Корреляция альтернативных признаков

В том случае, когда качественные признаки представлены в виде альтернативных (дихотомических), рассчитываются коэффициенты контингенции и ассоциации на основе четырехклеточных таблиц следующего вида:

Информация для оценки этой связи группируется в виде таблицы (m_ij – частоты взаимного сочетания двух качественных признаков).

Коэффициент взаимной сопряженности Пирсона определяется по формуле:

(7.17)

где - показатель средней квадратической сопряженности, рассчитываемый как

(7.18)

Интерпретация коэффициентов контингенции, ассоциации и взаимной сопряженности Пирсона аналогична интерпретации коэффициента корреляции Пирсона.

Пример 7.8. Для изучения влияния условий труда на взаимоотношения в коллективе было проведено выборочное обследование 250 работников предприятия, ответы которых распределились следующим образом:

Рассчитать коэффициент взаимной сопряженности Пирсона.

Решение:

.

Множественная корреляция

Изменение экономических явлений происходит под влиянием не одного, а большого числа различных факторов. Для измерения тесноты корреляционной связи между результативным признаком и несколькими факторными признаками при линейной форме связи рассчитывается коэффициент множественной корреляции.

Коэффициент множественной корреляции, для случая двух факторных признаков x₁ и x₂ рассчитывается по формуле:

(7.19)

Множественный коэффициент корреляции изменяется в пределах [0;1] и численно не может быть меньше, чем любой из образующих его парных коэффициентов. Приближение R к единице свидетельствует о сильной зависимости между признаками.

Средняя квадратическая ошибка коэффициента множественной корреляции определяется по формуле:

(7.20)

Тогда, если , то с вероятностью близкой к 0,99 можно считать коэффициент множественной корреляции значимым.

Проверка значимости коэффициента множественной корреляции осуществляется так же по F-критерию Фишера. Для случая двух факторных признаков х₁ и х₂ он имеет вид:

(7.21)

Коэффициент множественной корреляции считается статистически значимым, если _, где находится по таблице распределения Фишера с параметрами .

В ходе изучения множественной корреляции рассчитывают также частные коэффициенты корреляции. Частные коэффициенты корреляции характеризуют степень тесноты связи между двумя признаками при фиксированном значении всех остальных. Для случая двух факторных признаков x₁ и x₂ формулы будут иметь вид:

(7.22)

(7.23)

В первом случае исключено влияние факторного признака х₂, а во втором х₁. Значения парного и частного коэффициентов корреляции отличаются друг от друга, т.к. парный коэффициент характеризует связь между двумя признаками без учета влияния других признаков, а частный учитывает наличие и влияние других факторов.

Проверка значимости и расчет доверительных интервалов для частных коэффициентов корреляции аналогичны, как и для парных коэффициентов корреляции, с тем лишь отличием. Что число степеней свободы n определяется так: n = n - k., где k – порядок коэффициента частной корреляции.

7.2. Контрольные вопросы к теме 7

1.Какие типы взаимосвязей между явлениями Вы знаете?

2.В чем сущность корреляционной связи между явлениями

3.Что такое «ложная» корреляция?

4.Охарактеризуйте корреляционные связи по направлению и по аналитическому выражению.

5.Какие методы применяют в начальной стадии анализа статистических зависимостей?

6.Какие существуют показатели измерения тесноты связи?

7.Как оценивается значимость коэффициента корреляции, рассчитанного по выборочным данным?

8.Что представляют собой коэффициенты рангов Спирмена и Кендэлла?

9.С помощью каких показателей изучается и измеряется корреляционная зависимость между качественными показателями на основе таблиц взаимной сопряженности?

10.Определите понятие множественной корреляции.

11.Что такое совокупный и частные коэффициенты корреляции? В чем их отличие?

7.3. Контрольные задания к теме 7

1.По следующим данным рассчитайте коэффициент корреляции Пирсона и сделайте выводы:

.

2.Следующая таблица представляет значения премий, выплаченных десятью страховыми обществами (Х), и их резервы для выплаты непредъявленных премий (Y).

