ЗАДАЧИ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ № 3
МЕТОДЫ ОПТИМАЛЬНЫХ РЕШЕНИЙ
Учебно-методическое пособие и индивидуальные контрольные задания
(Для студентов III курса заочной формы обучения всех факультетов)
Москва – 2013
Авторы-составители:
| Канд. техн. наук, доц. В.Т. Дударев; канд. физ.-мат. наук, доц. Е.Н. Сахарова, ст. преп. В.М. Степанов
| Ответственный за выпуск -
| Зав. кафедрой высшей и прикладной математики АТиСО д-р физ-мат.наук, проф. Шапиро Л.Б.
|
Утверждено на заседании кафедры высшей и прикладной математики Академии труда и социальных отношений 27 мая 2013 г.
© Дударев В.Т., Сахарова Е.Н., Степанов В.М.
© Академия труда и социальных отношений 2013
Содержание
Общие методические указания по изучению курса математики и правила выполнения контрольных работ на III курсе ..............................
| 4
| Таблица для определения индивидуального задания контрольной работы № 3 ………………………………..……………………………….
| 6
| Контрольная работа № 3 ……………………………………..…………....
|
| Программа ………………………………………………………………….
|
| Список рекомендуемой литературы ……………………………………...
|
| Задача 1 ……………………………………………………………………..
|
| Вопросы для самопроверки ……………………………………………….
|
| Задача 2 ……………………………………………………………………..
|
| Вопросы для самопроверки ……………………………………………….
|
| Задача 3 ……………………………………………………………………..
|
| Вопросы для самопроверки ……………………………………………….
|
| Задача 4 ……………………………………………………………………..
|
| Вопросы для самопроверки ……………………………………………….
|
| Задача 5 ……………………………………………………………………..
|
| Вопросы для самопроверки ……………………………………………….
|
| Задачи контрольной работы № 3 ………………………...……………….
|
|
Общие методические указания по изучению курса математики и правила выполнения контрольных работ на III курсе
На втором году обучения студенты-заочники изучают исследование операций в экономике (специальность “Экономика труда” экономического факультета); математическую теорию принятия решений (специальности “Менеджмент организации” и “Управление персоналом” экономического факультета) и экономико-математические методы и модели (все специальности финансового факультета).
Это необходимо для общей экономической подготовки студентов, создания у них прочной теоретической базы независимо от области, в которой они в будущем будут работать. В методических указаниях к каждой контрольной работе приводится список рекомендованной литературы, изучение которой необходимо для выполнения заданий. Указываются номера глав и параграфов учебников, а также номера задач, предназначенных для самостоятельной работы. В случае возникновения затруднений студент может обратиться на кафедру высшей и прикладной математики за письменной консультацией. Необходимо строго придерживаться следующих правил:
Студент обязан делать работу только своего варианта, отсылая ее в Академию на рецензирование в сроки, предусмотренные графиком !
Контрольную работу следует выполнять в ученической тетради (отдельной для каждой работы) чернилами или пастой любого цвета, кроме красного, оставляя поля (3-4 см) для замечаний рецензента. Рекомендуется оставлять в конце тетради несколько чистых страниц для исправлений и дополнений в соответствии с указаниями рецензента. На обложке тетради студент должен указать печатными буквами свою фамилию, имя, отчество, номер зачетной книжки, домашний адрес и дату отправки, а также номер контрольной работы и ее название. В конце работы необходимо привести список использованной литературы. Без указания номера зачетной книжки работа проверяться не будет.
Перед решением задачи нужно полностью выписать ее условие. Если несколько задач имеют общую формулировку, переписывать следует только условие задачи нужного варианта. Решение каждой задачи студент должен сопровождать подробными объяснениями и ссылками на соответствующие формулы, теоремы и правила. Вычисления должны быть доведены до конечного числового результата. Ответы и выводы, полученные при решении задач, следует подчеркнуть.
После получения отрецензированной работы студенту необходимо исправить все отмеченные ошибки и недочеты. Если работа не зачтена, то следует переделать те задачи, на которые указывает рецензент, а при отсутствии такого указания вся контрольная работы должна быть выполнена заново. Переделанная работа высылается на повторное рецензирование обязательно с незачтенной ранее работой и рецензией к ней. При этом на обложке следует указать фамилию рецензента.
