Классическая и статистическая вероятность

Основные понятия. Теоремы сложения и умножения.

Формулы полной вероятности, Бейеса, Бернулли. Теоремы Лапласа.

Вопросы

1. Предмет теории вероятности.
2. Виды событий.
3. Классическое определение вероятности.
4. Статистическое определение вероятности.
5. Геометрическое определение вероятности.
6. Теорема сложения вероятностей несовместных событий.
7. Теорема умножения вероятностей независимых событий.
8. Условная вероятность.
9. Умножение зависимых событий.
10. Сложение совместных событий.
11. Формула полной вероятности.
12. Формула Бейеса.

13. Биноминальный, полиномиальный закон распределения .

1. Предмет теории вероятностей. Основные понятия.

Событием в теории вероятностей называют всякий факт, который может произойти в результате некоторого опыта (испытания).

Например: Стрелок стреляет по мишени. Выстрел – испытание, попадание в мишень – событие. События принято обозначать

Единичное случайное событие – следствие очень многих случайных причин, которые очень часто невозможно учесть. Однако, если рассматривать массовые однородные события (многократно наблюдающиеся при осуществлении опыта в одних и тех же условиях), то они оказываются подчиняются определенным закономерностям: если бросать монету в одних и тех же условиях большое число раз, можно с небольшой погрешностью предсказать, что число появлений герба будет равно половине числа бросков.

Предметом теории вероятностей является изучение вероятностных закономерностей массовых однородных случайных событий. Методы теории вероятностей широко применяются в теориях надежности, стрельбы, автоматического управления и т.д. Теория вероятности служит обоснованием математической и прикладной статистики, которая в свою очередь используется при планировании и организации производства, при анализе технологических процессов и т.д.

Определения.

1. Если в результате опыта событие

а) всегда произойдет, то - достоверное событие,

б) никогда не наступит, то - невозможные событие,

в) может произойти, то может и не произойти, то - случайное (возможное) событие.

2. События называются равновозможным, если есть основания считать, что ни одно из этих событий не имеет больше шансов появиться в результате опыта, чем другие.

3. События и - совместные (несовместные), если появление одного из них не исключает (исключает) появление другого.

4. Группа событий совместна, если совместны хотя бы два события из это й группы, иначе – несовместна.

5. Группа событий называется полной, если в результате опыта обязательно наступит одно из них.

Пример 1. По мишени производят три выстрела: Пусть - попадание (промах) при первом выстреле - при втором выстреле, - при третьем выстреле. Тогда

а) - совместная группа равновозможных событий.

б) - полная группа несовместных событий. - событие, противоположное .

в) - полная группа событий.

Классическая и статистическая вероятность

Классический способ определения вероятности применяется для полной группы равновозможных несовместных событий.

Каждое событие этой группы назовем случаем или элементарным исходом. По отношению к каждому событию случаи делятся на благоприятные и неблагоприятные.

Определение 2. Вероятностью события называют величину

,

где - число случаев, благоприятных появлению события , - общее число равно-возможных в данном опыте случаев.

Пример 2. Брошены две игральные кости. Пусть событие - сумма выпавших очков равна . Найти .

а) Ошибочное решение. Всего возможно 2 случая: и - полная группа несовместных событий. Благоприятен одни случай, т.е.

Это ошибка, так как и не равновозможные.

б) Всего равновозможных случаев . Благоприятные случаи: выпадение

Слабыми сторонами классического определения являются:

1. - количество случаев конечно.

2. Результат опыта очень часто невозможно представить в виде совокупности элементарных событий (случаев).

3. Трудно указать основания, позволяющие считать случаи равновозможными.

Пусть произведено серия из испытаний.

Определение 3.Относительной частотой события называют величину

,

где - число испытаний, в которых появилось события , - общее число испытаний.

Длительные наблюдения показали, что в различных опытах при достаточно больших

изменяется мало, колеблясь около некоторого постоянного числа, которое назовем статистической вероятностью.

