Свойство высоты прямоугольного треугольника, опущенного на гипотенузу.

Теорема 1. Теорема косинусов – квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

стороны треугольника и угол , противолежащий стороне .

Следствие 1. Следствие из теоремы косинусов (о связи диагоналей и сторон параллелограмма). Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов всех его сторон.

d₁² + d₂² = 2 a² + 2 b²

Следствие 2. Следствие из теоремы косинусов об определении вида треугольника.

Пусть с- наибольшая сторона треугольника.

Если с²=а²+b², то угол против с=90 градусов и треугольник прямоугольный.

Если с²<а²+b², то угол против с<90 градусов и треугольник остроугольный.

Если с²>а²+b², то угол против с>90 градусов и треугольник тупоугольный.

Формула 1. Формулы для вычисления длины медианы треугольника.

или

Формула 2. , угол лежит напротив стороны а.

9. Теорема синусов. Следствие теоремы синусов( о радиусе описанной окружности).

Теорема 1. Теорема синусов – стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.

где , , — стороны треугольника, — соответственно противолежащие им углы.

Следствие 1. Следствие из теоремы синусов (о радиусе описанной окружности). Диаметр описанной окружности около треугольника равен отношению стороны треугольника к синусу противоположного угла.

где , , — стороны треугольника, — соответственно противолежащие им углы, а — радиус окружности, описанной вокруг треугольника.

10. Свойства прямоугольного треугольника

Теорема Пифагора. В любом прямоугольном треугольнике сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы.

Синус угла х – это отношение противолежащего катета к гипотенузе.

Косинус угла х – это отношение прилежащего катета к гипотенузе.

Тангенс угла х – это отношение противолежащего катета к прилежащему.

Котангенс угла х – это отношение прилежащего катета к противолежащему.

Свойство высоты прямоугольного треугольника, опущенного на гипотенузу.

Свойство: 1. В любом прямоугольном треугольнике, высота, опущенная из прямого угла( на гипотенузу), делит прямоугольный треугольник, на три подобных треугольника.

Свойство: 2. Высота прямоугольного треугольника, опущенная на гипотенузу, равна среднему геометрическому проекций катетов на гипотенузу(или среднему геометрическому тех отрезков на которые высота разбивает гипотенузу).

Свойство: 3. Катет равен среднему геометрическому гипотенузы и проекции этого катета на гипотенузу.

Свойство: 4. Катет против угла в 30 градусов равен половине гипотенузы.

Формула 1. , где гипотенуза;

Формула 2. , где гипотенуза; , катеты.

Свойство: 5. В прямоугольном треугольнике медиана проведенная к гипотенузе, равна ее половине и равна радиусу описанной окружности.

Свойство: 6. Зависимость между сторонами и углами прямоугольного треугольника:

;

;

.

11. Свойство диаметра перпендикулярного хорде.

Свойство: 1. Диаметр перпендикулярный хорде делит эту хорду пополам.

12. Свойство дуг, заключенных между параллельными хордами.

Свойство: 1. Дуги, заключенные между параллельными хордами, равны.

13. Свойства касательной.

Определение. Касательная – прямая, имеющая только одну точку пересечения с окружностью.

Свойство: 1. Касательная к окружности перпендикулярна к радиусу проведенного в точку касания.

Свойство: 2. Две касательные проведенные из одной точки к окружности – равны.

14. Определение вписанного угла, центрального угла. Измерение их величин. Свойство вписанного угла, его связь с центральным углом, опирающимся на туже хорду.

Определение 1. Угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают эту окружность – вписанный угол.

Определение 2. Центральный угол в окружности – плоский угол с вершиной в ее центре.

Угол, вписанный в окружность, равен половине соответствующего центрального угла.

Градусной мерой дуги окружности называется градусная мера соответствующего центрального угла.

Свойство: 1. Все вписанные углы, опираются на одну и ту же дугу, равны между собой.

Свойство: 2. Вписанный угол, опирающийся на диаметр прямой.

15. Угол с вершиной внутри круга; угол с вершиной вне круга; угол межу касательной и хордой. Измерение их величин.

Свойство: 1. Угол, вершина которого лежит внутри круга, измеряется полусуммой двух дуг, из которых одна заключается между его сторонами, а другая между продолжениями сторон.

Свойство: 2. Угол, вершина которого лежит вне круга, измеряется полуразностью двух дуг, заключенных между его сторонами.

Свойство: 3. Угол, составленный касательной и хордой, измеряется половиной дуги заключенной внутри него.

16. Свойство хорд, пересекающихся в круге.

Свойство: 1. Если хорды, АВ и СD окружности пересекаются в точке S, то AS ВS=DS CS.

17. Свойство секущей и касательной, проведенной из одной точки.

Свойство: 1. Произведение отрезков секущей окружности равно квадрату отрезка касательной, проведенной из той же точки.

18. Свойство секущих, проведенных из одной точки.

Если из одной точки P к окружности проведены две секущие, пересекающие окружность в точках A,B,C,D соответственно, то AP ВP=CP DP.

19. Свойства вписанного и описанного четырехугольника.

Свойство: 1. Четырехугольник можно вписать в окружность тогда и только тогда, когда суммы его противоположных углов равна 180 градусов.

Свойство: 2. Четырехугольник можно описать около окружности тогда и только тогда, когда суммы длин его противоположных сторон равны.

20. Правильный многогранник. Формулы для вычисления радиусов вписанной и описанной окружности.

Определение 1.Правильный многоугольник — это выпуклый многоугольник, у которого все стороны между собой равны и все углы между собой равны.Площадь правильного многоугольника

Формула 1. Для радиуса окружности, описанной около правильного n-угольника.