Лекция. Экономико - математическое моделирование

Основные понятия.

Слово «модель» (от латинского слова «modulus») означает меру, мерильный образец, норму. Под моделью понимается либо некий образ объекта, интересующего нас, либо прообраз некоторого объекта или системы объектов.

Под моделированием понимается конструирование модели и работа с ней, состоящие из ряда последовательных и взаимосвязанных стадий: постановка задачи, построение модели, ее исследование, проверка и оценка полученного на основе модели решения, реализация результатов решения.

Экономическая модель - аналог совокупности производственных отношений, определенной общественно - экономической формаций, свойства которых и отношения между которыми описаны математическим методом (аксиомами).

Применяемые в разных областях человеческой деятельности модели можно классифицировать по разным признакам:

-по характеру моделируемых объектов

-по сферам приложения

-по средствам моделирования

Идеальное моделирование - основывается на аналогии идеальной, мыслимой. В идеальном моделировании различают интуитивное и знаковое моделирование. Интуитивное основано на личном опыте и знаниях исследования. Знаковое моделирование - это формализованное моделирование, где модели изображаются при помощи определенных знаков (формул, таблиц и т. п.). Итак, конструктивно каждая модель представляет собой совокупность взаимосвязанных математических зависимостей (уравнений или неравенств), отображающих определенные группы реальных экономических зависимостей. Параметры описываемых экономических объектов выступают в модели в качестве либо известных, либо неизвестных величин. Известные величины рассчитываются вне модели и вводятся в нее в готовом виде, поэтому их часто называют экзогенными. Значения неизвестных величин, называемых эндогенными, определяются только в результате проведения эксперимента или решения экономической задачи.

Классификация моделей

В экономико-математическом моделировании модели разделяются на классы по ряду признаков, относящихся к особенностям моделируемых объектов, целям моделирования и используемого инструментария.

Макроэкономические модели описывают экономику как единое целое со связями между агрегированными материальными и финансовыми показателями (ВВП, потребление, инвестиции, занятость, денежная масса, государственный долг, инфляция и др.).

Микроэкономические модели описывают взаимодействия структурных и функциональных составляющих экономики либо их поведение в отдельности в рыночной среде.

Теоретические модели являются аппаратом изучения общих свойств экономики и ее составляющих на основе дедукции выводов из формальных предпосылок.

Прикладные модели представляют собой аппарат оценок параметров конкретных экономических объектов, выработки рекомендаций для принятий экономических решений и разработки стратегии поведения фирм на рынке.

Равновесные модели описывают такие состояния экономики , когда результирующая всей воздействий на нее равна нулю. Как правило, равновесные модели являются описательными.

Оптимизационные модели используются в теории рыночной экономики на микроуровне (оптимизация деятельности потребителя, производителя или фирмы). На макроуровне результат выбора экономическими субъектами рационального поведения может приводить к состоянию относительного равновесия.

Статические модели описываю состояние экономических объектов в определенный момент или усреднено за некоторый период времени. При этом все параметры статических моделей полагаются фиксированными величинами, не зависящими от времени.

Динамические модели включают в себя зависимость и взаимосвязи переменным модели во времени. Они используют обычно аппарат дифференциальных и разностных уравнений и вариационного исчисления , где независимой переменной является время.

Детерминированные модели предполагают в своей основе только жесткие функциональные связи между переменными модели.

Стохастические модели допускают наличие случайных связей между переменными модели. Эти модели используют аппарат теории вероятностей и математической статистики.

Модели с элементами неопределенности используются для моделирования ситуаций, когда для определяющих факторов невозможно собрать статистические данные , и их значения неопределенны. В этих моделях используется аппарат теории игр и имитационного моделирования.

Экспортные модели – разрабатываются и имеют применение в ряде исследований экономических процессов, когда в условиях отсутствия количественных характеристик за основу принимаются мнения экспертов с оценками разных аспектов по определенной шкале. Эти оценки могут быть использованы в виде векторов некоторой размерности, которые , в свою очередь, можно сравнивать по мере их близости.

Предназначение модели состоит в том, что она является инструментом обработки информации.

Классификация решаемых экономических задач.

По уровню информации о ситуации:

1.Деторминированный уровень – наиболее простой уровень информации о ситуации- когда условие, в которых принимаются решения , известны полностью.

2.Стохастический уровень – уровень, при котором известно множество возможных вариантов условий и их вероятностное распределение .

3.Неопределенный уровень- уровень, когда известно множество возможных вариантов, но без какой-либо информации об их вероятностях.

По виду информации о ситуации :

1.Статический вид – информация о ситуации не меняется во времени и известна заранее.

2.Динамический вид – информация о ситуации зависит от времени , прошедшего от начала операции.

По виду критерия оптимальности :

1.Однокритериальные задачи

2.Монокритериальные задачи

По типу критерия оптимальности:

1.Линейные задачи

2.Нелинейные задачи

По типу области ограничения:

1.Выпуклая область

2.Целочисленная область

3.Булева область

Контрольные вопросы.

1.Что означает понятие «модель»?

2.Классификация моделей.

3.Классификация решаемых экономических задач.

4.Какое решение является оптимальным?

5.Дать определение показателя эффективности.

Лекция. Линейное программирование.

Общая постановка задачи

Линейное программирование — наука о ме­тодах исследования и отыскания экстремальных (наибольших и наименьших) значений линейной функции, на неизвестные которой наложены линейные ограничения.

Эта линейная функция называется целевой, а ограничения, которые математически записываются в виде уравнений или неравенств, называются системой ограничений.

Матрицей размерностью (m´n) называется прямоугольная таблица чисел или функций, содержащая m строк и n столбцов. Здесь m и n натуральные числа.

Матрицу записывают в круглых скобках, перечисляя все ее элементы , и обозначают одной прописной буквой, например A, B и т.д.

A=

Матрицу можно записать сокращенно: . Матрица, состоящая из одной строки (одного столбца) носит название вектор–строки (вектор–столбца). Если m=n, то матрица называется квадратной, порядка n.

Определение.

Математическое выражение целевой функ­ции и ее ограничений называется математической моделью экономической задачи.

Матрица -

В общем виде математическая модель задачи линейного программирования (ЛП) записывается как

Z(x)=C₁X₁+C₂X₂ + ^{. . .} +С_JX_J + ^{. . .} +С_nX_{n _} max(min)

при ограничениях:

a₁₁x₁+a₁₂x₂+…+ a_1jx_j+…+a_1nx_n=b₁,

a₂₁x₁+a₂₂x₂+…+ a_2jx_j+…+a_2nx_n=b₂,

……………………………………

a_i1x₁+a_i2x₂+…+ a_ijx_j+ … +a_inx_n=b_i,

…………………………………..

a_m1x₁+a_m2x₂+…+ a_mjx_j+…+a_mnx_n=b_m,

x_j ≥ 0, , ,

где x_j — неизвестные;a _ij , b_i , C_j — заданные постоянные вели­чины.

Все или некоторые уравнения системы ограничений могут быть записаны в виде неравенств.

Математическая модель в более краткой записи имеет вид

Z(x) = ∑C_j X_j → max(min)

при ограничениях:

ОпределениеДопустимым решением (планом) зада­чи линейного программирования называется вектор X = (х₁, х₂, ,...х_n , ) , удовлетворяющий системе ограничений.

Множество допустимых решений образует область допус­тимых решений (ОДР).

ОпределениеДопустимое решение, при котором целевая функция достигает своего экстремального значения, называ­ется оптимальным решением задачи линейного программиро­вания и обозначается Х_опт.

Базисное допустимое решение

Является опорным решением, где r— ранг системы ограничений.