Работы, выполненные без соблюдения этих правил, к зачету не принимаются и возвращаются без рецензирования для переработки. При подготовке к экзамену следует еще раз обратиться к методическим указаниям и примерам, разобранным в них, вопросам для самопроверки и задачам, которые рекомендуется решить. На экзамен студент должен явиться с зачтенными контрольными работами и рецензиями на них. Каждому студенту предлагается индивидуальное задание, состоящее из пяти задач в каждой из двух контрольных работ. Для определения индивидуального задания контрольной работы нужно использовать приводимую ниже таблицу.
Номера задач контрольной работы определяются по соответствующей таблице с помощью двух последних цифр номера зачетной книжки студента.
Например, для студента, имеющего зачетную книжку с номером ЗЭ 87128, на пересечении горизонтальной колонки 2 и столбца 8 таблицы указаны следующие номера задач его индивидуального задания контрольных работ №№ 3-4: 08, 33, 57, 61, 85.
Таблица
ДЛЯ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ИНДИВИДУАЛЬНОГО ЗАДАНИЯ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ № 3
|
| Последняя цифра номера зачетной книжки
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| Предпоследняя цифра номера зачетной книжки
|
| 11 36 60 64 88
| 12 37 41 65 89
| 13 38 42 66 90
| 14 39 43 67 91
| 15 40 44 68 92
| 16 21 45 69 93
| 17 22 46 70 94
| 18 23 47 71 95
| 19 24 48 72 96
| 20 25 49 73 97
|
| 01 26 50 74 98
| 02 27 51 75 99
| 03 28 52 76 100
| 04 29 53 77 81
| 05 30 54 78 82
| 06 31 55 79 83
| 07 32 56 80 84
| 08 33 57 61 85
| 09 34 58 62 86
| 10 35 59 63 87
|
| 01 27 52 77 82
| 02 28 53 78 83
| 03 29 54 79 84
| 04 30 55 80 85
| 05 31 56 61 86
| 06 32 57 62 87
| 07 33 58 63 88
| 08 34 59 64 89
| 09 35 60 65 90
| 10 36 41 66 91
|
| 11 37 42 67 92
| 12 38 43 68 93
| 13 39 44 69 94
| 14 40 45 70 95
| 15 21 46 71 96
| 16 22 47 72 97
| 17 23 48 73 98
| 18 24 49 74 99
| 19 25 50 75 100
| 20 26 51 76 81
|
| 01 28 54 80 86
| 02 29 55 61 87
| 03 30 56 62 88
| 04 31 57 63 89
| 05 32 58 64 90
| 06 33 59 65 91
| 07 34 60 66 92
| 08 35 41 67 93
| 09 36 42 68 94
| 10 37 43 69 95
|
Продолжение таблицы
|
| Последняя цифра номера зачетной книжки
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| Предпоследняя цифра номера зачетной книжки
|
| 11 38 44 70 96
| 12 39 45 71 97
| 13 40 46 72 98
| 14 21 47 73 99
| 15 22 48 74 100
| 16 23 49 75 81
| 17 24 50 76 82
| 18 25 51 77 83
| 19 26 52 78 84
| 20 27 53 79 85
|
| 01 23 45 67 89
| 02 24 46 68 90
| 03 25 47 69 91
| 04 26 48 70 92
| 05 27 49 71 93
| 06 28 50 72 94
| 07 29 51 73 95
| 08 30 52 74 96
| 09 31 53 75 97
| 10 32 54 76 98
|
| 11 25 60 76 93
| 12 26 41 77 94
| 13 27 42 78 95
| 14 28 43 79 96
| 15 29 44 80 97
| 16 30 45 61 98
| 17 31 46 62 99
| 18 32 47 63 100
| 19 33 48 64 81
| 20 34 49 65 81
|
| 01 35 50 66 92
| 02 36 51 67 93
| 03 37 52 68 94
| 04 38 53 69 95
| 05 39 54 70 96
| 06 40 55 71 97
| 07 21 56 72 98
| 08 22 57 73 99
| 09 23 58 74 100
| 10 24 59 75 81
|
| 11 26 42 79 88
| 12 27 43 80 89
| 13 28 44 61 90
| 14 29 45 62 91
| 15 30 46 63 92
| 16 31 47 64 93
| 17 32 48 65 94
| 18 33 49 66 95
| 19 34 50 67 96
| 20 35 51 68 97
|
Контрольная работа № 3
ПРОГРАММА
Тема 1: Математика в целенаправленной деятельности
Процесс принятия решения, его участники и этапы. Понятие операции. Исследование операций - теория и методы количественного анализа решений, его взаимосвязь с теорией принятия решений. Математическая модель операции [контролируемые и неконтролируемые факторы, стратегии (планы), исходы, критерии эффективности (целевые функции)]. Однокритериальные и многокритериальные задачи оптимизации; задачи оптимизации в условиях определенности, неопределенности, конфликта.
