Молекулярная физика. Термодинамика

Основные формулы

1. Количество вещества (число молей)[3]

, (1Ф)

где N – число молекул (атомов) вещества; – постоянная Авогадро.

2. Молярная масса вещества

, (2Ф)

где m – масса вещества.

3. Уравнение Менделеева – Клапейрона (уравнение состояния идеального газа)

, (3Ф)

где Р, V – давление и объем газа; m – масса газа;. – молярная масса, – универсальная газовая постоянная (находятся из таблицы); – термодинамическая температура.

4. Зависимость давления газа от концентрации молекул n и температуры (уравнение состояния идеального газа)

(4Ф)

где k – постоянная Больцмана.

5. Концентрация молекул

. (5Ф)

6. Основное уравнение молекулярно – кинетической теории газов

, (6Ф)

где средняя кинетическая энергия поступательного движения молекулы.

7. Средняя кинетическая энергия поступательного движения молекулы

. (7Ф)

8. Средняя полная кинетическая энергия молекулы

, (8Ф)

где – число степеней свободы молекулы.

9. Средняя квадратичная скорость молекул массой m₁

10. Молярные теплоемкости тела (газа) при постоянном объеме и постоянном давлении

(10Ф)

11. Связь между удельной и молярной теплоeмкостями

(11Ф)

12. Уравнение Майера

(12Ф)

13. Внутренняя энергия газа (E = U)

14. Первое начало термодинамики

(14Ф)

где сообщенной газу; – изменение внутренней энергии газа; – работа, совершенная газом против внешних сил.

15. Работа при расширении газа от объема V₁ до объема V₂ [3]

: (15Ф)

= (m/M)RΔT; (16Ф)

А = ln(V₂/V₁),

где = m/M – число молей газа;

16. Работа газа при адиабатическом процессе

, или A = νR(T₁ – T₂)/(γ – 1), (18Ф)

где γ = С_P/С_V – постоянная адиабаты.

17. Уравнение Пуассона при адиабатическом процессе

(19Ф)

18. К. п. д. тепловой машины

(20Ф)

где – тепло, полученное рабочим телом от нагревателя; – тепло, переданное рабочим телом холодильнику.

19. К. п. д. идеального цикла Карно

(21Ф)

где и – термодинамические температуры нагревателя и холодильника.

Примеры решения задач

Пример 1. В баллоне находятся азот массой и водород массой при температуре t = 10 ^oC и давлении Р = 1,0 МПа. Найти молярную массу смеси и объем баллона.

Р е ш е н и е

m₁ = 14 г = 14.10^–3кг, Молярная масса М смеси равна отношению массы смеси m m₂ = 9,0 г = 9,0.10^–3кг, к количеству вещества (числу молей) ν смеси (см. (2Ф))

Т = t + 273 = 283 K, M = m/ν. (1)

Р = 1,0 Мпа = 1,0.10⁶Па. Масса смеси равна сумме масс ее компонентов

(2)

M = ? V = ? Число молей смеси равно сумме молей ее компонентов

ν = + (3)

где

Молярные массы азота и водорода находятся из таблицы

Учитывая (2) – (4) , найдем из (1) молярную массу смеси

(5)

Объем баллона найдем, применяя уравнение Менделеева – Клапейрона (3Ф)

откуда, используя (2) и (5),

Учитывая табличные значения универсальной газовой постоянной R и молярных масс азота и водорода , получим числовой ответ:

V = 1,2.10^–2м³ = 12 л.

Пример 2. В баллоне объемом находится гелий под давлением и при температуре = 27 ^оC. Из баллона взяли гелий массой , при этом темпера-тура газа понизилась до = 17 ^оC. Найти давление гелия, оставшегося в баллоне.

Р е ш е н и е

Применим уравнение Менделеева – Клапейрона (3Ф), к начальному ( ) и конечному ( ) состояниям газа, находящегося в баллоне,

где – первоначальная масса газа; – масса газа, оставшегося в баллоне; M = 4,0.10^–3кг/моль, R = 8,31 Дж/(моль.К) – молярная масса гелия и универсальная газовая постоянная (находятся из таблиц).

Искомое давление находится из уравнения (2), где

Подставляя сюда массу , найденную из уравнения (1), получим ответ:

Пример 3. Найти среднюю кинетическую энергию вращательного движения молекулы кислорода при температуре Т = 350 К, а также кинетическую энергию вращательного движения всех молекул кислорода массой .

