|
|
Формулы для установившегося режима1. Вероятность простоя каналов, когда нет заявок (k=0): P0=1 : {Σ ρк/к!+ρn+1/n!(n-ρ)[1-(ρ/n)m]} n – число каналов; m – длина накопителя; ρ – интенсивность нагрузки; К – число заявок, поступивших на обслуживание за промежуток времени t. 2. Вероятность отказа в обслуживании: Pотк= ρn+m/n!n m*P0 3. Вероятность обслуживания: Робс= 1- Pотк 4. Абсолютная пропускная способность: A=λ Робс 5. Среднее число занятых каналов: _ n3=A/μ= λ Робс/μ=ρ Робс, где ρ=λ/ μ 6. Среднее число заявок в очереди: _ Lоч= ρn+1/n*n! * 1-(ρ/n)m(m+1-mρ/n) / (1-ρ/n)2 * P0
7. Среднее время ожидания обслуживания: _ _ tоч= Lоч/λ _ _ _ 8. Среднее число заявок в системе: z= Lоч+ n3 _ 1. Среднее время пребывания в системе: tсмо= z/λ 9.5 Примеры решения задач.
Пример № 1. Дежурный администратор города имеет 5 телефонов. Звонки поступают с интенсивностью 90 звонков/час. Средняя продолжительность разговора составляет 2 мин. Определить характеристики дежурного администратора и сделать анализ СМО.
Решение: 1. Классифицировать СМО: -с отказами (нет накопителя); -многоканальная (5 телефонов = 5 каналов).
2. Обозначения: λ – интенсивность потока заявок (λ=90зв/60мин=3зв/2мин) n – число каналов (n=5); μ – интенсивность потока обслуживания, т.е. среднее число заявок, обслуживаемых в единицу времени (μ=1/ tобс) tобс – среднее время обслуживания (tобс=2мин) ρ – интенсивность нагрузки; k – номер заявки (число заявок), k=n=5; Р0 – вероятность простоя каналов обслуживания, когда нет заявок; Ротк – вероятность отказа в обслуживании, когда поступившая на обслуживание заявка найдет все каналы занятыми; Робс – вероятность обслуживания.
nз = ρ* Робс - среднее число занятых обслуживанием каналов. кз = nз / n - для каналов, занятых обслуживанием. А = λ Робс - абсолютная пропускная способность СМО.
3. Определяем характеристики данной СМО: а) ρ = λ/μ = λ/(1/tобс) = λ tобс = 3/2 * 2 = 3
n б) Ро= 1/ (Σρк/к!) = 1/ (ρ0/0!)+(ρ1/1!)+(ρ2/2!)+(ρ3/3!)+(ρ4/4!)+(ρ5/5!)= к=0 =1/ (1+3/1)+(3*3/1*2)+(3*3*3/1*2*3)+(3*3*3*3/1*2*3*4)+ +(3*3*3*3*3/1*2*3*4*5)=1/ 1+3+(9/2)+(27/6)+(81/24)+(243/120)=0,054 в) Ротк= ρn/ n!* Ро= (35/ 1*2*3*4*5)*0,054=(3*3*3*3*3/1*2*3*4*5)*0,054= = (243/120)*0,054=0,12 г) Робс = 1- Ротк= 1-0,12=0,88 д) nз = ρ*Робс= 3*0,88=2,6 е) кз = nз / n = 2,6/5=0,52 ж) А = λ Робс = (3/2)*0,88 = 1,31.
Пример № 2.
На автомобильной стоянке возле магазина имеется 2 места. Рядом находится площадка на 2 а/м. На стоянку прибывает 1 машина в 3 мин. Среднее время нахождения водителя в магазине 2 мин. Определить характеристики этой СМО и сделать анализ СМО.
Решение: 1) Классифицируем СМО: - с ограниченной длиной очереди - с накопителем - многоканальная - с ограничением общего времени пребывания заявки в системе СМО с ожиданием и с ограниченной длиной очереди. 2) Обозначения: m=2 - длина накопителя n=2 - число каналов Остальные обозначения - как в Примере № 1. 3) Определяем характеристики данной СМО: а) λ = 1/3; б) tобс = 2 мин; в) ρ = λ/μ = λ/(1/tобс) = λ tобс = (1/3)*2=2/3. г) Вероятность простоя каналов: n Ро= 1/(Σρк/n!)+ρn+1/n!(n-ρ)*[1-(ρ/n)m]=1/ ((ρ0/0!)+(ρ1/1!)+(ρ2/2!)+ к=0 +(ρ2+1/1*2(2-ρ))*[1-(ρ/2)2]=1/ ( (2/3)/0! )+2/3+( (2/3)2/(1*2) )+ +( (2/3)3/ 2(2-2/3) ) [1- ( (2/3)/2 )]= 1/ 1+2/3+2/9+1/9[1-1/9]=0,52 д) Вероятность отказа в обслуживании: Ротк= ρn+m/ n!nm*Ро= ( (2/3)4/1*2*22 )*0,52=(16/81)/8*0,52=0,013 е) Вероятность обслуживания: Робс = 1- Ротк= 0,987 ж) Абсолютная пропускная способность: А = λ Робс= 0,987*1/3=0,33 з) Среднее число занятых каналов: nз = ρ*Робс= 2/3*0,987=0,658 Для каналов, занятых обслуживанием: кз =0,658/2=0,329. и) Среднее число заявок в очереди: _ Loч= ρn+1/n*n! * ( 1-(ρ/n)m(m+1-mρ/n) )/(1-ρ/n)2 * Ро _ Loч =((2/3)3/(2*2) )* 1-( (2/3)/2)2 )*( 2+1-2*((2/3)/2) )/ (1-(2/3)/2)2)*0.52 =(8/27)/4* * (1-1/9*7/3) /(4/9)= 2/27*((20/27)/(4/9))*0.52=2/27*5/3*0.52=0.14
к) Среднее время ожидания обслуживания: _ tor= Loч/ λ= 0.14/0.33=0.42
л) Среднее число заявок в системе: _ Z= Loч+ nз =0,14+0,66=0,8
м) Среднее время пребывания в системе: tсмо= Z/ λ = 0,8/0,33=2,42 или tсмо= toч+ toбс= 0,42+2=2,42 мин
Контрольные вопросы:
1.Что понимается под системами массового обслуживания (СМО) и для чего они предназначены?