Тема 2: Линейное программирование
Постановка и различные формы записи задачи линейного программирования. Типовые задачи линейного программирования. Графический метод решения. Понятие о симплекс-методе. Двойственные задачи. Теоремы двойственности. Экономическая интерпретация взаимно двойственных задач и теорем двойственности. Транспортная задача; математическая формулировка. Построение начального опорного плана. Метод потенциалов, их экономический смысл. Пакеты прикладных программ для решения задач линейного программирования.
Тема 3: Нелинейное программирование
Постановка задачи нелинейного программирования; примеры из экономики. Классификация задач и численных методов математического программирования. Понятие о методах одномерной, безусловной и условной оптимизации. Бюджетное ограничение. Оптимум потребителя. Определение оптимальных потребительских наборов методом Лагранжа.
Тема 4: Антагонистические игры
Игра как математическая модель принятия оптимальных решений в условиях конфликта. Классификация игр. Матричные игры. Максиминные и минимаксные стратегии игроков; седловая точка. Смешанное расширение игры. Основная теорема матрич матричных игр. Применение линейного программирования для решения игр в смешанных стратегиях.
Тема 5: Моделирование отраслевой структуры народного хозяйства
Основные допущения, принимаемые при построении линейных статических моделей. Статическая модель межотраслевого баланса. Технологическая матрица и матрица полных затрат.
Список рекомендуемой литературы
1. Настоящие указания составлены в соответствии с учебниками [1], [2] и задачником [3]:
2. Исследование операций в экономике: Учебное пособие / Под ред. Н.Ш. Кремера. - М.: ЮНИТИ, 1997.
3. Высшая математика для экономистов: Учебное пособие / Под ред. Н.Ш. Кремера. - М.: ЮНИТИ, 1997.
4. Калихман И.Л. Сборник задач по математическому программированию. М. Высшая школа, 1977.
Задача 1
На изготовление двух видов продукции и требуется три вида сырья , и , запасы которого ограничены и составляют соответственно , и условных единиц. Количество сырья, необходимое для изготовления единицы каждого из видов продукции дано в таблице 1.
Таблица 1
| Продукция
| Запасы
| Сырье
|
|
| сырья
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| Прибыль
|
|
|
|
Здесь - количество сырья вида , необходимое для изготовления единицы продукции типа (i=1,2,3; j=1,2). В последней строке указана прибыль (в условных денежных единицах), получаемая от реализации единицы соответствующей продукции (предполагается, что вся выпущенная продукция реализуется). Требуется составить план выпуска продукции, при котором суммарная прибыль от реализации всей продукции была бы максимальной.
Рассмотрим конкретный пример (см. таблицу 2).
Таблица 2
| Продукция
| Запасы
| Сырье
|
|
| сырья
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| Прибыль
|
|
|
|
Решение.
Обозначим искомый план производства через , где - количество продукции типа ; - количество продукции типа . Составим ограничения задачи. Ограничивающим фактором здесь является сырье. Например, на план производства должно истратиться сырья вида , запасы которого равны 15 ед.; поэтому должно выполняться неравенство
для сырья и , соответственно, должны выполняться неравенства
и . По смыслу задачи в систему ограничений необходимо включить еще два неравенства
и .
Объединим все неравенства в систему
.
Эта система носит название системы ограничений задачи.
В качестве целевой функции задачи выступает суммарная прибыль, которая, очевидно, имеет вид
Итак, мы построили математическую модель задачи:
.
Заметим, что это - задача линейного программирования с двумя переменными. Решим ее графическим методом.
