Ранг и базис системы векторов

Линейное векторное пространство

Определение 8.1. Упорядоченная совокупность из n действительных чисел (а₁, а₂, …, а_n) называется n-мерным вектором `a (а₁, а₂, …, а_n). Числа а₁, а₂, ..., а_n называются координатами вектора.

Два n-мерных вектора `a (а<sub>1</sub>, а<sub>2</sub>, …, а<sub>n</sub>) и `b(b₁, b₂, …, b_n) считаются равными, если равны их соответствующие координаты:

Вектор, все координаты которого равны нулю, называется ноль-вектором и обозначается (0, 0, ...,0).

Пример 8.1. `a (3; 1/2; 0,7; -2; 0) — пятимерный вектор.

Определение 8.2. Суммой (разностью) двух n-мерных векторов `a (а<sub>1</sub>, а<sub>2</sub>, …, а<sub>n</sub>) и `b (b₁, b₂, …, b_n) называется n-мерный вектор, координаты которого равны суммам (разностям) соответствующих координат исходных векторов:

`a ± `b = (a₁ ± b₁; a₂ ± b₂; …; a_n ± b_n).

Определение 8.3. Произведением n-мерного вектора `a (а<sub>1</sub>, а<sub>2</sub>, …, а<sub>n</sub>) на число k называется n-мерный вектор, координаты которого равны произведениям координат вектора `a на число k:

k · `a = (ka₁; ka₂; …; ka_n).

Для геометрических векторов (n < 4) эти операции эквивалентны правилу параллелограмма или треугольника и растяжению (сжатию) вектора.

Пример 8.2. Пусть даны три вектора: `c(1;1), `d(:;3) и `m(-1,2).

`c + `d = (5; 4), `c - `d = (3; -2), 2`m = (-2,4).

Свойства операций над векторами:

1. 1) `a + `b = `b + `a — коммутативность,
2. 2) `a + (`b + `c) = (`a + `b) + `c — ассоциативность,
3. 3) k · (`a ± `b) = k· `a ± k · `b — дистрибутивность,
4. 4) (k₁ ± k₂)· `a `a = k₁ · `a ± k<sub>2</sub>· `a,
5. 5) (k₁ · k₂) · `a = k<sub>1</sub> · (k<sub>2</sub> · `a),
6. 6) 1 · `a = `a,
7. 7) 0 · `a = ,
8. 8) k · = ,
9. 9) k · `a = Û k = 0 v `a = .

Определение 8.4. Совокупность всех n-мерных векторов с введенными на ней операциями сложения и умножения на число называется n-мерным линейным векторным пространством и обозначается Eⁿ.

Пример 8.3. E² — совокупность всех двухмерных векторов плоскости с обычными операциями сложения и умножения векторов.

Скалярное произведение. Длина вектора. Угол между векторами

Определение 8.5. Скалярным произведением двух n-мерных векторов `a (а<sub>1</sub>, а<sub>2</sub>, ..., а<sub>n</sub>) и `b (b₁, b₂, ..., b_n) называется число, равное сумме попарных произведений соответствующих координат.

`a · `b = а₁ · b₁ + a₂ · b₂ + … + a_n · b_n.

Свойства скалярного произведения:

1. `a · `b = `b · `a — коммутативность;
2. `a · (`b + `c) = `a · `b + `a · `c — дистрибутивность;
3. k · (`a · `b) = (k · `a) · `b,
4. `a · `a = `a<sup>2</sup> ≥ 0, `a² = 0 Û `a = .

Определение 8.6. Длиной n-мерного вектора называется величина:

Определение 8.7. Углом между двумя ненулевыми n-мерными векторами называется угол, косинус которого вычисляется по формуле

Коллинеарные и ортогональные векторы

Определение 8.8. Два n-мерных вектора `a и `b называются коллинеарными, если найдется число λ такое, что `a = λ · `b.

Рассмотрим два коллинеарных вектора `a и `b. Так как они коллинеарны, то `a = λ · `b, или (a₁, a₂, …, a_n) = (λb₁, λb₂, …, λb_n ). Следовательно, a₁ = λb₁, a₂ = λb₂, …, a_n = λb_n.

Выражая из этих равенств λ, получим

Для того чтобы два вектора были коллинеарными, необходимо и достаточно, чтобы их координаты были пропорциональны.

Найдем угол между коллинеарными векторами.

Определение 8.9.Два ненулевых n-мерных вектора `a и `b называются ортогональными, или перпендикулярными, если угол между ними равен 90°.

cosφ = 0,

Пример 8.4.

`a (2;1),`b (-4;-2), `c (1;-2).

`a · `c = 2 · 1 + 1 · (-2) = 0.

Векторы `a и `b коллинеарны, векторы `a и `c ортогональны.

Системы векторов

Пусть дана система n-мерных векторов `a<sub>1</sub>, `a₂,..., `a_k .

Определение 8.10. Линейной комбинацией системы векторов называется выражение вида

c₁ · `a<sub>1</sub> + c<sub>2</sub> · `a₂ +...+ c_k · `a_k.

где с₁, с₂, …, с_k — некоторые числа.

