Постановка задачи целочисленного программирования.

В ряде экономических задач, относящихся к задачам линейного программирования, элементы решения должны выражаться в целых числах. В этих задачах переменные означают количество единиц неделимой продукции.

Задача целочисленного программирования формулируется следующим образом:

Найти такое решение план Х=(х₁, х₂,…, х_n), при котором линейная функция принимает максимальное или минимальное значение при ограничениях

задача решается методами линейного программирования. В случае если переменные оптимального решения оказываются нецелочисленными, то, применяя методы отсечения или метод перебора целочисленных решений.

Понятия о методе ветвей и границ.

Метод ветвей и границ заключается в упорядоченном переборе вариантов и рассмотрении лишь тех из них, которые оказываются по определенным признакам перспективными, и отбрасывании бесперспективных вариантов.

Метод ветвей и границ состоит в следующем: множество допустимых решений (планов) некоторым способом разбивается на подмножества, каждое из которых этим же способом снова разбивается на подмножества. Процесс продолжается до тех пор. Пока не получено оптимальное целочисленное решение исходной задачи.

Название метода ветвей и границ исходит из того, что в процессе решения задача последовательно «ветвится», заменяясь более простыми. Процесс решения можно продолжать в виде дерева, цифры в узлах (вершинах) которого обозначают план решения задачи (искомые переменные).

Графический метод решения задач целочисленного программирования.

При наличии в задаче линейного программирования двух переменных, а в системе ограничения – неравенств, она может быть решена графическим методом без требований целочисленных переменных.

Если оптимальное решение этой задачи является целочисленным, то оно и является оптимальным для исходной задачи.

Если же полученное оптимальное решение не целочисленное, то строится дополнительное линейное ограничение. Оно обладает следующими свойствами:

1.Оно должно быть линейным;

2.Должно отсекать найденный оптимальный не целочисленный план;

3.Не должно отсекать ни одного целочисленного плана.

Алгоритм графического решения задачи

Целочисленного программирования.

1.Построить систему координат x₁0х₂ и выбрать масштаб.

2.Найти область допустимых решений (ОДР) системы ограничений задачи.

3.Построить целевую функцию, являющуюся линией уровня и на ней указать направление нормали.

4.Переместить линию целевой функции по направлению нормали через ОДР, чтобы она из секущей стала касательной к ОДР и проходила через наиболее удаленную от начала координат точку. Эта точка будет являться точкой экстремума, т.е. решением задачи.

Если окажется, что линия целевой функции параллельна одной из сторон ОДР, то в этом случае экстремум достигается во всех точках соответствующей стороны, а задача линейного программирования будет иметь бесчисленное множество решений.

5.Найти координаты, точки экстремума и значение целевой функции в ней. Если полученные значения не целочисленные, то перейти к следующему шагу.

6.Выделить у этих координат область с целочисленными значениями.

7.Определить новые координаты и построить граф.

8.Найти точки с целыми значениями искомых переменных, подставить в уравнение целевой функции и найти её значение. Максимальное из полученных значений целевой функции и будет решением задачи.

Пример решения задачи целочисленного программирования.

Условие задачи.

Решить методом ветвей и границ задачу, имеющую следующую математическую модель.

Решение:

1.Находим координаты точек каждого линейного уравнения системы ограничений и строим прямые

1 прямая: 3х₁+2х₂=1

-если х₁=1, то 2х₂=12, х₂=6

-если х₂= 0, то 3х₁=12, х₁=4

2 прямая: 2х₁+5х₂=20

-если х₁=0, то 5х₂=20, х₂=4;

-если х₂=0, то 2х₁=20, х₁=10

2.Находим ОДР.

Так как х₁, х₂ ≥ 0, то область будет ограничен прямыми ОХ₁ и ОХ₂ и построенными прямыми (см. рис.1).

3.Находим координаты точек целевой функции и строим прямую целевой функции:

7х1+4х2=0

- первая точка х₁=0; х₂=0

- вторая точка х₁=4, х₂=(-7).

