Приложение № 1. Пример выполнения

индивидуального задания

Вариант № 0

1. По данным неколлинеарным векторам и построить векторы: ; ; ;
.

2. Дано: , , , .

Найти: _.

3. Дано: , , .

Найти:

;

;

;

Площадь параллелограмма, построенного на векторах и .

Площадь треугольника, построенного на векторах , .

4. Даны векторы: , .

Найти:

Координаты и модуль вектора ;

Направляющие косинусы вектора ;

;

;

Угол между векторами и ;

6⁰. Площадь треугольника, построенного на векторах и ;

5. Даны вершины треугольника: , , .

Сделать схематический рисунок и найти:

;

Разложение по ортам вектора ;

Направляющие косинусы вектора ;

Периметр треугольника ;

Медиану ;

Угол при вершине .

7⁰. Площадь треугольника

Высоту .

6. Сила приложена к точке Найти момент этой силы относительно начала координат.

6^*. Вычислить работу, которую производит сила , если точка ее приложения перемещается из начала в конец вектора , причем

Решение задачи индивидуального задания

1. По данным неколлинеарным векторам и построить векторы: ; ; ;
.

Даны два вектора:

Решение.

1⁰. 2⁰.

3⁰.

4⁰.

2. Дано: , , , .

Найти _.

Решение.Воспользуемся свойствами аддитивности и однородности проекций и выражением проекции чрез ее модуль и угол между вектором и осью.

3. Дано: , , .

Найти:

1⁰. Скалярное произведение: .

Решение. В соответствии с определением понятия скалярного произведения двух векторов получаем:

Ответ.

2⁰. Скалярное произведение двучленов:

.

Решение. Выполним действия по правилам преобразования алгебраических многочленов:

Ответ.

3⁰. Модуль разности векторов: .

Решение. Воспользуемся формулой вычисления модуля вектора :

Ответ.

4⁰. Площадь параллелограмма, построенного на векторах и .

Решение. Площадь параллелограмма определяется формулой:

Ответ.

Площадь треугольника, построенного на векторах , .

Решение. Площадь треугольника, построенного на векторах и , равна половине модуля векторного произведения данных векторов. Вычислим векторное произведение векторов и по правилу преобразования многочленов с учетом свойства «антикоммутативности»:

Ответ.

4. Даны векторы: , .

Найти:

Координаты и модуль вектора .

Решение. Введем обозначение: , и вычислим координаты вектора и его модуль:

Модуль вектора

Ответ: искомые координаты:

искомый модуль:

Направляющие косинусы вектора .

Решение.Введем обозначение: и вычислим координаты и модуль вектора :

Вычислим направляющие косинусы вектора

:

Найдем сумму квадратов направляющих косинусов:

Ответ. Направляющие косинусы вектора равны:

Скалярное произведение двучленов:

Решение.Здесь можно пойти двумя путями:

· перемножить двучлены, а затем представить векторы в координатной форме и выполнить действия;

· сразу же представить векторы в координатной форме, и далее все действия осуществлять в этой форме.

Второй путь, с нашей точки зрения, более рационален.

=

=20–40+32=12.

Ответ.

Проекцию вектора на вектор

Решение.

Ответ.

Угол между векторами и .

Решение.Найдем косинус угла между данными векторами и :

Ответ.

6⁰. Площадь треугольника, построенного на векторах и .

Решение. Площадь треугольника, построенного на векторах, равна половине модуля векторного произведения этих векторов. Вычислим это произведение:

Найдем модуль векторного произведения:

Отсюда

Ответ.

5. Даны вершины треугольника: , , (рис. 7.1).

Найти:

Длину стороны

Решение. Для определения длины стороны рассмотрим вектор , найдем координаты и модуль этого вектора:

Ответ.

Разложение по ортам вектора .

Решение. Определим координаты вектора , а затем его разложение по ортам:

Ответ.

Направляющие косинусы вектора .

Решение. Найдем координаты и модуль вектора :

Вычислим направляющие косинусы вектора :

Найдем сумму квадратов направляющих косинусов:

Ответ. Направляющие косинусы вектора равны:

Периметр треугольника

Решение. Длины сторон и известны, , Длину стороны вычислим по известным координатам вектора :

Периметр треугольника равен:

Ответ.

Медиану .

Решение. Определим координаты точки Поскольку точка является серединой отрезка , то ее координаты вычислим по формулам:

Точки имеет координаты: .

