Перечень задач для решения при усвоении материала. Во всех задачах обязательным является построение математических моделей, указание экономического смысла переменных, приведение расчетов и подробное описание результата решения задачи.
ТЕМА. «ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ».
Задача 1.1.
Предприятие планирует выпускать nвидов продукции Пi (i= 1, 2, … , n). При её изготовлении используются ресурсы Р1, Р2, иР3. прямые затраты ресурсов ограничены соответственно величинами b1, b2,иb3. Расход j-горесурса (j= 1, 2, 3) на единицу продукции i-го вида составляет aij ед. Цена единицы продукции i-го вида равна Сi денежных единиц.
Требуется:
1.Составить математическую модель прямой и двойственной задачи. Раскрыть экономический смысл всех переменных, принятых в задаче;
2.Симплексным методом рассчитать план выпуска продукции по видам с учетом имеющихся ограничении ресурсов, который обеспечивал бы предприятию максимальный доход;
3.Используя решение исходной задачи и соответствия между прямыми и двойственными переменными, найти параметры оптимального плана двойственной задачи;
4.Указать наиболее дефицитный и недефицитный (избыточный) ресурс, если он имеется;
5.С помощью двойственных оценокyj обосновать эффективность оптимального плана, сопоставить оценку израсходованных ресурсов и максимальный доход. Zmaxот реализации готовой продукции по всему оптимальному плану и по каждому виду продукции отдельно;
6.Оценить целесообразность приобретения Dbk единиц ресурса K по ценеCk.
Необходимые исходные числовые данные приведены в табл. 1.1.
Задача 1.2.
Составить диету включающие белки, жиры и углеводы в количестве не менее bi (i = 1, 2, 3).Для составления смеси можно использовать три вида продуктов Bj (j = 1, 2, 3), содержащую белки жиры и углеводы в количестве aij. Цена продуктов Cj.Необходимо определить такой набор продуктов, который обеспечил бы необходимое содержание питательных веществ, и полная стоимость его при этом была бы наименьшей.
Требуется:
1.Составить математическую модель прямой и двойственной задач. Раскрыть экономический смысл всех переменных, принятых в задаче;
2.Симплекс – методом решить двойственную задачу;
Необходимые исходные числовые данные приведена в табл. 1.2.
Табл. 1.1.
Параметр
| Номер варианта
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| а11
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| а12
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| а13
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| а21
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| а22
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| а23
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| а31
|
|
|
|
| 5
|
|
|
|
|
| а32
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| а33
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| b1
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| b2
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| b3
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| С1
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| С2
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| С3
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| K
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| Dbk
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| Сk
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 1.2.
Параметр
| Номер варианта
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| b1
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| b2
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| b3
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| а11
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| а12
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| а13
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| а21
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| а22
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| а23
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| а31
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| а32
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| а33
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| С1
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| С2
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| С3
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ТЕМА. «ТРАНСПОРТНАЯ ЗАДАЧА»
Задача 2.1
В пунктах Аi (i=1, 2, 3)производится однородная продукция в количестве аi единиц. Себестоимость единицы продукции в i-м пункте равна Ci. Готовая продукция поставляется в пункты Вj (j=1, 2, 3, 4), потребности которых составляют bj ед. стоимость перевозки единицы продукции из пункта Ai в пункт Bj задана матрицей Cij.
Требуется:
1.Написать математическую модель прямой и двойственной задач с указанием экономического смысла всех переменных;
2.Составить план перевозки продукции, при котором минимизируются суммарные затраты по ее изготовлению и доставке потребителям для условия что продукция произведенная в пункте Ai, где себестоимость её производства наименьшая, распределяется полностью;
3.Вычислить суммарные минимальные затраты Zmin;
4.Узнать в какие пункты развозится продукция от поставщиков;
5.Установить пункты, в которых останется нераспределенная продукция, и указать её объем.
Необходимые исходные числовые данные приведены в таблице 2.1.
Задача 2.2.
Трудовые бригады Б1, Б2, Б3 численностью, а1, а2, и а3 человек, сформированы для уборки картофеля.
Для уборки картофеля на четырех полях П1, П2, П3 и П4 необходимо выделить b1, b2, b3, и b4 работников. Производительность труда работника зависит от урожайности картофеля, а так же от численности бригады и характеризуется для указанных бригад и полей элементами матрицы Pij (в центнерах на человека за рабочий день).
Требуется:
1.Распределить работников каждой трудовой бригады по полям так, чтобы за рабочий день было убрано максимально возможное количество картофеля;
2.Определить сколько центнеров картофеля будет убрано с четырех полей при оптимальном распределении работников.
Необходимые исходные числовые данные приведены в таблице 2.2.
Таблица 2.1.
Параметр
| Номер варианта
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| а1
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| а2
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| а3
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| С1
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| С2
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| С3
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| b1
|
|
|
|
| 296
|
|
|
|
|
| b2
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| b3
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| b4
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| С11
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| С12
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| С13
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| С14
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| С21
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| С22
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| С23
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| С24
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| С31
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| С32
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| С33
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| С34
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 2.2.
Параметр
| Номер варианта
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| А1
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| А2
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| А3
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| B1
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| B2
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| B3
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| B4
|
|
|
|
| 41
|
|
|
|
|
| Р11
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| Р12
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| Р13
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| Р14
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| Р21
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| Р22
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| Р23
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| Р24
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| Р31
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| Р32
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| Р33
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| Р34
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ТЕМА. «ЦЕЛОЧИСЛЕННОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ»
Задача 3.1.
Решить задачу методом ветвей и границ. Данные необходимые для решения, приведены в табл. 3.1.
Таблица 3.1
Вариант
| Математическая модель задачи
| Целевая функция
| Ограничения
| Условие неотрица-тельности
|
|
|
| x1, x2 ≥ 0
|
|
|
| x1, x2 ≥ 0
|
|
|
| x1, x2 ≥ 0
|
|
|
| x1, x2 ≥ 0
|
|
|
| x1, x2 ≥ 0
|
|
|
| x1, x2 ≥ 0
|
|
|
| x1, x2 ≥ 0
|
|
|
| x1, x2 ≥ 0
|
|
|
| x1, x2 ≥ 0
|
|
|
| x1, x2 ≥ 0
|
|