4.Перемещаем прямую целевой функции по направлению через ОДР до тех пор, пока она не станет касательной к ней, и находим точку А₀.

5.Находим координаты точек А₀ и значение целевой функции в ней:

Х1=1,8; х2=3,27;

Z=7×1,8+4×3,27=12,6+13,08=25,68

Получен не целочисленный оптимальный план

6.выделим область относительно точки А₀ беря целые значения 1 ≤ х₁ ≤ 2; 3 ≤ х₂ ≤ 4.

Получим координаты точек по границе этой области:

А₁ (1;3,6) А₂ (2;3); А₃ (0;4); А₄ (1;3); А₅ (0;3); А₆ (1;0); А₇ (2;0).

7.Строим граф (рис.2)

8.Для точек с целыми значениямиих координат (искомые значения х₁ и х₂)находим значения целевой функции:

Для точки А₂ (2;3) Z₂= 7×2+4×3=26

Для точки А₃ (0;4) Z₃= 7×0+4×4=16

Для точки А₄ (1;3) Z₄= 7×1+4×3=19

Для точки А₅ (0;3) Z₅= 7×0+4×3=12

Для точки А₆ (1;0) Z₆= 7×1+4×0=7

Для точки А₇ (2;0) Z₇= 7×2+4×0=14

 

 

Так как максимальное значение целевой функции находится для точки А2 (2;3), то она и будет оптимальным целочисленным решением задачи.

Ответ: Z=26; х₁=2; х₂=3.

 

 

 

 

5.4. Задача коммивояжера.

 

 

Имеется необходимость посетить n городов в ходе деловой поездки. Спланировать поездку нужно так, чтобы, переезжая из города в город, побывать в каждом не более одного раза и вернуться в исходный город. Определить оптимальный маршрут посещения городов и его минимальное расстояние.

Задана матрица расстояний между городами c_ij.

Сформулированная задача - задача целочисленная. Пусть х_ij = 1 , если путешественник переезжает из i -ого города в j-ый и х_ij = 0, если это не так.

Формально введем (n+1) город, расположенный там же, где и первый город, т.е. расстояния от (n+1) города до любого другого, отличного от первого, равны расстояниям от первого города. При этом, если из первого города можно лишь выйти, то в (n+1) город можно лишь придти.

Введем дополнительные целые переменные, равные номеру посещения этого города на пути. u₁ = 0, u_n+1 = n . Для того, чтобы избежать замкнутых путей, выйти из первого города и вернуться в (n+1) введем дополнительные ограничения, связывающие переменные x_ij и переменные u_i. ( u_i целые неотрицательные числа).

 

2. Математическая модель

 

5.5.Пример решения задачи.

 

 

Условия задачи:

Необходимо посетить 4 города в ходе деловой поездки Спланировать поездку нужно так, чтобы, переезжая из города в город, побывать в каждом не более одного раза и вернуться в исходный город. Определить оптимальный маршрут посещения городов и его минимальное расстояние.

Матрица расстояний c_ij между городами задана таблицей:

 

Номер города

 

Решение задачи.

 

Составляем математическую модель задачи.

 

Z_min=19х₁₂+25х₁₃₊11х₁₃₊37х₂₁+26х₂₃+58х₂₄+10х₃₁+50х₃₂+39х₃₄+38х₄₁+39х₄₂+24х₄₃

 

х₁₂+х₁₃+х₁₄=1 х₂₁+х₃₁+х₄₁=1

х₂₁+х₂₃+х₂₄=1 х₁₂+х₃₂+х₄₂=1

х₄₁+х₄₂+х₃₄=1 х₁₃+х₂₃+х₄₃=1

х₂₁+х₂₃+х₂₄=1 х₁₄+х₄₂+х₃₄=1

 