2.Какие блоки включает схема СМО?
3.Что понимается под характеристикой эффективности работы СМО?
4.На какие классы делятся СМО в зависимости от : а) характера потоков, б) числа каналов, в) дисциплины обслуживания, г) ограничения потока заявок, д) количества этапов обслуживания?
5.Что понимается под «потоком обслуживания заявок»?
6.Что представляет собой интенсивность входящего потока и какова единица измерения этого показателя?
7.Перечислите основные характеристики эффективности функционирования многоканальной СМО с отказами ?
8.Перечислите основные характеристики эффективности функционирования многоканальной СМО с ожиданием и ограничением на длину очереди?
9.Перечислите основные характеристики эффективности функционирования многоканальной СМО с неограниченным ожиданием?
10. Лекция. Нелинейное программирование. 10.1.Основные понятия. Во многих оптимизационных задачах целевая функция, или функции, задающие ограничения, не являются линейными. Такие задачи называются задачами нелинейного программирования. Пример простой нелинейной задачи: Предприятие для производства какого-то продукта расходует два средства в количестве х и y соответственно. Это факторы производства, например, машины и труд, два различных вида сырья и т.п., а х и y – затраты факторов производства. Факторы производства считаются взаимозаменяемыми. Если это «труд» и «машины», то можно применять такие методы производства, при которых величина затрат в сопоставлении с величиной затрат труда оказывается больше или меньше (производство более или менее трудоемкое). Объем производства, выраженный в натуральных или стоимостных единицах, является функцией затрат производства Z = f (х, y). Эта зависимость называется производственной функцией. Совокупные издержки выражаются формулой с1х1 + с2y2 = в. Требуется при данных совокупных издержках определить количество факторов производства, которое максимизирует объем продукции Z. Математическая модель задачи: Определить такие переменные х и у, удовлетворяющие условиям с1х1+с2у=в, х≥0, у≥0, при которых функция z=f(х, у) достигнет максимума. Ограничения могут отсутствовать. В этом случае производится безусловная оптимизация задачи. Как правило, функция z может иметь произвольный нелинейный вид. В теории нелинейной оптимизации выделяют понятие локального экстремума (локального минимума, локального максимума), глобального экстремума, условного экстремума. Понятие условного экстремума вводится для случая, когда число переменных n не меньше 2 (n≥2). Разница между глобальным и локальным экстремумами предоставлена на рисунке: А С В
Точки А и В являются точками локального экстремума, а точка С является точкой глобального экстремума. Задачи нелинейного программирования делятся на два класса: имеющие безусловный экстремум и имеющие условный экстремум в зависимости от того есть ли дополнительные условия или нет.
10.2. Безусловный экстремум Рассмотрим задачу безусловного экстремума.
Найти экстремум функции z=х²+ху+у²-2х-3у. Найдем частные производные. Первая производная по х: z׳х=2х+у-2 Первая производная по у: z׳у=х+2у-3
х+2у=3 Получаем критическую точку (1/3; 4/3).
Найдем вторые частные производные. Вторая производная по х: z׳׳хх=2 Вторая производная по у: z׳׳уу=2
Составим определитель 2 1
Следовательно, экстремум есть. Так как z=2>0, то в точке (1/3; 4/3) точка минимума. Условный экстремум Задача на минимум. Определить матрицы L и все ее главные миноры порядка больше чем m+1 должны иметь знак (-1)m, где m – число ограничений задачи.
Задача на максимум. Определить матрицы L должен иметь знак (-1)n, где n – число переменных в задаче. Главный минор порядка m+n-1 должен иметь противоположный знак. Последующие миноры должны иметь чередующие знаки. Пример: Z = f(x)=xy, х²+у²=2. Критические точки: М1=(1, 1), М2=(-1, -1), =(1, -1), =(-1, 1).
L= -2x -2λ 1 Δ=8 λ(x2+y2)+8xy Δ=-4x2 -2y 1 -2 λ
Таким образом, максимум в точках М1, М2 (λ=0,5), минимум – в точках М3, М4 λ=-0,5.
Контрольные вопросы:
1.В чем состоит задача нелинейного программирования? 2.Что называется условным экстремумом? 3.Что называется безусловным экстремумом? 4.Какая разница между локальным и глобальным экстремумом? 5.Какие методы решения задач НЛП? |
|
Решим систему уравнений. 2х+у=2
Смешанные производные z׳׳ху=z׳׳ух=1 
1 2 ∆ = 4-1=3
0 -2x -2y