МОМЕНТЫ СОПРОТИВЛЕНИЯ СЕЧЕНИЯ

Осевым моментом сопротивления называется отношение момен­та инерции относительно данной оси к расстоянию от оси до наиболее удаленной точки сечения

. (13)

Полярным моментом сопротивления называется отношение полярного момента инерции к расстоянию от полюса до наиболее удаленной точки сечения

. (14)

В качестве полюса принимается центр тяжести поперечного сече­ния стержня.

Рис. 15

Пример 7.Чему равно значение для прямоугольника, представленного на рис. 15, а.

Ответ: .

Приведем осевые моменты сопротивления (рис. 15) для простейших сечений ( и — центральные моменты инерции сечений).

Для прямоугольника(рис. 17, а):

;

.

Длятреугольника(рис. 15, б):

- для нижних волокон;

- для верхних волокон.

Аналогично можно вычислить моменты сопротивления относи­тельно оси левых и правых волокон и .

Для круга (рис. 15, в):

.

Дляполукруга(рис. 15, г):

-для нижних волокон;

- для верхних волокон;

.

Для трубчатого сечения (рис. 15,д):

.

Приведем полярные моменты сопротивления.

Для круга (рис. 15,в)

.

Для трубчатого сечения (рис. 15, д)

.

5. РАЦИОНАЛЬНЫЕ ФОРМЫ ПОПЕРЕЧНЫХ СЕЧЕНИЙ

Нормальные напряжения в произвольной точке поперечного сечения балки при прямом изгибе определяются по формуле

, (15)

где М— изгибающий момент в рассматриваемом поперечном сече­нии,

у — расстояние от рассматриваемой точки до главной цент­ральной оси, перпендикулярной плоскости действия изгибающего момента;

— главный центральный момент инерции сечения.

Наибольшие растягивающие и сжимающие нормальные напря­жения в данном поперечном сечении возникают в точках наиболее удаленных от нейтральной оси. Их определяют по формулам:

, (16)

где и — расстояния от главной центральной оси Xдо наиболее удаленных растянутого и сжатого волокон.

Для балок из пластичных материалов, когда [ ]=[ ]=[ ] [ ], [ ] — допускаемые напряжения для материала балки, соответствен­но на растяжение и сжатие), применяют сечения, симметричные относительно центральной оси.

В этом случае условие прочности примет вид

, (17)

где — момент сопротивления площади поперечного сече­ния балки относительно главной центральной оси; (h — высота сечения); — наибольший по абсолютному значению изгибающий момент; — допускаемое напряжение материала на изгиб.

Кроме условия прочности балка должна удовлетворять и усло­вию экономичности. Наиболее экономичными являются та­кие формы поперечных сечений, для которых с наименьшей зат­ратой материала (или при наименьшей площади поперечного се­чения) получается наибольшая величина момента сопротивле­ния. Чтобы форма сечения была рациональной, необходимо, по возможности, распределять сечение подальше от главной централь­ной оси.

Рис. 16

Например, двутавровая стандартная балка примерно в семь раз прочнее и в тридцать раз жестче, чем балка квадратного попереч­ного сечения той же площади, сделанная из того же материала (рис. 16).

Пример 12. Указать, какая форма поперечного сечения балки является более рациональной (рис. 17). За единицу принять вес двутавровой балки (М= 10 кНм, = 100 МПа).

Рис. 17

Для сравнения рациональности различных форм поперечных сечений приведем табл. 3, в которой показана относительная затрата материала для брусьев, обладающих одинаковой прочно­стью при изгибе (имеющих равные моменты сопротивления).

Ответ: Двутавр.

Таблица 3

Формы и размеры сечения	Отношение веса балки данного сечения к весу двутавровой балки
	2,01
	2,78
	3,58
	3,89

Необходимо иметь в виду, что при изменении положения сече­ния по отношению к действующей нагрузке прочность балки суще­ственно изменяется, хотя площадь сечения и остается неизменной.

Пример 8.Какое положение сечения является более выгодным (рис. 28)?

Рис. 18

Для бруса двутаврового сечения № 20a, расположенного, как показано на рис. 20, а, допускаемая нагрузка в 7,5 раза больше, чем для того же бруса, но повернутого на 90° (рис. 18, б).Следо­вательно, сечение надо располагать так, чтобы силовая линия со­впадала с той из главных осей, относительно которой момент инерции минимален. Более кратко это можно сформулировать так: следует стремиться, чтобы изгиб бруса проходил в плоскости его наибольшей жесткости.

Ответ:рис. 18, а.