Определение 8.11. Выпуклой линейной комбинацией системы векторов называют линейную комбинацию, в которой все коэффициенты неотрицательны и сумма всех коэффициентов равна единице.

Определение 8.12. Вектор `b разлагается по системе векторов `a₁, `a<sub>2</sub>,..., `a_k, если его можно представить в виде линейной комбинации векторов этой системы.

`b = λ<sub>1</sub> · `a₁ + λ₂ · `a<sub>2</sub> +...+ λ<sub>k</sub> · `a_k.

Линейная зависимость векторов

Определение 8.13. Система векторов `a<sub>1</sub>, `a₂,..., `a_k называется линейно зависимой, если один из векторов системы можно представить в виде линейной комбинации остальных векторов системы, и линейно независимой - в противном случае.

Определение 8.13'. Система векторов `a<sub>1</sub>, `a₂,..., `a<sub>k</sub> называется линейно зависимой, если найдутся числа с<sub>1</sub>, с<sub>2</sub>, …, с<sub>k</sub>, не все равные нулю, такие, что линейная комбинация векторов с данными коэффициентами равна нулевому вектору: c<sub>1</sub> · `a₁ + c₂ · `a<sub>2</sub> +...+ c<sub>k</sub> · `a_k = , в противном случае система называется линейно независимой.

Покажем, что эти определения эквивалентны.

Пусть выполняется определение 8.13', т. е. один из векторов системы равен линейной комбинации остальных:

`a<sub>5</sub> = λ<sub>1</sub> · `a₁ + λ₂ · `a<sub>2</sub> +...+ λ<sub>5-1</sub> · `a_5-1 + λ₅₊₁ · `a<sub>5+1</sub> +...+ λ<sub>k</sub> · `a_k,

λ₁ · `a<sub>1</sub> + λ<sub>2</sub> · `a₂ +...+ λ_5-1 · `a<sub>5-1</sub> - λ<sub>5+1</sub> · `a₅₊₁ +...+ λ_k · `a_k =

Линейная комбинация системы векторов равна нулевому вектору, причем не все коэффициенты этой комбинации равны нулю, т. е. выполняется определение 8.13'.

Пусть выполняется определение 8.13'. Линейная комбинация системы векторов равна , причем не все коэффициенты комбинации равны нулю, например, коэффициенты при векторе `a_p.

λ₁ · `a<sub>1</sub> + λ<sub>2</sub> · `a₂ + ... + λ_p-1 · `a<sub>p-1</sub> + λ<sub>p</sub> · `a_p + λ_p+1 · `a<sub>p+1</sub> + ... + λ<sub>k</sub> · `a_k = ,

λ_p ≠ 0

Один из векторов системы мы представили в виде линейной комбинации остальных, т. е. выполняется определение 8.13.

Определение 8.14. Единичным вектором, или ортом, `e_i называется n-мерный вектор, у которого i-я координата равна единице, а остальные - нулевые.

`e₁ (1, 0, 0, …, 0),

`e₂ (0, 1, 0, …, 0),

…

`e_n (0, 0, 0, …, 1).

Теорема 8.1. Различные единичные векторы n-мерного пространства линейно независимы.

Доказательство. Пусть линейная комбинация этих векторов с произвольными коэффициентами равна нулевому вектору.

c₁ · `e<sub>1</sub> + c<sub>2</sub> · `e₂ +...+ c_n · `e_n = (c₁, c₂, ..., c_n) = .

Из этого равенства следует, что все коэффициенты равны нулю. Получили противоречие.

Каждый вектор n-мерного пространства `a (а₁, а₂ , ..., а_n) может быть представлен в виде линейной комбинации единичных векторов с коэффициентами, равными координатам вектора

`a = `e₁ · a₁ + `e<sub>2</sub> · a<sub>2</sub> +...+ `e_n · a_n.

Теорема 8.2. Если система векторов содержит нулевой вектор, то она линейно зависима.

Доказательство. Пусть дана система векторов `a<sub>1</sub>, `a₂,..., `a<sub>k</sub> и один из векторов является нулевым, например `a_k = Тогда с векторами данной системы можно составить линейную комбинацию, равную нулевому вектору, причем не все коэффициенты будут нулевыми:

0 · `a<sub>1</sub> + 0 · `a₂ +...+ 1 · `a_k =

Следовательно, система линейно зависима.

Теорема 8.3. Если некоторая подсистема системы векторов линейно зависима, то и вся система линейно зависима.

Доказательство. Дана система векторов `a<sub>1</sub>, `a₂, ..., `a<sub>r</sub>, `a_r+1, ..., `a<sub>k</sub>. Предположим, что система `a₁, `a<sub>2</sub>,..., `a_r линейно зависима, т. е. найдутся числа с₁, с₂, …, с_r, не все равные нулю, такие, что c₁ · `a<sub>1</sub> + c<sub>2</sub> · `a₂ +...+ c_r · `a_r = Тогда

c₁ · `a<sub>1</sub> + c<sub>2</sub> · `a₂ +...+ c_r · `a<sub>r</sub> + 0 · `a_r+1 +...+ 0 · `a_k =

Получилось, что линейная комбинация векторов всей системы равна , причем не все коэффициенты этой комбинации равны нулю. Следовательно, система векторов линейно зависима.