Р е ш е н и е

Кинетическая энергия вращательного движения N молекул газа

Число молекул газа

где – постоянная Авогадро (находится из таблицы); – число молей кислорода. Если учесть , где – масса газа; – молярная масса кислорода (находится из таблицы), то формула (3) запишется

Подставляя (1) и (4) в формулу (2) и, учитывая – универсальная газовая постоянная, найдем кинетическую энергию вращательного движения всех молекул кислорода:

Пример 4. В двух теплоизолированных сосудах объемами и находится одинаковый идеальный газ при давлениях и температурах , . Сосуды соединяют трубкой. Какая температура установится в сосудах после смешивания газов?

Р е ш е н и е

где – число степеней свободы молекул газа; , – число молей газов в первом и втором сосудах; R – универсальная газовая постоянная. Используем уравнение Менделеева – Клапейрона (3Ф) для газовв первом и втором сосудах

Из сравнения первых и вторых равенств в формулах (1) и (2) имеем

Общая энергия газов в сосудах до их соединения или учитывая (3), получим:

После смешивания газов (соединение сосудов трубкой) установится искомая температура и внутренняя энергия газа , или, учитывая , получим:

Число молей и найдем из уравнений (2) и подставим их в (5). Тогда

Сосуды теплоизолированные, поэтому (закон сохранения энергии), откуда с учетом (4) и (6), найдем искомую температуру

Пример 5. Кислород массой находится при температуре и рас-ширяется при постоянном давлении, при этом объем увеличивается в n = 2,0 раза. Найти

количество теплоты, сообщенной газу.

Р е ш е н и е

Используем первое начало термодинамики (14Ф)

где = 5 – число степеней свободы молекул для двухатомного кислорода; – молярная масса кислорода; – универсальная газовая постоянная; – приращение температуры. Работа газа при изобарном процессе (16Ф)

(3)

С учетом (2) и (3) количество теплоты (1) запишется

, (4)

где ΔТ = Т₂ – Т₁. У нас процесс изобарный, поэтому температура находится из закона Гей – Люссака , откуда с учетом условия задачи

Тогда приращение температуры

Подставляя это выражение в (4), получим:

Учитывая условие задачи и табличные данные, найдем количество теплоты:

Пример 6. Два моля идеального газа, находящегося при температуре , охладили изохорно, вследствие чего его давление уменьшилось в n = 2,0 раза. Затем газ изобарно расширили так, что в конечном состоянии его температура стала равной первоначальной. Найти количество теплоты, поглощенной газом в данном процессе.

Решение

T₁ = 300 K, Решение задачи упрощается, если заданные процессы изобразить на P₁/P₂ = n = 2,0, , – диаграмме (см. рис. 20). Количество теплоты находится из перво- ν = 2. го начала термодинамики

Q = ? Q = ΔU + A, (1)

где – работа газа; – приращение внутренней энергии газа. В данной задаче работа совершается только при изобарном расширении (на рис. 20 изобара 2 – 3). На участке 1 – 2 (изохора) объем не изменяется и работа = 0. Следовательно, в данном процессе работа А = А₂₃ = P₂ ΔV. Применяя уравнение Менделеева – Клапейрона (3Ф) к состояни-

A = νRΔT = νR(T₃ – T₂), (2)

где по условию задачи Т₃ = Т₁. Температура находится из закона Шарля для изохорного процесса (1 – 2)

откуда, учитывая условие задачи,

Подставляя эту формулу в уравнение (2), найдем работу, совершенную газом в данном процессе:

Приращение внутренней энергии

где – число степеней свободы. В данном процессе начальная и конечная температура равны (на рис. т. т. 1 и 3), следовательно, Тогда из (1) искомое количество теплоты . Учитывая (3), получим:

Пример 7. Объем одного моля ( = 1) идеального газа с числом степеней свободы молекул изменяется по закону V = а/Т, где – постоянная. Найти количество теплоты, полученной газом в этом процессе, если его температура испытала приращение .

Количество теплоты находится из первого начала термодинамики (14Ф)

Q = ΔU + A. (1)

Приращение внутренней энергии одного моля газа

, (2)

где R = 8,31 Дж/(моль/.К) – универсальная газовая постоянная. Работа газа

Воспользуемся уравнением Менделеева – Клапейрона (3Ф) для одного моля газа

откуда, учитывая условие задачи,

Продифференцируем условие задачи V = а/Т

Подставляя (4) и (5) в формулу (3), найдем работу:

С учетом (2) и (6) количество теплоты (1) равно

Пример 8. Водород массой m = 20,0 г находится при температуре = 300 К. Его объем при адиабатическом процессе увеличился в n = 5,00 раз, затем при изотермическом процессе уменьшился до прежнего значения. Найти: температуру в конце адиабатического расширения; работу газа и приращение внутренней энергии при этих процессах.