Пример 9.Определить, как выгоднее расположить балку с квадратным поперечным сечением при изгибе (рис. 19):

Рис. 19

1) так, чтобы плоскость момента была параллельна сторонам квадрата (рис. 19, а), или

2) так, чтобы она совпадала с его диагональю (рис. 19, б).

Осевые моменты инерции относительно осей Xв формуле для напряжений (15) в случаях 1) и 2) равны между собой, но величины для случая 2) больше. Выгоднее расположить балку так, чтобы плоскость момента была параллельна сторонам квадрата, что сни­мает напряжение на 40%.

Ответ:1) рис. 19, а.

В большинстве случаев с ростом момента инерции сечения воз­растает и его момент сопротивления, но возможны и исключения, когда нерациональное увеличение момента инерции приводит к уменьшению момента сопротивле­ния, т. е. снижению прочности бруса.

Пример10.У какого попереч­ного сечения, представленного на рис. 20, момент сопротивления наи­больший?

Рис. 20

У сечения, изображенного на рис. 20, а момент сопротивления наи­больший. Приваренные к двутавру полосы (рис. 20, б), не усиливают, а ослабляют балку, так как высота сечения возрастает ощутимее, чем его момент инерции, и в результате момент сопротивления снижается.

Ответ:рис. 20, а.

Для балок из хрупких материалов, различно сопротивляющихся растяжению и сжатию, расчетные формулы для подбора сечения имеют вид:

, (18)

где и — наибольшие по абсолютному значению изгибающиё моменты в опасных сечениях соответственно для растянутых или сжатых волокон.

Рис. 21

Для балок из хрупких материалов типа чугуна ( ), следует применять сечения, несимметричные относительно нейтральной оси, например: тавровое, несимметричное двутавровое, П-образное (рис. 21). При этом целесообразно располагать сечение таким образом, чтобы максимальные растягивающие и максимальные сжимающие напряжения в опасных сечениях балки были одновременно равны соответствующим допускаемым напряжениям.

Пример 11.Как рациональнее расположить чугунную балку, представленную на рис. 22?

Рис. 22 Рис. 23

Ответ:рис. 22, а.

Во всех предыдущих случаях нагрузка действовала на балку только в одном направлении, и форма поперечного сечения балки оптимизировалась, исходя именно из этого условия. В некоторых инженерных и в большинстве естественных объектов нагрузка мо­жет действовать в различных направлениях. Приблизительно так распределяются нагрузки в фонарном столбе, ножке стула, бамбуке или кости ноги. В этих случаях надежнее ведут себя круглые полые трубы (рис. 23).

Рис. 24

Однако существуют и другие способы увеличения прочности конструкции. Это предварительное напряжение. Рассмотрим дере­во, которое подвергается изгибающим нагрузкам, вызванным дав­лением ветра. При сжатии древесина значительно хуже работает, чем при растяжении. Когда напряжение сжатия достигает 30 МН/м, дерево начинает ломаться. И только недавно стало извест­но, что ствол дерева оказывается предварительно напряженным. Каким-то образом дерево растет так, что внешние слои древесины обычно растянуты (примерно до 15 МН/м²), в то время как внутрен­ние сжаты. Примерное распределение предварительных напряжений в сечении ствола показано на рис. 24, б, напряжений только от изгиба — на рис. 24, а и суммарных напряжений — на рис. 24, в (на рис. 24: Р — растянуты волокна, С — сжаты волокна). Дерево уменьшает наибольшую величину сжимающего напряжения приме­рно вдвое, правда, при этом возрастает максимальное растягива­ющее напряжение, но дерево вполне с ним может справиться.

Пример 12.Какие предварительные напряжения надо вызвать в бетоне, чтобы при изгибе на его поверхности не возникало тре­щин, если

Ответ:Сжимающие.

Бетон плохо работает на растяжение, поэтому бетон армируют стальными стержнями, так, что он оказывается сжатым, что существенно повышает его прочность. Необходимо прикладывать большую нагрузку, чтобы напряжения вблизи одной из сторон смени­лись растягивающими и произошло растрескивание бетона.

Обязательные вопросы

1. Для чего необходимы геометрические характеристики плоских сечений?

2. Назовите основные геометрические характеристики поперечных сечений.

3. Что такое статический момент плоской фигуры? Какова его размерность?

4. Какими свойствами обладает статический момент?

5. Как определяется положение центра тяжести сечения?

6. Для каких сечений положение главных осей можно указать

7. без вычислений?

8. Что такое момент сопротивления сечения?

9. Какие оси называются центральными осями?

10. Какие оси и какие моменты инерции называются главными?

11. Как изменяются моменты инерции при повороте координатных осей?