U₁ - U₂ + 4х₁₂ < 3

U₁ –U₃ + 4х₁₃ < 3

U₁ – U₄+ 4х₁₄ < 3

U₂ – U₃ + 4х₂₃ < 3

U₂ –U₄ + 4х₂₄ < 3

U₃ – U₂+ 4х₃₂ < 3

U₃ – U₄ + 4х₃₄ < 3

U₄ – U₂ + 4х₄₂ < 3

U₄ –U₃ + 4х₄₃ < 3

U₄ – U₁+ 4х₄₁ < 3

U₃ – U₁ + 4х₃₁ < 3

U₂ –U₁ + 4х₂₁ < 3

 

0,

 

Х_ij= - ЦЕЛЫЕ ,

 

где:

Z_min - минимальный маршрут посещения городов;

 

c_ij - расстояние между городами ij ;

 

U_i - номер посещения i – го города.

Строим граф посещения городов с учетом возможных маршрутов движения коммивояжера.

Граф посещения городов:

 

2

4

4

4

3

 

19

 

25 11

 

58 50 39 24 39

 

39 24 58 39 50 26

 

38 10 38 37 37 10

 

122 111 171 140 122 86

 

 

где:

--- расстояние между городами;

--- расстояние, пройденное по маршруту;

--- расстояние, пройденное по минимальному маршруту.

Номер города

 

Ответ:

 

Минимальный маршрут: 1 --- 4 --- 2 --- 3 --- 1 .

 

Минимальное расстояние – 86 ед.

Контрольные вопросы.

1.Сформулируйте постановку задачи целочисленного программирования.

2.Математическая модель задачи целочисленного программирования, ее особенности.

3.Метод ветвей и границ и его применение.

4.Алгоритм графического решения задачи целочисленного программирования.

5.Как построить граф целочисленной области возможных решений задачи?

6.Как определить целочисленный план и экстремальное значение целевой функции?

7.Сформулируйте задачу о коммивояжере.

8.Какие экономико-математические модели могут быть сведены к задаче о коммивояжере ?

9.Как построить математическую модель задачи о коммивояжере ?

10.Как называются переменные в математической модели задачи о коммивояжере ?

 

 

6.Лекция. Динамическое программирование.

 

Постановка задачи.

Динамическое программирование – раздел оптимального программирования (оптимального управления), в котором процесс принятия решения и управления, может быть разбит на отдельные этапы (шаги).

Динамическое программирование позволяет свести одну сложную задачу со многими переменными ко многим задачам с малым числом переменных. Это значительно сокращает объем вычислений и ускоряет процесс принятия управленческого решения.

Экономический процесс является управляемым, если можно влиять на ход его развития.

Управление – совокупность решений, принимаемых на каждом этапе для влияния на ход развития процесса.

Операция– управляемый процесс, т.е. мы можем выбирать какие-то параметры, влияющие на ход процесса и управлять шагами операции, обеспечивать выигрыши на каждом шаге и в целом за операцию.

Решение на каждом шаге называется «шаговым управлением».

Совокупность всех шаговых управлений представляет собой управление операцией в целом.

При распределении средств между предприятиями шагами целесообразно считать номер очередного предприятия; при распределении на несколько лет ресурсов деятельности предприятия – временной период. В других задачах разделение на шаги вводится искусственно.

Требуется найти такое управление (х), при котором выигрыш обращался бы в максимум:

F(x)=

Где F – выигрыш за операцию;

F_i(x_i) – выигрыш на i-м шаге;

х – управление операцией в целом;

х_i – управление на i-м шаге (i=1,2,…,m). В общем случае шаговые управления (х₁, х₂, … х_m) могут стать числами, векторами, функциями.

То управление (х*), при котором достигается максимум, называется оптимальным управлением. Оптимальность управления состоит из совокупности оптимальных шаговых управлений х* = х*₁, х*₂, … х*_m

F* = max {F*(х*)} – максимальный выигрыш, который достигается при оптимальном управлении х*.

Исходя из условий, каждой конкретной задачи длину шага выбирают таким образом, чтобы на каждом шаге получить простую задачу оптимизации и обеспечить требуемую точность вычислений.