Вероятность обладает следующими свойствами:

1. Вероятность достоверного события равна 1.
2. Вероятность невозможного события равна 0.
3. Для любого события

Алгебра событий

7.3.1Определения.

8. Суммой или объединением нескольких событий называется событие, состоящее хотя бы одного из них.

9. Произведением нескольких событий, называется событие, состоящее в совместном появлении всех этих событий.

Из примера 1. - хотя бы одно попадание при трех выстрелах, - попадание при первым и вторым выстрелах и промах при третьем.

- ровно одно попадание.

- не менее двух попаданий.

10. Два события называется независимыми (зависимыми), если вероятность одного из них не зависит (зависит) от появления или не появления другого.

11. Несколько событий называются независимыми в совокупности, если каждое из них и любая линейная комбинация из остальных событий, есть события независимые.

12. Условной вероятностью называют вероятность события , вычисленного в предположении, что событие произошло.

7.3.2 Теорема умножения вероятностей.

Вероятность совместного появления (произведе-ния) нескольких событий равна произведению вероятности одного из них на условные вероятности остальных событий, вычисленных в предположении, что все предыдущие события имели место

Следствие 1. Если - независимы в совокупности, то

Действительно: так как .

Пример 3. В урне 5 белых, 4 черных и 3 синих шара. Каждое испытание состоит в том, что из урны наудачу извлекают один шар. Какова вероятность того, что при первом испытании появится белый шар , при втором – черный шар , при третьем – синий шар , если

а) каждый раз шар возвращается в урну.

- в урне после первого испытания шаров из них 4 белых. . Отсюда

.

б) шар не возвращается в урну. Тогда - независимые в совокупности и

7.3.3 Теорема сложения вероятностей.

Вероятность появления хотя бы одного из событий равна

Следствие 2. Если события попарно несовместные, то

Действительно в этом случае

Пример 4. Производится три выстрела по одной мишени. Вероятность попадания при первом выстреле - , при втором - , при третьем - . Найти вероятность хотя бы одного попадания.

Решение. Пусть - попадание при первом выстреле, - при втором, - при третьем, - хотя бы одно попадании при трех встрелах. Тогда , где - совместные независимые в совокупности. Тогда

Следствие 3. Если попарно несовместные события образуют полную группу, то

Следствие 4. Для противоположных событий

Иногда при решении задач легче найти вероятность противоположного события. Например в примере 4 - промах при трех выстрелах. Так как независимые в совокупности, и то

Следствие 5. Вероятность появления хотя бы одного из событий , независимых в совокупности равна

(1)

где - вероятности появления событий .

В случае, если имеют одинаковую вероятность , то формула (1) имеет вид , где

Формула полной вероятности

Задача 1. Пусть событие может наступить или не наступить с одним из несовместных событий (гипотез) образующих полную группу. Пусть известны

и условные вероятности . Тогда справедлива формула полной вероятности

(1)

Пример 1. В цехе типа станков с одинаковой производительностью изготавливают один и те же детали. Станки первого типа производят 0,94 деталей стандартного качества, 2-го типа-0,9, 3-го типа –0,85, которые в нерассортированном виде лежат на складе. Какова вероятность того, что наудачу взятая деталь стандартного качества, если станков 1-го типа 5,2-го, 3-го –2.

Решение. Пусть - наудачу взятая деталь стандартного качества. Тогда гипотезы: - деталь произведена станком 1-го типа, - 2-го типа, - 3-го типа. Так как производитель-ность станков одинакова, то . Если деталь произведена станком 1-го типа, то . Аналогично

Формула Бейеса

Предположим, что при условиях задачи 1 произведено испытание, в результате которого появилось событие . Как изменится вероятности гипотез в связи с появлением .

Теорема гипотез (формула Бейеса). Вероятности гипотез после испытания равна

. (2)

Пример 2. В условиях примера 5 наудачу взятая деталь оказалась стандартного качества. Какова вероятность того, что эта деталь изготовлена на станке 2-го типа .

Решение. - вероятность гипотезы до испытания (до появления события ), - после испытания.