Следствие. Если система векторов линейно независима, то и любая ее подсистема также линейно независима.

Доказательство.

Предположим противное, т. е. некоторая подсистема линейно зависима. Из теоремы следует, что вся система линейно зависима. Мы пришли к противоречию.

Теорема 8.4 (теорема Штейница). Если каждый из векторов `b<sub>1</sub>, `b₂,..., `b<sub>m</sub> является линейной комбинацией векторов `a₁, `a<sub>2</sub>,..., `a_n и m > n, то система векторов `b<sub>1</sub>, `b₂,..., `b_m линейно зависима.

Следствие. В любой системе n-мерных векторов не может быть больше чем n линейно независимых.

Доказательство. Каждый n-мерный вектор выражается в виде линейной комбинации n единичных векторов. Поэтому, если система содержит m векторов и m > n, то, по теореме, данная система линейно зависима.

Ранг и базис системы векторов

Определение 8.15. Рангом системы векторов называется максимальное число линейно независимых векторов системы.

rang(`a<sub>1</sub>, `a₂,..., `a_p) = r.

Определение 8.16. Базисом системы векторов называется максимальная линейно независимая подсистема данной системы векторов.

Теорема 8.5. Любой вектор системы можно представить в виде линейной комбинации векторов базиса системы. (Всякий вектор системы можно разложить по векторам базиса.) Коэффициенты разложения определяются для данного вектора и данного базиса однозначно.

Доказательство. Пусть система `a<sub>1</sub>, `a₂, ..., `a<sub>k</sub>, `a_k+1, ..., `a<sub>p</sub> имеет базис `a₁, `a<sub>2</sub>,..., `a_k.

1 случай. Вектор `a — из базиса. Следовательно, он равен одному из векторов базиса, допустим `a₁. Тогда `a<sub>1</sub> = 1 · `a₁ + 0 · `a<sub>2</sub> +...+ 0 · `a_k.

2 случай. Вектор `a_r — не из базиса. Тогда r > k.

Рассмотрим систему векторов `a<sub>1</sub>, `a₂, ..., `a<sub>k</sub>, `a_r. Данная система является линейно зависимой, так как `a<sub>1</sub>, `a₂,..., `a_k - базис, т. е. максимальная линейно независимая подсистема. Следовательно, найдутся числа с₁, с₂, …, с_k, с, не все равные нулю, такие, что

c₁ · `a<sub>1</sub> + c<sub>2</sub> · `a₂ +...+ c_k · `a<sub>k</sub> + c · `a_r =

Очевидно, что с ≠ 0 (если с = 0, то базис системы является линейно зависимым).

Докажем, что разложение вектора по базису единственно. Предположим противное: имеется два разложения вектора по базису.

`a = α<sub>1</sub> · `a₁ + α₂ · `a<sub>2</sub> +...+ α<sub>k</sub> · `a_k,

`a = β<sub>1</sub> · `a₁ + β₂ · `a<sub>2</sub> +...+ β<sub>k</sub> · `a_k.

Вычитая эти равенства, получим

= (α₁ - β₁) · `a<sub>1</sub> + (α<sub>2</sub> - β<sub>2</sub>) · `a₂ +...+ (α_k - β_k) · `a_k.

Учитывая линейную независимость векторов базиса, получим

α₁ = β₁, α₂ = β₂, ..., α_k = β_k

Следовательно, разложение вектора по базису единственно.

Количество векторов в любом базисе системы одинаково и равно рангу системы векторов.

Пример 8.5. Дана система векторов: `a (2, 0), `b (5, 5), `c (4, 3).

`a, `b; `a, `c; `b,`c — базисы системы.

8.7. Ранг и базис n-мерного линейного векторного пространства

Теорема 8.6. Ранг n-мерного пространства равен его размерности: r = n.

Доказательство. На основании теоремы Штейница ранг не превышает n. С другой стороны, в пространстве имеется система из n линейно независимых единичных векторов, следовательно, ранг не меньше n. Значит, базис содержит n векторов.

Следствие 1. Любой базис n-мерного пространства состоит из n линейно независимых n-мерных векторов.

Следствие 2. Любая система в n-мерном пространстве, содержащая больше чем n векторов, линейно зависима.

Следствие 3. Любой вектор пространства можно однозначно разложить по векторам любого базиса. Коэффициенты разложения для данного вектора и данного базиса определяются единственным образом. Коэффициенты разложения называются координатами данного вектора в этом базисе.

Пример 8.6.
`e<sub>1</sub> (1, 0, 0, …, 0),
`e₂ (0, 1, 0 … 0),
…
`e_n (0, 0, 0, …, 1).

Данная система образует базис в n-мерном пространстве, который называется единичным.

Возьмем любой n-мерный вектор `a(а₁, а₂, ..., а_n).

`a = `e₁ · a₁ + `e<sub>2</sub> · a<sub>2</sub> +...+ `e_n · a_n