Коэффициенты разложения нагрузки в ряд по синусам кратного аргумента.

УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ

Во многих приложениях приходится иметь дело с дифференциальным уравнением, которое в случае двух независимых переменных имеет вид

где А, В, С - функции от x и у. Особенно важен случай, когда f линейно относительно ω, ∂ω/∂x, ∂ω/∂y; в этом случае уравнение называется линейным.

Характеристиками уравнения называются интегральные кривые обыкновенного дифференциального уравнения

Могут иметь место три случая:

В²-АС>0 - уравнение имеет два семейства действительных характеристик и называется уравнением гиперболического типа;

В²-АС-0 - уравнение имеет одно семейство действительных характеристик и называется уравнением параболического типа;

В²-АС<0 - уравнение не имеет действительных характеристик и называется уравнением эллиптического типа.

Если общие интегралы дифференциального уравнения характеристик имеют вид φ(х, у)=u, ψ(x, y)=v, то, приняв u и v за новые независимые переменные, можно привести уравнение к каноническому виду:

для уравнения гиперболического типа

для уравнения параболического типа

для уравнения эллиптического типа

здесь

Особенно часто встречаются следующие частные случаи рассматриваемого здесь дифференциального уравнения второго порядка:

Уравнение распространения колебаний в однородной среде

Уравнение теплопроводности

Уравнение распространения электрического тока по проводу

Уравнение теории потенциала

(уравнение Пуассона). При ρ=0 это уравнение называется уравнением Лапласа, или гармоническим уравнением.

Часто приходится встречаться также с уравнениями более высоких порядков:

Уравнение поперечных колебаний балки

где q(x) - масса балки на единицу длины; I(х) - момент инерции поперечного сечения балки;

Уравнение изгиба пластинок

где q(x, у) - поверхностная нагрузка; D - цилиндрическая жесткость пластинки.

Уравнение плоской задачи теории упругости (бигармоническое уравнение)

Определяемая дифференциальным уравнением математической физики функция ω должна удовлетворять заданным условиям на границе области интегрирования Ω и в начальный момент времени; эти условия называются граничными и начальными условиями; им должно удовлетворять решение уравнения. Наиболее часто встречаются следующие начальные и граничные условия:

в начальный момент времени t=0 даны значения искомой функции ω(x, t) и ее производной по t:

на границе области Ω[x=x(s), y=y(s)] задана искомая функция ω(x, у):

или производная искомой функции по направлению нормали к границе:

При интегрировании линейных уравнений применяются следующие приемы.

Meтод Фурье(метод разделения переменных) используется для решения линейных уравнений всех трех вышеуказанных типов. Изложим его, обратившись к задаче о свободных колебаниях закрепленной на концах струны. Полагая, что струна расположена на оси X, имеем для прогиба струны ω(x, t) (t - время) уравнение гиперболического типа:

Нужно найти решение этого уравнения, удовлетворяющее граничным условиям ω(0, t)=ω(l, t)=0 (х=0, х=l - концевые точки струны) и начальным условиям где f(x), φ(х) - заданные функции. Метод Фурье состоит в следующем. Ищется частное решение уравнения колебаний в виде ω=X(x)T(t). При подстановке этого выражения в указанное уравнение переменные разделяются, т. е. приходим к уравнению

где с - постоянная. Нетривиальное решение, удовлетворяющее граничным условиям, получается лишь при с=-k²(k≠0). Тогда

Отсюда

Из граничных условий следует A₁=0, k= (n= 1, 2, ...). Таким образом, получается частное решение уравнения колебаний

удовлетворяющее при любых значениях констант а_n, b_n граничным условиям. Поскольку уравнение колебаний линейно и однородно, его решением будет также ряд

(при условии, что его можно два раза почленно дифференцировать). Коэффициенты а_n, b_nнаходятся из начальных условий. Из них следует, что должны быть коэффициентами Фурье (см. 1.20.1) соответственно для функций f(x), φ(x) при их разложении в ряды по синусам, т. е.

Отметим, что это получено решение для однородных граничных условий однородного уравнения о колебании струны. А начальные условия здесь были неоднородные. Однородность в данном случае означает равенство 0. В случае с неоднородными уравнениями и граничными условиями, как правило прибегают к так называемому методу вариации произвольных постоянных.

Рассмотрим задачу о поперечном прогибе пластинки (рисунки 1-2). Схема равновесия ее элемента показана на рисунке 1.

Рисунок 1. Схема равновесия элемента пластинки.

Размеры пластин в направлении осей ох и оу обозначим буквами а и b соответственно, а толщину пластины - буквой h (рис.2).

Рисунок.2 Схема задачи.

Дифференциальное уравнение изгиба абсолютно жестких пластин.

(1)

Уравнение (1) представляет дифференциальное уравнение в частных производных с постоянными коэффициентами.

Здесь - цилиндрическая жесткость пластин; q – нормальное давление на пластинку; Е – модуль Юнга; μ- коэффициент Пуассона; h – толщина пластинки.

Пусть кромки х = 0 и х = а свободно оперты. Будем искать решение в виде (2).

(2)

Дифференциальное уравнение, определяющее функции f_m (у).

(3)

Обыкновенное линейное дифференциальное уравнение четвертого порядка с постоянными коэффициентами.

Общий интеграл дифференциального уравнения функции f_m (у).

(4)

где (у) - частное решение дифференциального уравнения (1).

Входящие в выражение постоянные интегрирования должны быть определены из условий закрепления опорных кромок пластины у=0 и у=b .

Изгиб пластины свободно опертой по всем четырем кромкам и загруженной равномерно распределенным давлением. Расчётная схема (рис.3).

Рис.3

Коэффициенты разложения нагрузки в ряд по синусам кратного аргумента.

(10)

При m=1,3,5….

Рассмотрим пластину постоянной толщины h, опертую на жесткий прямоугольный контур, у которого один в плане значительно больше другого (рис.4).

Рисунок 4. Схема задачи.

Общий интеграл дифференциального уравнения, определяющего функцию f_m (у) (10) Выражение для прогиба пластины, свободно опертой по всем четырем кромкам и загруженной равномерно распределенным давлением (13).

(13)

m=1,3,5...

Постоянные А_m и D_m, должны быть определены из граничных условий для функций f_m (у) при у = . По сравнению с выражением (10) здесь коэффициенты В и С приняты равными 0 на основании свойств симметрии искомого решения относительно оси у=0.

Для производной f_m (у) имеем :

Сложим и вычтем эти два выражения друг из друга. Получим:

; ;

Запишем полное выражение для прогиба пластинки.

(13)