m = 20,0 г = 20,0

Процессы расширения и сжатия газа изобразим графически в системе координат (см. рис. 21). Параметры газа можно определить из уравнений адиабатического и изотермического процессов. При адиабатическом процессе температура и объем идеального газа в состояниях 1 и 2 связаны между собой уравнением Пуассона (19Ф)

откуда, учитывая условие задачи, получим:

где постоянная адиабаты . Для молекулярного водорода (число степеней сво-боды = 5) молярная теплоемкость при постоянном давлении . (R – универсальная газовая постоянная). Молярная теплоемкость при постоянном объеме , тогда γ = 1,4. Подставляя это значение γ в (1), найдем температуру: = 158 К. Работа газа при адиабатическом расширении (см. (18Ф))

Учли, что молярная масса водорода (находится из таблицы). Работа газа при изотермическом процессе (17Ф)

где = (см. рис. 21). Учитывая условие задачи и выражение (1), найдем работу при изотермическом сжатии:

Подставив числовые данные, получим . Знак «минус» показывает, что при сжатии газа работа совершается внешними силами. Для определения приращения внутренней энергии газа при адиабатическом процессе воспользуемся первым началом термодинамики (14Ф)

В данном процессе = 0 и = ­ . С учетом (2) имеем

При изотермическом процессе Т = const и = 0. Следовательно (см. (18Ф)),

Пример 9. У тепловой машины, работающей по циклу Карно, температура нагревателя в n = 1,6 раза больше температуры холодильника . За один цикл машина производит полезную работу А = 12 кДж. Какая работа за цикл затрачивается внешними силами на изотермическое сжатие рабочего тела?

Р е ш е н и е

.

Учитывая условие задачи, получим коэффициент полезного действия машины:

К. п. д. цикла Карно можно записать также через работу и тепло , переданное рабочему телу от нагревателя: , откуда с учетом (2)

Работа находится через и тепло , переданное от рабочего тела холодильнику,

откуда с учетом (3) имеем:

Применим к изотермическому сжатию первое начало термодинамики (14Ф) в виде:

где – приращение внутренней энергии рабочего тела. У нас = 0, т. к. Т = const; – тепло, переданное рабочему телу. В нашей задаче Q = – Q₂, т. к. тепло отнимается от тела и передается холодильнику; – искомая работа внешних сил над рабочим телом. В результате из (5) имеем . Используя (4), найдем:

Пример 10. Водород совершает цикл Карно. Найти к. п. д. цикла, если при адиабатическом расширении: а) объем газа увеличивается в n = 2,0 раза; б) давление уменьшается в n = 2,0 раза.

а) Воспользуемся формулой к. п. д. цикла Карно (21Ф) где – температура нагревателя и холодильника. Используем для адиабатического процесса уравнение Пуассона (19Ф) в виде

откуда имеем

где = 1,4 – постоянная адиабаты для двухатомного водорода. По условию задачи . Тогда из (2)

Подставляя это выражение в (1), найдем к. п. д. цикла Карно при увеличении объема газа в n = 2,0 раза

б) Запишем уравнение Пуассона в следующем виде:

откуда

,

или, учитывая условие задачи, получим:

С учетом этого выражения, из (1) найдем к. п. д. цикла, когда давление уменьшается в n = 2,0 раза

Пример 11. Один моль гелия при изобарном расширении увеличил свой объем в = 4.0 раза. Найти приращение энтропии.

Р е ш е н и е

He,   He,

Приращение энтропии находится из второго начала термодинамики (принципа возрастания энтропии) , или в интегральной форме для равновесных (квазистатических) процессов

где – элементарное количество теплоты, находится из первого начала термодинамики (14Ф), записанного в дифференциальной форме,

Приращение внутренней энергии для одного моля газа (см. (13Ф))

где – универсальная газовая постоянная (находится из таблицы).

Элементарная работа газа

Продифференцируем уравнение состояния идеального газа (3Ф) для одного моля , с учетом того, что процесс изобарный: . Тогда (4) запишется

Подставляя (3) и (5) в уравнение (2), получим:

Подставим это выражение в (1) и проинтегрируем:

где – число степеней свободы атомов гелия. Для изобарного процесса T₁/V₁ = T₂/V₂, откуда с учетом условия задачи имеем:

Используя это соотношение, из (6) найдем приращение энтропии:

Пример 12. Один моль двухатомного идеального газа находится при температуре = 300 К и сжимается от объема V₁ до объема V₂ = V₁/2 один раз изотермически, а другой раз – адиабатически. Найти приращение энтропии и конечную температуру в обоих процессах.