Рассмотрим систему неравенств; множество ее решений называется ОДР - областью допустимых решений или областью допустимых планов.
Построим область решений первого неравенства системы ограничений . Сначала построим прямую , например, по точкам , , которую обозначим цифрой (I). Эта прямая разбивает всю плоскость на две полуплоскости. Для определения полуплоскости решений нашего неравенства возьмем произвольную точку плоскости, не лежащую на прямой , например, , и подставим ее координаты в неравенство: . Так как , то точка лежит в полуплоскости решений нашего неравенства. Противоположную полуплоскость мы заштрихуем (см. рис. 1).
Аналогично строим полуплоскости решений остальных неравенств системы ограничений, каждый раз заштриховывая “ненужную” полуплоскость (прямые (II) и (III)). Заметим, что неравенства и “выделяют” первый квадрант (заштриховываем левую полуплоскость от прямой и нижнюю от прямой ). Таким образом, ОДР - это замкнутый многоугольник (рис. 1).
Рис. 1
Теперь нужно среди точек построенного многоугольника (включая и его границу!) найти такую, в которой целевая функция достигает максимального значения. Для этого построим прямую, заданную уравнением , которая является линией нулевого уровня функции . Как известно, линии уровней линейной функции образуют на плоскости семейство параллельных прямых, на каждой из которых функция принимает постоянное значение. При переходе от одной линии уровня к другой значение функции изменяется. Направление “наискорейшего” возрастания функции указывает вектор
(в нашем случае это вектор с началом в начале координат и концом в точке , координаты которого в случае линейной функции равны коэффициентам при соответствующих переменных). Для нахождения оптимального плана нужно “передвигать” линию нулевого уровня функции параллельно самой себе в направлении вектора до точки ее “последней встречи” с ОДР. Эта точка (или отрезок прямой) и будет решением поставленной задачи. В нашем случае это точка - точка пересечения прямых (I) и (II). Найдем координаты этой точки, решив систему уравнений:
.
Следовательно, ; ; усл. ден. ед.
Ответ: для получения суммарной максимальной прибыли нужно выпускать 3 ед. продукции типа и 2 ед. продукции типа ; при таком плане прибыль составит 12 ден. ед.
Замечание 1: Если требуется найти минимум функции , то линию нулевого уровня следует передвигать до точки “первой встречи” с ОДР или в направлении, противоположном вектору .
Как правило, задачи, в которых целевая функция представляет собой затраты производства, требуют минимизации этой функции.
Замечание 2: Если на рисунке “не видно” оптимальной точки, то рекомендуется найти координаты всех вершин многоугольника и посчитать значения функции в этих точках. Наибольшее (или наименьшее) значение функции укажет оптимальную точку (или отрезок прямой).
Вопросы для самопроверки:
1. Какая фигура является областью решений линейного неравенства?
2. Какая фигура является областью решений системы линейных неравенств?
3. Запишите стандартную форму задачи линейного программирования.
4. Дайте определения допустимого плана и оптимального плана задачи линейного программирования.
Задача 2
Ниже приведена таблица 3, в которой указаны запасы некоторого груза у поставщиков , , , потребности в этом грузе потребителей , , , а также стоимости (тарифы) , ,..., перевозки единицы этого груза от каждого поставщика каждому потребителю (тариф означает стоимость перевозки единицы груза от поставщика потребителю ); величины указаны в некоторых денежных единицах. Составьте оптимальный план перевозок - такой, чтобы все потребители были удовлетворены и при этом стоимость всех перевозок была бы наименьшей.
Таблица 3
| Потребители
|
| Поставщики
|
|
|
| Запасы
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| Потребности
|
|
|
| Итого : 190
|
Решение.
1. Составление начального плана перевозок (см. [1], стр. 129-131).
а) Метод “северо-западного угла”.
Заполним клетку - “северо-западный угол” матрицы перевозок. В нее можно запланировать перевозку 60 единиц груза: потребность потребителя равна 60 единицам, а у поставщика имеется возможность поставить весь требуемый груз (60 единиц из имеющихся у него 70). При этом 1-й столбец матрицы перевозок будет закрыт, а в первую строку останется в дальнейшем разместить перевозку 10 единиц (рис. 1).
