VIII. Обыкновенные дифференциальные уравнения

39. Физические задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям. Дифференциальные уравнения первого порядка. Задача Коши. Теорема существования и единственности решения задачи Коши. Понятие об основных решениях дифференциальных уравнений. Основные классы уравнений, интегрируемых в квадратурах.

40. Дифференциальные уравнения высших порядков. Задача Коши. Уравнения, допускающие понижение порядка.

41. Линейные дифференциальные уравнения, однородные и неоднородные. Понятие общего решения. Метод Лагранжа вариации произвольных постоянных.

42. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами. Уравнения с правой частью специального вида.

IX. Системы обыкновенных дифференциальных уравнений

43. Задача Коши для нормальной системы дифференциальных уравнений. Теорема существования и единственности решения задачи Коши. Метод исключения. Векторно-матричная запись нормальной системы. Структура общего решения.

44. Нормальные системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Решение в случае простых корней характеристического уравнения.

X. Числовые ряды. Степенные ряды

45. Числовые ряды. Сходимость и сумма ряда. Необходимое условие сходимости. Действия с рядами.

46. Ряды с положительными членами. Признаки сходимости.

47. Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимости. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница.

48. Степенные ряды. Теорема Абеля. Радиус сходимости. Свойства степенных рядов.

49. Разложение функции в степенные ряды. Ряд Тейлора. Применение степенных рядов к приближенным вычислениям.

XI. Ряды Фурье

50. Тригонометрическая система функций. Ряд Фурье. Разложение функции в ряд Фурье. Формулировка условий разложимости в ряд Фурье.

XII. Кратные интегралы

51. Задачи, приводящие к понятию кратного интеграла. Двойные и тройные интегралы, их основные свойства.

52. Вычисление двойных и тройных интегралов в декартовых координатах.

53. Применение кратных интегралов для вычисления объемов и площадей, для решения задач механики и физики.

XIII. Криволинейные и поверхностные интегралы

54. Задачи, приводящие к криволинейным интегралам. Определение криволинейных интегралов первого и второго рода, их основные свойства и вычисление. Геометрические и механические приложения. Формула Грина.

55. Поверхностные интегралы, их свойства и вычисление.

XIV. Векторный анализ

56. Скалярное поле. Поверхности и линии уровня скалярного поля. Производная по направлению. Градиент скалярного поля.

57. Векторное поле. Векторные линии и их дифференциальные уравнения.

58. Односторонние и двусторонние поверхности. Поток векторного поля Теорема Остроградского.

59. Дивергенция векторного поля, ее инвариантное определение и физический смысл. Вычисление дивергенции. Соленоидальные (трубчатые) поля.

60. Линейный интеграл в векторном поле. Работа силового поля. Циркуляция векторного поля. Ротор векторного поля. Теорема Стокса.

61. Потенциальное поле. Условие потенциальности поля. Вычисление линейного интеграла в потенциальном поле.

Контрольная работа №1

Тема1. Аналитическая геометрия. Элементы векторной и линейной алгебры. Комплексные числа.

Основные теоретические сведения

1. Определителем -го порядка называется число , записываемое в виде квадратичной таблицы

и вычисляемое, согласно указанному ниже правилу, по заданным числам , которые называются элементами определителя. Индекс указывает номер строки, а – номер столбца квадратной таблицы.

Минором элемента называется определитель порядка, получаемый из определителя -го порядка, вычеркиванием -й строки и -го столбца.

Алгебраическое дополнение элемента определяется равенством

.

Рекуррентная формула для вычисления определителя -го порядка имеет вид

(разложение определителя по элементам -й строки).

2. Скалярным произведением двух векторов и называется число, определяемое равенством

,

где – угол между векторами и .

3. Векторным произведением векторов и называется вектор , обозначаемый , который удовлетворяет условиям:

1) , ;

2) ;

3) – правая тройка векторов;

– формула для вычисления площади треугольника.

4. Смешанное произведение трех векторов , , есть число, равное

.

Модуль смешанного произведения равен объему параллелепипеда, построенного на векторах.

5. Выражение вида называется комплексным числом (в алгебраической и тригонометрической форме соответственно). Здесь , – действительная часть, – мнимая часть комплексного числа ; и – модуль и аргумент числа :

; .

Извлечение корня -ой степени ( – натуральное число) из числа производится по формуле

,

где .

Пример 1.Дана система линейных алгебраических уравнений:

Проверить, совместна ли эта система, и в случае совместности решить ее: а) по формулам Крамера; б) методом Гаусса; в) с помощью обратной матрицы. Совместность данной системы проверим по теореме Кронекера - Капелли.