Оценить тесноту связи между выплачиваемыми премиями и резервами страховых обществ.

3.По группе акционерных коммерческих банков региона имеются следующие данные:

Оценить тесноту связи между прибылью и активами банков.

4.По данным аудиторского отчета о деятельности 12 коммерческих банков построена следующая таблица:

Оценить степень тесноты связи между размером кредитной ставки и доходностью кредитных операций.

5.На основе выборочных данных о деловой активности однотипных коммерческих структур оценить тесноту связи между прибылью (Y, млн. руб.) и затратами на 1 руб. произведенной продукции (Х)

6.Имеются данные о количестве копий (тыс. шт.), сделанных копировальными машинами различных марок в издательских центрах города и стоимости технического обслуживания копировальных машин (тыс. у. е.):

Рассчитайте линейный коэффициент корреляции и проверьте его значимость.

7.Имеются данные по 10 группам населения о среднегодовом доходе и уровне потребления мяса жителями штата Канзас (США):

Рассчитайте линейный коэффициент корреляции и проверьте его значимость.

8.По однородным предприятиям имеются данные о количестве рабочих с профессиональной подготовкой и количестве бракованной продукции:

Рассчитайте линейный коэффициент корреляции и проверьте его значимость.

9.Периодически в средствах массовой информации обсуждаются высокие должностные оклады президентов благотворительных организаций. Дана информация о десяти крупнейших филиалах общества United Way.

Рассчитайте линейный коэффициент корреляции и проверьте его значимость.

10.Имеются следующие данные о росте пар братьев и сестер:

Оценить степень тесноты связи между ростом братьев и сестер.

11.У 8 учащихся колледжа зафиксировано следующее количество баллов, полученных за самостоятельные работы по математике (х) и по гуманитарным предметам (y)

Оценить степень тесноты связи между успеваемостью по математике и гуманитарным предметам.

12.Имеются данные о спросе на книжную продукцию и структуре оборота издательства «Прогресс».

Оценить степень тесноты связи между спросом и структурой оборота.

13.Представлены данные о тираже бесплатной рекламной газеты «Реклама для вас», распространяемой в различных регионах РФ и стоимости размещения в ней рекламы стандартного размера (1/4 газетной полосы):

Рассчитайте линейный коэффициент корреляции и проверьте его значимость.

14.Компания «Вест» продает кухонные принадлежности, рассылая каталоги по почте. Данные, иллюстрирующие количество рассылок (тыс. адресов) и объем выручки компании (млн. у. е.):

Рассчитайте линейный коэффициент корреляции и проверьте его значимость.

15.Администрация страховой компании приняла решение о введении нового вида услуг − страхования на случай пожара. С целью определения тарифов по выборке анализируется зависимость стоимости ущерба, нанесенного пожаром, от расстояния до ближайшей пожарной станции:

Рассчитайте линейный коэффициент корреляции и проверьте его значимость.

16.Компанию по прокату автомобилей интересует зависимость между пробегом автомобилей и стоимостью ежемесячного обслуживания:

Рассчитайте линейный коэффициент корреляции и проверьте его значимость.

17.При исследовании годового дохода и сбережений населения получены следующие данные:

Рассчитайте линейный коэффициент корреляции и проверьте его значимость.

18.Имеются следующие данные о динамики безработицы и преступности.

Определите наличие связи между числом преступлений и численностью лиц, не занятых в экономике.

19.По ряду районов определены среднесуточное количество йода в воде и в пище и пораженность населения заболеванием щитовидной железы.

Оцените тесноту связи между данными признаками.

20.Имеются данные о динамике удельного веса работающих женщин и коэффициенте разводов в Англии за 1890-1950 гг. Измерьте тесноту связи между данными признаками.

21.По результатам ранжирования стран по уровню эффективности экономики и степени политического риска, определите коэффициенты ранговой корреляции и сделайте выводы

22.Экзаменаторам по курсам “Экономическая теория” и “Высшая математика” было предложено проранжировать 10 студентов по уровню знаний ими соответствующих предметов. Оцените тесноту связи между уровнями знаний по экономической теории и высшей математике используя коэффициенты корреляции Спирмена и Кендэлла .