Заполняем “северо-западный угол” оставшейся незаполненной части таблицы - клетку . В нее можно запланировать перевозку 10 единиц груза, оставшихся у поставщика , потребителю ; при этом все возможности будут исчерпаны, а надо будет поставить еще 80 единиц груза; при этом 1-я строка матрицы перевозок будет закрыта (рис. 2).
Снова заполняем ”северо-западный угол” незаполненной части таблицы - клетку . В нее можно запланировать перевозку 40 единиц груза, имеющихся у , потребителю ; при этом все возможности будут исчерпаны, а потребителю надо будет поставить еще 40 единиц груза; 2-я строка матрицы будет закрыта (рис. 3).
В оставшейся незаполненной части последней строки матрицы перевозок заполняем сначала “северо-западный угол” - клетку (в нее ставим, естественно, 40 единиц груза и закрываем 2-й столбец), а затем - оставшуюся клетку (снова “северо-западный угол” оставшейся незаполненной части таблицы); получаем план перевозок, изображенный на рис. 4.
Подсчитаем стоимость затрат на перевозки по этому плану. Для этого объем перевозки, указанный в каждой заполненной клетке, надо умножить на тариф этой клетки и сложить все полученные произведения:
(ед.)
Метод “северо-западного угла” очень простой. Он никак не учитывает стоимости перевозок. Точно так же можно применять метод “юго-восточного угла” или какого-нибудь другого, важно лишь четко сформулировать правило (алгоритм) составления плана.
б) Метод наименьшей стоимости.
Находим клетку матрицы перевозок с наименьшим тарифом; таких клеток две: и - тарифы в них равны 1. Поскольку в клетку можно поместить 40 единиц груза (это наименьшее из чисел 40 и 90, соответственно запасов и потребностей ), а в клетку - тоже 40 единиц, выбираем одну из них произвольно, например, клетку , и закрываем 3-й столбец, а у поставщика оставляем 70 - 40 = 30 единиц груза (рис. 5). В оставшейся незаполненной части матрицы перевозок наименьший тариф имеет клетка . Заполняем ее: ставим перевозку 40, закрываем вторую строку, а потребителю останется еще получить 50 единиц груза (рис. 6).
В оставшейся незаполненной части матрицы перевозок наименьший тариф (2 денежные единицы) имеют клетки и . В первую из них помещаем требуемые там 60 единиц груза (во вторую можно поместить лишь 50 единиц - меньше), закрываем первый столбец, уменьшая запасы до 80 - 60 = 20 единиц груза (рис. 7).
Дальше матрица заполняется однозначно - в незаполненные клетки и ставим требуемые там 30 и 20 единиц груза соответственно. План составлен (рис. 8). Подсчитаем стоимость затрат по составленному плану:
(ед.).
Метод наименьшей стоимости дал более выгодный план, поэтому будем рассматривать именно его в качестве начального.
Отметим два обстоятельства. В обоих планах оказались заполненными одинаковое число клеток. Это не случайно. Для невырожденных задач это число равно, как известно из теории, , где и - размеры матрицы перевозок. В нашем случае , поэтому должны быть заполнены клеток, что и получилось. “Невырожденость” здесь означала, что на каждом этапе решения мы “закрывали” либо столбец, либо строку матрицы перевозок, но никогда столбец и строку одновременно. Если бы случилась необходимость их одновременного закрытия, нам пришлось бы вводить фиктивную нулевую перевозку, чтобы соблюсти указанный принцип. Кроме того, мы решали так называемую “закрытую” транспортную задачу: сумма запасов поставщиков равнялась сумме потребностей потребителей; иначе нам тоже пришлось бы вводить либо “фиктивных поставщиков”, либо “фиктивных потребителей”. Осталось напомнить, что, очевидно, достаточно составить исходный план лишь одним способом; мы привели два способа из методических соображений.
Теперь надо выяснить, оптимален ли план, приведенный на рис. 8. Для этого надо провести оценку каждой свободной клетки, составив для нее цикл, а по нему - знакочередующуюся сумму тарифов клеток, входящих в этот цикл; если эта оценка окажется для какой-то клетки неотрицательной, ее невыгодно включать в новый план, если же она окажется отрицательной, то рассматриваемый план не оптимален и эту клетку целесообразно включить в новый, более выгодный план.