Вычислим координаты вектора :

и наконец, найдем медиану

Ответ. Медиана

6⁰. Угол при вершине .

Решение. Угол определим как угол между векторами и .

Ответ. Угол между векторами и равен:

7⁰. Площадь треугольника

Решение. Площадь равна половине модуля векторного произведения каких-либо векторов, образующих этот треугольник, например, векторов и (рис 7.1).

Вычислим векторное произведение этих векторов, используя формулу (6.7):

Координаты векторов и нам известны:

Вычислим их векторное произведение:

Найдем площадь треугольника:

Ответ.

8⁰. Высоту

Решение. Площадь равна половине произведения основания на высоту. В данном треугольнике AC –основание, BE –высота(рис. 7.1). Следовательно,

Отсюда получаем:

Ответ.

6. Сила приложена к точке Найти момент этой силы относительно начала координат.

Решение. Моментом силы относительно начала координат является вектор, равный векторному произведению радиус-вектора точки на вектор силы Координаты радиус-вектора совпадают с координатами точки , поэтому Отсюда следует:

Ответ.

6^*. Вычислить работу, которую производит сила , если точка ее приложения перемещается из начала в конец вектора , причем

Решение. Работа силы на перемещении равна скалярному произведению векторов и Найдем координаты вектора

Ответ.

Приложение № 2

Индивидуальные задания

Вариант № 1

1. По данным неколлинеарным векторам и построить векторы: ; ; ;
.

2. Дано: , , , .

Найти: _.

3. Дано: , , .

Найти:

;

;

;

Площадь параллелограмма, построенного на векторах и ;

Площадь треугольника, построенного на векторах , .

4. Даны векторы: , .

Найти:

Координаты и модуль вектора ;

Направляющие косинусы вектора ;

;

;

Угол между векторами и ;

Площадь треугольника, построенного на векторах и .

5. Даны вершины треугольника: , , .

Сделать схематический рисунок и найти:

;

Разложение по ортам вектора ;

Направляющие косинусы вектора ;

Периметр треугольника ;

Медиану ;

Угол при вершине .

Площадь треугольника ;

Высоту .

6. Сила приложена к точке Найти момент этой силы относительно начала координат.

Вариант № 2

1. По данным неколлинеарным векторам и построить векторы: ; ; ;
.

2. Дано: , , ,

Найти: _.

3. Дано: , , .

Найти:

;

;

;

Площадь параллелограмма, построенного на векторах и ;

Площадь треугольника, построенного на векторах , .

4. Даны векторы: , .

Найти:

Координаты и модуль вектора ;

Направляющие косинусы вектора ;

;

;

Угол между векторами и ;

Площадь треугольника, построенного на векторах и .

5. Даны вершины треугольника: , , .

Сделать схематический рисунок и найти:

;

Разложение по ортам вектора ;

Направляющие косинусы вектора ;

Периметр треугольника ;

Медиану ;

Угол при вершине .

Площадь треугольника ;

Высоту .

6. Вычислить работу, которую производит сила , если точка ее приложения перемещается из начала в конец вектора , причем

Вариант № 3

1. По данным неколлинеарным векторам и построить векторы: ; ; ;
.

2. Дано: , , , .

Найти _.

3. Дано: , , .

Найти:

;

;

;

Площадь параллелограмма, построенного на векторах и ;

Площадь треугольника, построенного на векторах , .

4. Даны векторы: , .

Найти:

Координаты и модуль вектора ;

Направляющие косинусы вектора ;

;

;

Угол между векторами и ;

Площадь треугольника, построенного на векторах и .

5. Даны вершины треугольника: , , .

Найти:

;

Разложение по ортам вектора ;

Направляющие косинусы вектора ;

Периметр треугольника ;

Медиану ;

Угол при вершине ;

Площадь треугольника ;

Высоту .

6. Сила приложена к точке . Найти момент этой силы относительно начала координат.

Вариант № 4

1. По данным неколлинеарным векторам и построить векторы: ; ; ;
.

2. Дано: , , ,

Найти: _.

3. Дано: , ,

Найти:

;

;

;

Площадь параллелограмма, построенного на векторах и ;

Площадь треугольника, построенного на векторах ; .

4. Даны векторы: , .

Сделать схематический рисунок и найти:

Координаты и модуль вектора ;

Направляющие косинусы вектора ;

;

;

Угол между векторами и ;

Площадь треугольника, построенного на векторах и .

5. Даны вершины треугольника: , , .