Мажоритарный элемент: схемная реализация на базовых логич. элементах.

Понятие логической переменной и логической функции. Основные логические соотношения и операции над одной и двумя переменными. Закон Де Моргана.

В 1847 году математик Дж. Буль создает алгебру двоичных переменных. Переменная в данной системе может принимать значение утверждения либо отрицания (да и нет, true и false, 1 и 0). Переменная принадлежит множеству из 0 и 1 (xÎ{0;1}). Переменных может быть задано неограниченное количество (x₁,x₂,x₃ и т.д.). При этом функция будет принимать значения только 0 и 1 (yÎ{0;1}). Функция может быть задана эвристически (словесно), при помощи таблицы истинности и аналитически.

Для одной переменной можно задать 4 функции, при этом таблица истинности будет иметь следующий вид:

Для n переменных можно задать 2ⁿ функций.

Функции Y1 и Y4 не представляют интереса, так как являются генераторами логических уровней, функция Y2 называется повторителем и записывается Y2=X, а функция Y3 – инвертором, и записывается .

Для двух переменных соответственно можно записать шестнадцать функций.

		X1	X2	Y1	Y2	Y7	Y8	Y15	Y16
1	1	0	0	0	0	0	1	1	1
1	0	0	1	0	0	1	0	1	1
0	1	1	0	0	0	1	0	1	1
0	0	1	1	0	1	1	0	0	1

Нетрудно заметить, что таблица истинности симметрична относительно центра. То есть

и т.д.

Рассмотрим функцию Y2, такая функция называется «И» - конъюнкция (объединение). Такая функция записывается Y2=X1×X2. Функция Y15 инверсна функции Y2,называется «И–НЕ» и записывается .

Рисунок 1 – Элементы «И» и «И–НЕ»

Функция Y7 обозначается «ИЛИ» и называется функцией дизъюнкции (разъединения).

Функция дизъюнкции записывается Y7=X1+X2. Этой функции инверсна функция Y8, которая записывается , и называется функцией «ИЛИ–НЕ».

Рисунок 2 – Элементы «ИЛИ» и «ИЛИ–НЕ»

Закон де Моргана: Инверсия конъюнкций равна дизъюнкции инверсий. Четыре формы записи закона де Моргана:

Правила и законы Булевой алгебры

Закон де Моргана: Инверсия конъюнкций равна дизъюнкции инверсий. Четыре формы записи закона де Моргана:

	И	ИЛИ
Повторение	X×X=X	X+X=X
	0×X=0 1×X=X	0+X=X 1+X=1
Отрицание
Коммутативный закон	X1×X2=X2×X1	X1+X2=X2+X1
Ассоциативный закон	X1×X2×X3=X1×(X2×X3)	X1+X2+X3=X1+(X2+X3)
Склеивание	(X1+X2)×(X1+ )=X1	X1×X2+X1× =X1
Поглощение	X1×(X1+X2)=X1	X1+X1×X2=X1
Дистрибутивный закон	X1×(X2+X3)=X1×X2+X1×X3	X1+X2×X3=(X1+X2)×(X1+X3)

Докажем некоторые из этих соотношений:

Реализация основных логических операций И, ИЛИ, НЕ на базе логических элементов И-НЕ, ИЛИ-НЕ.

Элементы «2И–НЕ» и «2ИЛИ–НЕ» называются базовыми логическими элементами. Используя перечисленные элементы можно создать любое устройство.

Правило записи переключательной функции по таблице истинности

Рассмотрим для примера таблицу истинности элемента «ИЛИ».

Общее правило формулируется так:

1 Выделяют строки, в которых Y принимает единичное значение.

2 Для каждой из выделенных строк составляют минтерм – частное произведение всех входных переменных или их отрицаний. Причем X_i входит в минтерм без знака инверсии, если в выделенной строке X_i=1 и со знаком инверсии в противном случае.

3 Составляют логическую сумму всех полученных минтермов и получают совершенную дизъюнктивно нормальную форму записи переключательной функции.

4 Осуществляют минимизацию одним из известных методов и получают минимизированную дизъюнктивно-нормальную форму записи переключательной функции. Схемотехнической реализации подлежит только МНДФ.

Замечание: если число строк, в которых функция принимает нулевое значение больше, чем число, в которых функция принимает единичное значение, то можно найти инверсное значение переключательной функции, пользуясь тем же правилом.

Минимизация полученных переключательных функций проводится при помощи карт Вейча или диаграмм Карно.

Комбинационные логические схемы.

Комбинационные логические схемы – схемы, выходной сигнал которых в рассматриваемый момент времени зависит от комбинации входных сигналов в этот момент времени.

8. Логический элемент ИСКЛЮЧАЮЩЕЕ ИЛИ: схемная реализация на базовых логических элементах.

x₁

x₁

y y

x₂ x₂

x₁

x₂

y

Мажоритарный элемент: схемная реализация на базовых логич. элементах.

Для достоверности передачи и воспроизведения информации часто применяют метод дублирования каналов, при этом на приемной стороне решением о том, какой символ был передан, принимается методом голосования (количество каналов должно быть нечетным).

x₁

x₂

x₁*x₂

x₃ x₂*x₃ y

x₁*x₃

x₁

x₂

x₃ y

x₁ 1 x₁

x₂ y x₁ y`=x<sub>1</sub>+x<sub>2</sub> x<sub>2</sub> y`=x₁*x₂

x₃ x₃ 0

10. Цифровой компаратор: таблица переключений, схемная реализация.

Устройство, предназначенное для сравнения двух кодов, и позволяющее сформировать три сигнала (a=b, a<b, a>b) называется компаратор.

Рисунок – Схема и условное изображение компаратора

Сравнение двух многоразрядных чисел начинают с самого старшего разряда. К сравнению более младших приступают только в том случае, если коды в старших разрядах совпадают. Для наращивания разрядности сравниваемых кодов в стандартных n-разрядных схемах предусматриваются одноименные входы (=, <, >) соединяемые с соответствующими выходами более старших схем сравнения.