Свойства скалярного произведения

Скалярное произведение двух векторов равно произведению модулей одного из них на проекцию другого вектора на этот вектор:

(5.2)

Это свойство используется для вычисления величины проекции одного вектора на другой в случае, когда векторы заданы своими координатами (об этом разговор позже).

Коммутативный (переместительный) закон:

(5.3)

Ассоциативный (сочетательный) закон относительно числового множителя:

. (5.4)

Дистрибутивный (распределительный) закон:

(5.5)

Прежде чем формулировать следующее свойство, определим важное понятие.

Определение 5.2.Скалярным квадратом вектора называется скалярное произведение вектора на себя. Скалярный квадрат вектора обозначается символом

Скалярный квадрат вектора равен квадрату его модуля:

(5.6)

Из равенства (5.6) следует:

(5.6^*)

Замечание. Из свойств скалярного умножения векторов следует, что преобразования векторных одночленов и многочленов относительно сложения, вычитания и умножения (в том числе и скалярного) можно производить по правилам преобразований алгебраических многочленов.

Покажем это на примере решения задачи.

Задача 5.1. Дано:

Найти: и .

Решение. По формуле (5.6^*) получаем:

;

По формуле (5.5) имеем:

=

Ответ.

Для того, чтобы векторы и , были взаимно перпендикулярны, необходимо и достаточно, чтобы их скалярное произведение было равно нулю.

Скалярное произведение ненулевых векторов и положительно при и отрицательно при

5.3. Скалярное произведение векторов
в координатной форме.

Свойства и позволяют получить скалярные векторов – ортов координатных осей:

Например, (по свойству 5⁰); (по свойству 6⁰), так как Аналогично обосновываются остальные соотношения. Результаты сведем в таблицу 5.1. В ней элементы главной диагонали – скалярные квадраты ортов, остальные элементы – парные произведения ортов. Таблица (табл. 5.1) скалярного умножения ортов представляет единичную матрицу третьего порядка.

Таблица 5.1

Получим формулу скалярного произведения двух векторов в координатной форме.

Имеем два вектора:

,

Перемножим их скалярно:

Учитывая данные таблицы, получаем:

(5.7)

Скалярное произведение двух векторов равно сумме произведений соответствующих координат этих векторов.

Из свойства скалярного произведения векторов и формулы (5.7) получаем условие перпендикулярности двух векторов в координатной форме:

(5.8)

Для того чтобы два вектора были взаимно перпендикулярны, необходимо и достаточно чтобы сумма произведений соответствующих координат этих векторов была равна нулю.

Рассмотрим две задачи, в которых используется формула (5.7).

Задача 5.2. Найти проекцию вектора на вектор если

Решение.По свойству 1⁰:

Ответ.

Задача 5.3. Даны векторы:

Найти скалярное произведение векторных двучленов:

Решение.Решение задачи можно выполнить двумя способами:

· перемножить двучлены, а затем представить векторы в координатной форме и выполнить действия;

· сразу же представить векторы в координатной форме, и далее все действия осуществлять в этой форме.

1⁰.Первый способ.

2⁰.Второй способ.

Второй способ является, с нашей точки зрения, более рациональным.

Ответ.

Задача 5.4. Вычислить работу, которую производит сила , если точка ее приложения перемещается из начала в конец вектора , причем

Решение. Работа силы на перемещении равна скалярному произведению векторов и Найдем координаты вектора

Ответ.

Угол между двумя векторами

Для получения формулы угла между двумя векторами воспользуемся выражением скалярного произведения двух векторов:

отсюда получаем:

(5.9)

Подставляя в правую часть равенства (5.9) выражения и в координатной форме, получаем формулу угла между двумя векторами в координатной форме:

(5.10)

отсюда

(5.11)

Формула (5.11) и есть искомая формула угла между двумя векторами.