Р е ш е н и е

(1)

Элементарное количество теплоты находится из первого начала термодинамики (14Ф) в дифференциальной форме

δQ = dU + δA, (2)

где dU – приращение внутренней энергии, при изотермическом процессе dU = 0. Элементарная работа

δА = PdV .(3)

Из уравнения Менделеева–Клапейрона (3Ф), записанного для одного моля, PV = RT, найдем: P = RT/V и подставим это выражение в (3). В результате получим

. (4)

Учитывая dU = 0, из (2) и (4) имеем:

.

Подставляя это выражение в (1), найдем приращение энтропии при изотермическом сжатии:

.

Учитывая условие задачи V₂ = V₁/2 и табличное значение универсальной газовой постоянной R = 8,31 Дж/(моль.К), получим числовое значение приращения энтропии:

ΔS₁ = – R 2 = – 5,76 Дж/К.

Знак « минус » означает, что энтропия при этом процессе уменьшается. Это объясняется тем, что макросистема не является замкнутой.

Для адиабатического процесса , тогда из (1) видно, что , т. е. энтропия или при данном процессе остается постоянной.

Температура при изотермическом процессе не изменяется, следовательно, конечная температура в этом процессе по условию задачи равна .= 300 К. Для адиабатического процесса используем уравнение Пуассона (19Ф) в виде: откуда

Постоянная адиабаты = C_p/С_V. Используя формулы молярных теплоемкостей C_p и С_V (10Ф), найдем: γ = (i + 2)/i. В задаче дан двухатомный газ, для которого число степеней свободы i = 5, тогда γ = 1,4. Учитывая условие задачи V₂ = V₁/2, получим из (5)

Таким образом, конечная температура больше при адиабатическом сжатии.

Таблица вариантов к контрольной работе №2

Таблица содержит варианты для специальностей, учебными планами которых пре­дусмотрено по курсу физики четыре и шесть контрольных работ.

Количество задач и их номера указываются преподавателем.

Задачи для самостоятельного решения

201. Найти кинетическую энергию поступательного движения молекул газа, находящихся в неподвижном баллоне объемом V = 6,0 л при давлении Р = 300 кПа.

202. Найти внутреннюю энергию двухатомного газа, находящегося в сосуде объемом V = 2 л под давлением Р = 150 кПа.

203. Найти внутреннюю энергию кислорода массой m = 20 г при температуре t = 20 ^оС. Какая часть этой энергии приходится на долю поступательного движения молекул и какая часть – на вращательное движение?

204. Водород массой m = 0,30 г находится в сосуде объемом V = 2,0 л при давлении Р = 200 кПа. Найти среднюю квадратичную скорость и среднюю кинетическую энергию молекул водорода.

205. Найти концентрацию молекул водорода при давлении Р = 300 Па, если средняя квадратичная скорость его молекул v_кв = 2,5.10³ м/с.

206. Сколько молекул воздуха находится в комнате объемом V = 60 м³ при нормальных условиях?

207. В баллоне объемом V = 0,01 м³ находится газ при температуре t = 27 ^оС. Из-за утечки газа давление в баллоне уменьшилось на ΔР = 4,1 кПа. Сколько молекул вышло из баллона при постоянной температуре?

208. Средняя квадратичная скорость молекул газа при нормальных условиях равна v_кв = 460 м/с. Сколько молекул находится в газемассы m = 1 г?

209. В баллоне объемом V = 0,20 м³ находится газ под давлением Р₁ = 100 кПа и при температуре Т₁ = 290 К. После накачивания газа: Р₂ = 300 кПа и Т₂ = 320 К. На сколько увеличилось число молекул газа в баллоне

210. Аэростат объемом V = 300 м³ наполняется водородом при температуре t = 20 ^оС и давлении Р = 98 кПа. Сколько времени наполняется аэростат, если в него из баллона за каждую секунду переходит водород массой m = 2,5 г/с?

211. Найти внутреннюю энергию U воздуха в комнате объемом V = 40 м³ при нормальном атмосферном давлении. Зависит ли величина U от температуры воздуха в комнате при постоянном давлении?

212. По газопроводу течет углекислый газ при давлении Р = 500 кПа и температуре t = 17 ^оC. Найти скорость движения газа в трубе, если за время τ = 5,0 мин через поперечное сечение трубы площадью S = 6 см² протекает газ массой m = 2,5 кг?

213. Два теплоизолированных баллона наполнены воздухом и соединены короткой трубкой с краном. Объемы баллонов, а также давление и температура воздуха в них равны: V₁, Р₁, Т₁ и V₂, Р₂, Т₂. Найти температуру и давление воздуха, которые установятся после открытия крана.