Как только в некотором плане все свободные клетки будут иметь неотрицательные оценки, мы получим оптимальный план.
Исследование исходного плана на оптимальность (распределительный метод) (см. [1], стр. 134- 139). Найдем последовательно оценки всех свободных клеток плана перевозок, изображенного на рис. 8.
Клетка . Цикл (рис. 9). Его оценка
.
Клетка . Цикл (рис. 10). Его оценка
.
Клетка . Цикл (рис.11). Его оценка
.
Клетка . Цикл (рис.12). Его оценка .
Итак, исследуемый план не оптимален, в новый план следует включить клетку (это единственная свободная клетка с отрицательной оценкой).
Комментарий. Полезно убедиться в единственности (с точностью до направления обхода) цикла для каждой свободной клетки и независимости значения ее оценки от направления обхода цикла. Иногда возникает недоразумение из-за недопонимания такого обстоятельства: мы считаем, что цикл проходит через клетку, если он делает в ней поворот (например, цикл клетки не проходит через клетку , он “перепрыгивает” через нее); поэтому лучше употреблять такие слова: “клетка входит в цикл” или “принадлежит циклу”.
Улучшение плана происходит просто: берем свободную клетку с отрицательной оценкой и производим по ее циклу перемещение поставок так, чтобы не нарушить баланс: в свободную клетку и в те занятые клетки ее цикла, тарифы которых брались при оценке со знаком “+”, добавляем некоторое (одно и то же для всех клеток цикла) количество единиц груза (то есть увеличиваем на это количество запланированные в этих клетках перевозки), а в остальных клетках цикла на это же количество уменьшаем перевозки. Величина оценки свободной клетки имеет экономический смысл: когда она отрицательна, то показывает, насколько выгодней перевозить единицу груза, проделав перемещение поставок по циклу этой клетки, поэтому по циклу надо переместить как можно больше единиц груза. Эта величина ограничена тем, что в тех клетках, в которых мы уменьшаем поставки, не должно остаться отрицательной величины. Значит, мы можем переместить по циклу лишь наименьшую величину единиц груза из тех клеток, тарифы которых входили в оценку со знаком “-”. Произведение этой величины на оценку клетки и даст величину выгоды перевозок по новому плану - разности в стоимости старого и нового планов перевозок.
В нашем случае переместим по циклу клетки 30 единиц груза: в клетки и плана добавляем по 30 единиц груза, и из клеток и убираем по 30 единиц. Получаем новый, улучшенный план, показанный на рис. 13. Его стоимость на 30 денежных единиц меньше стоимости исходного: ; таким образом, по второму плану стоимость перевозок равна денежным единицам.
Обязательно проверьте, что стоимость нового плана равна 330 единицам. Теперь, видимо, становятся понятнее свойства цикла: в него входят ровно по две клетки из столбца или строки из-за того, чтобы при улучшении плана не нарушался баланс: на такую величину мы уменьшили перевозку из одной клетки строки (столбца), на столько же увеличили ее во второй клетке этой строки (столбца), так что общая величина поставок от этого поставщика (баланс в строке) или этому потребителю (баланс в столбце) не меняется.
Исследование второго плана на оптимальность. Найдем последовательно оценки всех свободных клеток второго плана.
Клетка . Ее только что освободили, так что оценивать ее нецелесообразно.
Клетка . Ее цикл, а значит, и оценка, не изменились; оценка по-прежнему равна 3>0.
Клетка . Цикл (рис. 14). Его оценка
.
Клетка . Цикл (рис. 15). Его оценка .
Поскольку во втором плане оценки всех свободных клеток положительны, он оптимален.
Ответ: , , , , , ; оптимальная стоимость перевозок равна 330 денежным единицам.
Вопросы для самопроверки:
1. Запишите закрытую математическую модель транспортной задачи.
2. Чему равен ранг системы ограничений транспортной задачи?
3. Дайте определение цикла свободной клетки.
4. Сколько циклов существует у одной свободной клетки?
5. Что называется оценкой свободной клетки?
6. В каком случае план можно улучшить и как это сделать?
7. На сколько уменьшаются транспортные расходы после улучшения плана?
8. Как свести открытую модель транспортной задачи к закрытой модели?
Задача 3
|