Решение. С помощью элементарных преобразований найдем ранг матрицы

данной системы и ранг расширенной матрицы

Для этого умножим первую строку матрицы В на –2 и сложим со второй, затем умножим первую строку на –3 и сложим с третьей, получим

~ ~ .

Следовательно, rang A = rang B = 3 (числу неизвестных), исходная система имеет единственное решение.

а) Находим решение системы по формулам Крамера

где

б) Метод Гаусса. Составим расширенную матрицу и проведем необходимые элементарные преобразования. Элементы первой строки умножим на –2 и прибавим к соответствующим элементам 2-ой строки, затем элементы первой строки умножим на –3 и прибавим к соответствующим элементам третьей строки.

~ ~

Последней матрицей соответствует система, эквивалентная исходной:

Из этой системы, двигаясь снизу вверх, последовательно находим:

в) Матричный метод. Так как det A = -16 ¹0, то матрица А невырожденная, существует обратная матрица А^-1, определяемая по формуле:

где являются алгебраическими дополнениями соответствующих элементов матрицы А.

Введем в рассмотрение матрицы столбцы для неизвестных и свободных членов:

Тогда данную систему можно записать в матричной форме: , отсюда находим - решение системы в матричной форме.

Решение системы:

таким образом,

Пример 2.Составить канонические уравнения: а) эллипса, большая ось которого равна 5, а фокус находится в точке F(3,0); б) гиперболы с мнимой осью в=3 и ; в) параболы, имеющей директрису x=-3.

а) Каноническое уравнение эллипса имеет вид . По условию задачи большая полуось а=5, с=3. Для эллипса выполняется равенство . Подставив значения а и с, найдем в²=16. Искомое уравнение эллипса:

.

б) Каноническое уравнение гиперболы имеет вид . По условию задачи мнимая полуось в=3, эксцентриситет . Для гиперболы справедливо равенство и учитывая, что , находим а² = 16. Искомое уравнение гиперболы:

.

в) Каноническое уравнение параболы в данном случае имеет вид y²=2px, а уравнение ее директрисы . По условию x=-3, следовательно, , уравнение параболы имеет вид .

Пример 3.Даны координаты вершин пирамиды ABCD: A(2,1,0), B(3,-1,2), C(13,3,10), D(0,1,4). Найти: 1) угол между ребрами AB и AD; 2) уравнение плоскости АВС; 3) угол между ребром AD и гранью АВС; 4) площадь грани АВС; 5) объем пирамиды; 6) уравнение высоты, опущенной из вершины AD на грань АВС.

1) Угол между ребрами AB и AD вычисляем по формуле:

,

где

.

;

.

2) Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки имеет вид:

.

Подставляя в данное уравнение координаты точек А,В и С, получим:

Разложив определитель по элементам первой строки, получим:

,

отсюда находим искомое уравнение плоскости АВС:

.

3) Угол между ребром AD и гранью АВС вычисляем по формуле:

,

где - направляющий вектор ребра AD, - нормальный вектор грани АВС.

.

4) Площадь грани АВС вычисляется по формуле:

.

.

.

.

Окончательно имеем

5) Объем пирамиды вычисляем по формуле:

.

.

Объем пирамиды равен 24 (куб. ед.).

6) Уравнение высоты DM, опущенной из вершины D на грань АВС составляет по формуле

,

где (x₀, y₀, z₀) – координаты точки D, - координаты направляющего вектора прямой DM. Т.к. DM ^ АВС, то в качестве направляющего вектора можно взять нормальный вектор . Уравнение прямой Dm запишется в виде:

.

Введение в анализ. Дифференциальное исчисление функции одной переменной.

Основные теоретические сведения

1. Схема полного исследования функции и построение ее графика.

Для полного исследования функции и построения ее графика можно рекомендовать следующую примерную схему:

1) указать область определения;

2) найти точки разрыва функции, точки пересечения ее графика с осями координат;

3) установить наличие или отсутствие четности, нечетности, периодичности функции;

4) найти асимптоты графика функции;

5) исследовать функцию на монотонность и экстремум;

6) определить интервалы выпуклости и вогнутости;

7) построить график функции.

2. Правила дифференцирования. Если – постоянное число и , – некоторые дифференцируемые функции, то справедливы следующие правила дифференцирования:

1) .	2) .	3) .
4) .	5) .	6) .

3. Таблица производных основных элементарных функций

1. . 2. .

3. . 4. .

5. . 6. .

7. . 8. .

9. . 10. .

11. . 12. .

13. . 14. .

Пример 1.Найти указанные пределы.

а)		б)
в)		г)

Решение:

а)

б) в)

г)

Пример 2.Исследовать функцию на непрерывность в точках , .

