Изгиб. Понятия и определения.

Под изгибом понимается такой вид нагружения, при котором в поперечных сечениях стержня возникают изгибающие моменты т.е. M_y>0 или M_x>0 . Под чистым изгибом, понимается такой вид нагружения, при котором в поперечных сечениях стержня возникают только изгибающие моменты, a Q=0. Для тех участков стержня, где соблюдается это условие, изгибающий момент, остается постоянным М=const.

Напряжения при чистом изгибе:

Условно примем левое сечение за неподвижное. Тогда в результате поворота правого сечения на угол dθ верхние слои удлинятся, а нижние — укоротятся. Очевидно, существует слой, в котором удлинения отсутствуют. Назовем его нейтральным слоем. Отметим его отрезком CD. В результате поворота сечений изменение кривизны нейтрального слоя будет следующим: 1/ρ= dθ/ dz Произвольно взятый отрезок AB=dz получит приращение длины А'В' — АВ. Так как сечения остаются плоскими, А'В' – АВ=(ρ+y)dθ- ρ dθ =y dθ где у — расстояние от рассматриваемого отрезка АВ до нейтрального слоя CD. Допустим, что положение этого слоя пока неизвестно. Относительное удлинение слоя АВ равно ε= y dθ/ dz= y/ρ По закону Гука σ=E ε =E y/ρ Таким образом, при чистом изгибе напряжения в поперечном сечении изменяются по линейному закону. что изменение кривизны стержня происходит в плоскости момента в том случае, если последняя проходит через одну из главных осей сечения. Такой изгиб называется прямым. В отличие от прямого изгиба, изгиб при котором плоскость изгибающего момента с главной осью сечения не совпадает, называется косым изгибом. В случае поперечного изгиба в сечении стержня возникает не только изгибающий момент, но и поперечная сила Q. Эта сила представляет собой равнодействующую элементарных распределенных сил, лежащих в плоскости сечения. Следовательно в поперечных сечениях возникают не только нормальные, но и касательные напряжения.

Касательные напряжения распределены по сечению неравномерно. Поэтому неравномерно будут распределены и угловые смещения. Это значит, что при поперечном изгибе в отличие от чистого изгиба поперечные сечения не остаются плоскими. Второй особенностью поперечного изгиба является наличие нормальных напряжений, возникающих в продольных сечениях бруса, т. е. напряжений «надавливания» между слоями. Эти напряжения возникают только при переменнойпоперечной силе Q и имеют весьма малую величину.

τ = 6 Q /bh³ (h² /4-y² ) а τ_max = 3Q /2bh ; σ = M y/ J_х ;σ_max = M_изг/ W_{х .}

В связи с малостью величины τ_мах расчет на прочность при поперечном изгибе производится только по нормальным напряжениям. Внешняя сила, приходящаяся на лист, равна P/n, а наибольшее нормальное напряжение в поперечном сечении листа равно s_мах= М_изг/W_x = (P/n)l/(b/6)(h/n)²=6Pln/bh² Если листы плотно стянуть достаточно жесткими болтами, брус будет изгибаться как целый. В этом случае величина наибольшего нормального напряжения оказывается в n раз меньшей, т. е. s_мах=6Pl/bh²Иными словами, связанный пакет листов способен в первом приближении выдержать нагрузку в n раз большую, чем несвязанный. Можно произвести сопоставление абсолютных величин максимальных нормальных и максимальных касательных напряжений. Например, для консольной балки прямоугольного сечения имеем s_мах= Мизг/Wx =6Pl/bh² , τ _мах = 3 P /2 bh откуда τ _мах/s_мах=h/4l т.е. касательные напряжения существенно меньше нормальных.

ЧИСТЫЙ ИЗГИБ

Под чистым изгибом, понимается такой вид нагружения, при котором в поперечных сечениях стержня возникают только изгибающие моменты, a Q=0. Для тех участков стержня, где соблюдается это условие, изгибающий момент, остается постоянным М=const.

что совокупность точек, расположенных до изгиба в плоскости поперечного сечения стержня, после изгиба также образует плоскость, но переместившуюся и пространстве. Это утверждение, будучи точным для чистого изгиба, в общем случае является приближенным и именуется гипотезой плоских сечений.

Условно примем левое сечение за неподвижное. Тогда в результате поворота правого сечения на угол dθ верхние слои удлинятся, а нижние — укоротятся. Очевидно, существует слой, в котором удлинения отсутствуют. Назовем его нейтральным слоем. Отметим его отрезком CD. В результате поворота сечений изменение кривизны нейтрального слоя будет следующим: 1/ρ= dθ/ dz Произвольно взятый отрезок AB=dz получит приращение длины А'В' — АВ. Так как сечения остаются плоскими, А'В' – АВ=(ρ+y)dθ- ρ dθ =y dθ где у — расстояние от рассматриваемого отрезка АВ до нейтрального слоя CD. Допустим, что положение этого слоя пока неизвестно. Относительное удлинение слоя АВ равно ε= y dθ/ dz= y/ρ По закону Гука σ=E ε =E y/ρ. Таким образом, при чистом изгибе напряжения в поперечном сечении изменяются по линейному закону. Геометрическое место точек в сечении, удовлетворяющее условию σ =0, называется нейтральным слоем или нейтральной линией сечения. Нейтральная линия, очевидно, перпендикулярна к плоскости кривизны изогнутого стержня.