ПОЛОЖЕНИЯ ЦЕНТРА ТЯЖЕСТИ СЛОЖНОГО СЕЧЕНИЯ

При определении положения центра тяжести сечения необходи­мо определять значения статических моментов этого сечения.

Статическими моментами площади сечения относительно осей X и Y (рис. 3) называются определенные интегралы вида

; . (1)

где F — площадь сечения; х и у — координаты элемента площади dF.

Рис. 3 Рис. 4

Если известно положение центра тяжести сечения (рис. 4), то статические моменты сечения могут быть подсчитаны по простым формулам, без взятия интегралов, а именно

. (2)

где и— координаты центра тяжести сечения.

Пример 1.Определить статический момент прямоугольного сечения относительно оси X, если размеры сторон прямоугольника b и h (рис. 5).

Рис. 5

Решение.

.

Из выражений (2) можно определить координаты центра тяжести сечения и:

. (3)

Статический момент сечения относительно оси, проходящей через центр тяжести, равен нулю.

Оси, проходящие через центр тяжести сечения, называются центральными. Центр тяжести сечения лежит на оси симметрии сечения.

Если сечение имеет хотя бы две оси симметрии, то центр тяжести лежит на пересечении этих осей.

Для сложного сечения, состоящего из п простейших фигур, коор­динаты центра тяжести сечения определяются по формулам:

; . (4)

где и — координаты центров тяжести отдельных фигур сечения.

МОМЕНТЫ ИНЕРЦИИ СЕЧЕНИЯ

Моменты инерции сечения входят в формулы для напряжений и деформаций.

Осевыми моментами инерции сеченияотносительно осей и (рис. 3) называются определенные интегралы вида

. (5)

Центробежным моментом инерции сечения относительно двух взаимно перпендикулярных осей и называется определенный интеграл вида (рис. 3)

. (6)

Таблица 2

Форма сечения
				-	-	-
					-	-

Полярным моментом инерции сечения относительно начала координат 0 (рис. 3) называется определенный интеграл вида:

. (7)

где — расстояние от элементарной площадки dF до начала координат.

В табл. 2 приведены моменты инерции наиболее распространенных простейших сечений.

Пример 3. Определить относительно какой оси: или момент инерции прямоугольника (рис. 7), больше, если размеры прямоугольника b и h (h>b).

Рис. 7

Момент инерции относительно оси больше, чем момент относительно оси , так как точки сечения располагаются дальше от оси , чем от оси . Этот результат можно проверить, используя табл. 2

тогда

.

Пример 4. Какой момент инерции может принимать отрицательные значения?

Ответ:только .

Знак центробежного момента инерции сечения часто можно определить

по чертежу сечения (рис. 8).

Рис. 8

Согласно формуле (4.6)

Отсюда части площади, находящиеся в I и III квад­рантах, имеют положитель­ные центробежные моменты инерции, так как произведе­ния координат хи у элемен­тарных площадок dF, находя­щихся в этих квадрантах, да­ют положительные величины. Части площади, находящиеся во II и IV квадрантах, имеют отрицательные центробеж­ные моменты инерции.

Моменты инерции относительно параллельных осей, одни из которых центральные ( ),определяются из выражений

; ;

(8)

; ,

где а и b — координаты центра тяжести сечения О_с(рис. 9).

Координаты а и b необходимо подста­влять в формулы (8) с учетом их знаков.

Рис. 9

Пример 5. Используя табл. 2, определить момент инерции треугольника относительно оси X, про­ходящей через его вершину (рис. 10).

Рис. 10

По формуле (8)

.

Моменты инерции, входящие в формулы для определения прочности и жесткости конструкции, вычисляются относительно осей, которые являются не только центральными, но и главными. Чтобы определить, какие оси, проходящие через центр тяжести, являются главными, надо уметь определять моменты инерции относительно осей, повернутых относительно друг друга на некоторый угол.

Рис. 11

Зависимости между моментами инерции при повороте координатных осей (рис. 11) имеют вид

;

; (9)

;

,

где — угол между осями XOYи UOV.

Угол считается положительным, если поворот осей XOYпроисходит против часовой стрелки.

Главными осями инерции называются две взаимно перпендикулярные оси, относительно которых центробежный момент инерции сечения равен нулю.

Направление главных осей инерции определяется уравнением

. (10)

Главными моментами инерции называются осевые моменты ине­рции, вычисленные относительно главных осей инерции, которые имеют экстремальные значения

. (11)

Главные оси, проходящие через центр тяжести сечения, называются главными центральными осями, а моменты инерции относительно этих осей — главными центральными моментами ине­рции.

Ось симметрии плоского сечения является главной центральной осью инерции этого сечения.

Пример 6. Показать главные центральные оси сечения (рис. 12).

Рис. 12

Ответ: .

Если плоское сечение имеет хотя бы две оси симметрии, не перпендикулярные друг другу, то все оси, проходящие через центр тяжести этой фигуры, являются ее главными центральными осями инерции. Осевые моменты инер­ции площади сечения, вычислен­ные относительно этих осей, рав­ны между собой (рис. 13).

Рис. 13

Пример 7. Определить зна­чения главных центральных мо­ментов инерции сечения (рис. 14).

.

Рис. 14

Моменты инерции сложных сечений определяются по формулам:

, (12)

где , , , — моменты инерции отдельных фигур сечения.