Решение: для точки x₁ = 3 имеем:

точка – точка разрыва II

При функция определена, следовательно не является точкой разрыва, .

Пример 3.Найти производную функции .

Решение.Логарифмируя данную функцию, получаем:

.

Дифференцируем обе части последнего равенства по х:

.

Отсюда

.

Далее

.

Окончательно имеем:

.

Пример 4.Найти производную функции y, если .

Дифференцируем обе части данного уравнения по , считая функцией от :

.

Отсюда находим

.

15. . 16. .

Контрольная работа №1

Задание №1 Данную систему уравнений исследовать и решить тремя способами: а) по формулам Крамера; б) методом Гаусса; в) средствами матричного исчисления.

11. 12.

13. 14.

15. 16.

17. 18.

19. 20.

21. 22.

23. 24.

25. 26.

27. 28.

29. 30.

Задание №2 Даны координаты вершин треугольника ABC. Найти: 1) длину стороны АВ; 2) уравнение стороны АВ; 3) уравнение высоты СН; 4) уравнение медианы АМ; 5) точку N пересечения медианы АМ и высоты СН; 6) уравнение прямой, проходящей через вершину С параллельно стороне АВ.

Задание №3В пространстве заданы точки (координаты – декартовы прямоугольные) и О (0,0,0) – начало координат. Найти: 1) угол между ребрами АB и AC; 2) уравнение плоскости ABC; 3) площадь треугольника АВС; 4) векторное произведение векторов ; 5) объем пирамиды ABCO; 6) уравнение высоты опущенной из вершины О на грань ABC, если:

1. А(3,3,2); В(5,1,7); С(2,4,1)

2. А(6,5,1); В(8,6,7); С(8,2,4)

3. А(8,8,4); В(6,6,5); С(5,7,1)

4. А(4,1,6); В(4,4,5); С(3,8,2)

5. А(1,4,6); В(1,5,6); С(6,7,2)

6. А(4,3,3); В(5,6,2); С(1,8,2)

7. А(3,4,2); В(4,4,4); С(2,3,4)

8. А(1,1,2); В(2,7,8); С(7,5,5)

9. А(1,4,4); В(5,2,1); С(7,6,8)

10. А(8,5,5); В(6,7,2); С(2,2,3)

11. А(5,1,6); В(2,8,6); С(7,7,5)

12. А(3,3,2); В(6,5,5); С(4,3,3)

13. А(3,3,2); В(5,1,7); С(9,2,4)

14. А(1,6,5); В(1,8,6); С(7,8,9)

15. А(2,4,9); В(8,9,8); С(4,6,6)

16. А(5,5,7); В(1,4,1); С(6,4,4)

17. А(5,3,8); В(2,1,4); С(6,1,5)

18. А(6,6,0); В(7,2,4); С(3,3,5)

19. А(6,2,1); В(8,2,3); С(4,2,4)

20. А(4,9,0); В(4,0,0); С(2,9,3)

21. А(4,1,1); В(2,2,7); С(8,9,7)

22. А(4,5,0); В(1,4,4); С(5,2,1)

23. А(7,6,8); В(8,0,3); С(3,2,5)

24. А(7,1,4); В(1,6,4); С(4,5,3)

25. А(6,0,7); В(2,4,3); С(3,5,6)

26. А(-3,3,-2); В(7,-1,7); С(2,4,10)

27. А(-6,5,1); В(8,6,7); С(8,2,4)

28. А(8,-8,4); В(6,6,5); С(5,7,1)

29. А(3,1,6); В(4,2,5); С(3,11,2)

30. А(10,4,-6); В(1,5,6); С(6,5,-2)

Задание №4 Найти указанные пределы (не пользуясь правилом Лопиталя):

1.	а)		б)
	в)		г)
2.	а)		б)
	в)		г)
3.	а)		б)
	в)		г)
4.	а)		б)
	в)		г)
5.	а)		б)
	в)		г)
6.	а)		б)
	в)		г)
7.	а)		б)
	в)		г)
8.	а)		б)
	в)		г)
9.	а)		б)
	в)		г)
10.	а)		б)
	в)		г)
11.	а)		б)
	в)		г)
12.	а)		б)
	в)		г)
13.	а)		б)
	в)		г)
14.	а)		б)
	в)		г)
15.	а)		б)
	в)		г)
16.	а)		б)
	в)		г)
17.	а)		б)
	в)		г)
18.	а)		б)
	в)		г)
19.	а)		б)
	в)		г)
20.	а)		б)
	в)		г)
21.	а)		б)
	в)		г)
22.	а)		б)
	в)		г)
23.	а)		б)
	в)		г)
24.	а)		б)
	в)		г)
25.	а)		б)
	в)		г)

Задание №5 Найти производные данных функций.