x-2)(1
Нахождение корней по схеме Горнера. Виды корней По схеме Горнера можно находить целочисленные корни многочлена f(x). Рассмотрим это на примере. Пример. Найти все целочисленные корни многочлена f(x)= Решение.Коэффициенты данного многочлена- целые числа. Коэффициент перед старшей степенью(в нашем случае перед Начнем проверку с числа 1.
Таблица №1
Из полученной таблицы видно, что при
Таблица №2
Как мы видим из таблицы, в последней ячейке получился нуль, а это значит, что r=0. Следовательно? число -1 является корнем данного многочлена. Поделив наш многочлен многочлена f(x)=
f(x)=(x+1)(
коэффициенты для которого мы взяли из третей стоки таблицы № 2.
Также мы можем сделать равносильную запись
Теперь необходимо продолжить поиск целочисленных корней, но только сейчас мы уже будем искать корни многочлена Еще раз проверим число -1.
Таблица №3
Таким образом, число -1 является корнем многочлена
С учетом равенства (2) мы можем записать равенство (1) в следующем виде
=
Теперь ищем корни для многочлена
Таблица №4
По таблице мы видим, что число -1 является корнем многочлена
С учетом (3*) мы можем переписать равенство (2*) как:
Теперь будем искать корень для
Таблица №5
У нас получился остаток не равный нулю, а это значит, что число -1 не является корнем для многочлена Таблица №6
И мы видим, что опять не подходит, остаток r(x)= 24.Берем новое число. Проверим число 3.
Таблица №7
r(x)= 0, это значит, что число 3 является корнем многочлена
Учитывая получившееся выражение, мы можем записать равенство (5) в следующем виде:
Проверим теперь для многочлена
Таблица №8
Исходя из таблицы, мы видим, что число 3 это корень многочлена
Запишем равенство (5*), с учетом получившегося выражения, следующим образом:
Найдем корень для двучлена Возьмем число 5
Таблица №9
r(x)=0, следовательно, 5 является корнем двучлена
Таким образом, мы можем записать
Решением данного примера будет являться таблица№8. Как видно из таблицы, числа -1;3;5 – корни многочлена.
Теперь перейдем непосредственно к видам корней.
-1- корень третьей степени, поскольку скобка (x+1) находится в третьей степени; 3- корень второй степени, скобка(x-3) во второй степени; 5- корень первой степени или, другими словами, простой.
12 |
|
,
– коэффициенты из некоторого числового поля, n – целое неотрицательное число, а нулевое- свободный член. Отдельные слагаемые вида ……, k=0,1, …,n называются членами многочлена.
-многочлен четвертой степени (старшая степень равна четырем);
- многочлен второй степени или квадратный (старшая степень равна двум).
- кольцо многочленов над данным полем, это кольцо не имеет делителей нуля, т.е. произведение многочленов, не равных нулю, не может дать нуль.
кольца Р называется корнем многочлена f(x) ∈ Р 
Другими словами, число 
+ 
=0
+ 
число 
является корнем равенства f(x)=0.
-10+3
+bx+c=0
-4ac.
, 
.
=3, b=-10 а с=3.
-4*3*3=64
; 
.
.
.
делится на 
с остатком 
.
, 
+...+ 
.
на x+3.
с остатком r(x)= 16.
на x-2.
)+16.
, при помощи схемы Горнера. 
) равен одному. Поэтому, целочисленные корни многочлена мы будем искать среди делителей свободного члена (у нас это 15), это числа: 
=1 многочлен многочлена f(x)= 
, мы получили остаток r=192, а не 0, из этого следует, что единица не является корнем. Поэтому продолжим проверку при 
)=x+1 мы получили многочлен
),
(x+1)( 
). Пометим его (1)
, его можно записать в виде
(2)
(3)
, опять же среди делителей свободного члена. Вновь проверим число -1.
.
(3*)
(5)
. Вновь смотрим делители свободного члена. Начнем проверку вновь с числа -1.
. Проверим следующее число 1.
, этот многочлен мы можем записать как:
)
( x-3)( 
( x-3)( 
)= 
= 
.
среди делителей свободного члена.
.
.