23.С помощью ранговых коэффициентов определите, в какой степени связаны жизненные планы молодежи разного пола.

24.С помощью ранговых коэффициентов определите, существует ли связь между намерениями учащихся после окончания учебного года в зависимости от пола и от места проживания.

25.Рассчитайте коэффициенты ранговой корреляции для данных, представленных в таблице. Сделайте выводы.

26.По данным 10 предприятий с помощью коэффициентов ранговой корреляции Спирмена и Кендэлла измерить тесноту зависимости между объемом выпускаемой продукции (у), млн. руб., и стоимостью основных производственных средств (х), млн. руб.

27.С помощью коэффициентов ранговой корреляции оцените тесноту связи между высказываниями респондентов в 1994 и 1996 годах.

28.Экспертами оценивались вкусовые качества разных вин. Суммарные оценки получены следующие:

Согласуется оценка вина с его ценой. Проверьте эту гипотезу методами ранговой корреляции.

29.Имеются следующие данные о числе полученных неудовлетворительных оценок в летнюю сессию по одному из факультетов:

Можно ли считать, что пол экзаменатора и студента как-то влияет на результаты экзамена? С какой вероятностью здесь можно говорить об отсутствии связи между полом и результатами экзамена?

30.Экзаменационная сессия студентов-заочников по специальным дисциплинам характеризуется следующими данными:

Рассчитать коэффициенты контингенции и ассоциации. Сделайте выводы.

31.По материалам одного из обследований домашних хозяйств получены следующие данные:

Рассчитать коэффициенты контингенции и ассоциации. Сделайте выводы.

32.Оцените тесноту связи между заболеваемостью и наследственностью:

33.По данным социологического опроса получено следующее распределение ответов на два вопроса: 1) Считаете ли Вы, что Ваши доходы достаточны для удовлетворения основных потребностей (да, нет)? 2) Вы работаете: в бюджетной организации или коммерческой структуре?

Определите, есть ли связь между ответами на эти вопросы. Сделайте выводы.

34.На основе опроса 400 работников коммерческих структур и 400 работников бюджетных организаций получено следующее их распределение по ответам на вопрос, довольны ли они своей заработной платой:

Рассчитать коэффициенты контингенции и ассоциации. Сделайте выводы.

35.Исследовалась социально-демографическая характеристика случайных потребителей наркотиков в зависимости от их семейного положения в одном из регионов РФ (тыс. чел.). Результаты обследования характеризуются следующими данными:

Рассчитать коэффициенты контингенции и ассоциации. Сделайте выводы.

36.В ходе проведенного обследования оценки уровня жизни работающих на предприятиях различной формы собственности было опрошено 100 респондентов. Результаты представлены в следующей таблице:

Рассчитать коэффициенты контингенции и ассоциации. Сделайте выводы.

37.Распределение предприятий по источникам средств для их покупки характеризуется следующими данными:

Рассчитать коэффициенты контингенции и ассоциации. Сделайте выводы.

38.По данным таблицы определить, имеется ли связь между успеваемостью и прослушиванием лекций студентов одного из факультетов.

Рассчитать коэффициенты контингенции и ассоциации. Сделайте выводы.

39.Определите тесноту связи между рассматриваемыми в таблице признаками.

40.Определите зависимость между типом поселений и отношением к реформам.

41.Оцените наличие связи между банковскими работниками, распределенными по полу и содержанию работы.

42.По данным следующей таблицы оцените тесноту связи между восприятием рекламы и приобретением рекламируемого товара:

43.С помощью коэффициента взаимной сопряженности определите: является ли работа на компьютере фактором ухудшения зрения.

44.Оценка студентами профессиональных качеств преподавателей представлена в следующей таблице:

Рассчитайте коэффициент взаимной сопряженности К. Пирсона.

45.На основании изучения материалов о пользовании средствами массовой информации была построена следующая таблица: