РОЗВ’ЯЗАННЯ ПОКАЗНИКОВИХ І ЛОГАРИФМІЧНИХ РІВНЯНЬ

Вправи

1. Розв'язати показникові рівняння:

1. = 2;
2. = 49;

1. = ;
2. 25 = 1;
3. 3 = 3;
4. 0,2 = 0, 008;
5. 0,2 = 125;
6. = 8;
7. 2 = ;
8. 5 = ;
9. 9 = 3;
10. = 4;
11. = 27;
12. = 3;
13. = 1;
14. 81 = 3;
15. 2 = 4;
16. = ;
17. = ;
18. 15 = 1;
19. 2 = -2;
20. 5 = 125;
21. = ;
22. = ;
23. 5 = 5 ;
24. 7 = 7 ;
25. 2 = 4;
26. 0,5 = 0,125;
27. = ;
28. 2 - 2 = 0;
29. 3 -1 = 0;
30. 3 3 = 81;
31. 2 2 = 32;
32. 3 = 9.

*2. Розв'язати показникові рівняння:

1. 3^х · 5^2х-3 = 45;

2. 2^х · 3^х+1 = 108;

3. = ;

4. = ;

5. = ;

1. = ;

7.

8.

9.

10.

11.

12. 5 · 9 + 9 = 406;

13. 5 + 4 · 5 - 5 = 0;

14. 6 + 5 · 6 - 6 = 0;

15. 3 - 2 · 3 = 3;

16. - = 3;

17. - = 2;

18. 49 - 6 · 7 - 7 = 0;

19. 64 - 7 · 8 - 8 = 0;

1. + = 5;
2. + = 10;
3. + = 80;
4. = ;
5. - = -
6. + = + ;
7. = 0;
8. = ;
9. = 0;
10. = 0;
11. = 0.

Тема. Розв’язання показникових нерівностей

План

1. Графік показникової функції.

2. Схема рівносильних перетворень найпростіших показових нерівностей.

 

1. Графік показникової функції у = , де і .
зростає	спадає
2. Схема рівносильних перетворень найпростіших показових нерівностей
> f(x) > g(x) знак нерівності зберігається	> f(x) < g(x) знак нерівності змінюється на протилежний
Приклади
Функція у = є зростаюча, отже: х – 3 > 2, х > 5. Відповідь: (5; + ).	Функція в = є спадною, отже: . Відповідь: (- ; 5)
3. Розв’язання більш складних показникових нерівностей
Орієнтир	Приклад
За допомогою рівносильних перетворень ( за схемою розв’язання показникових рівнянь) дану нерівність приводять до нерівності відомого виду (квадратному, дробовому і т.д.). Після розв’язання отриманої нерівності приходимо до найпростіших показникових нерівностей	Заміна дає нерівність , розв’язання якого або     Обернена заміна дає (розв’язаннь немає) або , звідки Відповідь: (-2; + ).

 

Вправи

1. Розв'язати нерівність

1)

2)

3)

4) ;

5) ;

6) ;

7)

8) ;

9)* .

Тема. Поняття логарифма числа. Властивості логарифмів

План

1. Логарифм числа.

2. Основна логарифмічна тотожність.

3. Властивості логарифмів.

 

1. Логарифм числа
Визначення	Приклади
Логарифмом додатного числа b за основою a (a > 0, ) називається показник степеня, в який потрібно піднести a, щоб одержати число b. Позначення: loga b	1) log4 16 = 2, оскільки 42 = 16; 2) log7 = , тому що = ; 3) lg 1000 = 3, оскільки 103 = 1000
Десятковий логарифм – це логарифм за основою 10. Позначення: log10 b = lg b
Натуральний логарифм – це логарифм за основою е (е – ірраціональне число, наближене значення якого: е 2,7). Позначення: logе b = ln b	4) ln = - 2, тому що е-2 =
2. Основна логарифмічна тотожність
a > 0, , b > 0	1) ; 2) .
Властивості логарифмів і формули логарифмування (a > 0, , х > 0, в > 0)
1)	Логарифм одиниці за будь-якою основою дорівнює нулю
2)	Логарифм числа a за основою a дорівнює одиниці
3)	Логарифм добутку додатних чисел дорівнює сумі логарифмів множників.
4)	Логарифм частки додатних чисел дорівнює різниці логарифмів діленого й дільника
5)	Логарифм степеня додатного числа дорівнює добутку показника степеня на логарифм основи
4. Формула перехід до логарифмів з іншою підставою
(a > 0, , х > 0, b > 0, )
Наслідки

 

Вправи

1.Перевірте, чи вірна рівність:

1) = 4;

2) = 3;

3) ;

4) ;

5) ;

6) = 3.

2.Обчислити:

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) ;

6) .

3. Користуючись основною логарифмічною тотожністю, спростити вираз:

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) .

4. Прологарифмуйте даний вираз за даною основою, якщо :

1) 10a³c⁴ за основою 10;

2) за основою 10;

3) за основою е;

4) за основою 3.

5. Відомо, що , . Виразити через a і b:

1) ;

2) ;

3) ;

4) .

6. Знайдіть х, якщо:

1) ;

2) ;

3) ;

4) .

Тема. Логарифмічна функція, її властивості й графік

План

1. Логарифмічна функція.

2. Графік логарифмічної функції.

3. Властивості логарифмічної функції.

1. Поняття логарифмічної функції
Логарифмічною функцією називається функція виду у = loga x, .
2. Графік логарифмічної функції
Функції у = і у = loga x ( ) – взаємно обернені функції, тому їх графіки симетричні відносно прямою у = х.
3. Властивості логарифмічної функції
1) Область визначення: D(у) = (0; + )
2) Область значень: Е(у) = (- ; + )
3) Функція ні парна, ні непарна
4) Точки перетину з осями координат: с віссю Оу – немає з віссю Ох: х = 1, у = 0
5) Проміжки зростання та спадання:
функція в = loga x при зростає на всій області визначення	функція в = loga x при спадає на всій області визначення
6) Проміжки знакосталості
в = loga x > 0 при x > 1, в = loga x < 0 при 0 < x < 1	в = loga x > 0 при 0 < x < 1, в = loga x < 0 при x > 1
7) Найбільшого та найменшого значень функціїї не має
8) loga a = 1 loga (uv) = loga u + loga v (u > 0, v > 0) loga = loga u - loga v (u > 0, v > 0) loga un = n loga u =

 

Вправи

1. Знайдіть область визначення функції:

1) у = log₁₁ (2х + 6);

2) у = ;

3) у = ;

4) у = ;

5) у = .

2. Зобразити схематично графік функції:

1) у = ;

2) у = ;

3) у = ;

4) у = ;

5) у = ;

6) у = ;

7) у = ;

8) у = ;

9) у = ;

10) у = ;

11) у = .

3. Порівняйте числа:

1) і ;

2) і ;

3) і ;

4) і ;

5) і 0;

6) і 1.

Тема. Розв’язання логарифмічних рівнянь

План

1. Розв’язання найпростіших логарифмічних рівнянь.

2. Використання рівнянь - наслідків.

3. Рівносильні перетворення логарифмічних рівнянь.

 

1. Розв’язання найпростіших логарифмічних рівнянь
Орієнтир	Приклад
Якщо а – число ( ), то (використовуємо визначення логарифма)	х – 1 = 32, х = 9 + 1, х = 10. Відповідь: 10
2. Використання рівнянь - наслідків
Орієнтир	Приклад
Якщо із припущення, що перша рівність вірна, випливає, що кожне наступне вірно, те гарантуємо, що одержуємо рівняння-наслідок. При використанні рівнянь – наслідків не відбувається втрати коренів вихідного рівняння, але можлива поява стороннього кореня. Тому перевірка отриманого кореня підстановкою у початкове рівняння є складовою частиною розв’язання.	За визначенням логарифма одержуємо х + 2 = х2, х2 – х – 2 = 0, х1 = -1, х2 = 2. Перевірка: х = -1 – сторонній корінь (в основі логарифма одержуємо від’ємне число); х = 2 – корінь, тому що Відповідь: 2
3. Рівносильні перетворення логарифмічних рівнянь
Заміна змінних
Орієнтир	Приклад
Якщо в рівняння (нерівність або тотожність) змінна входить у тому самому виді, то зручно відповідний вираз зі змінною позначити однієї буквою (новою змінною).	. Заміна: , , . Отже, або . Тоді х = 10-1 = 0,1 або х = 103 = 1000. Відповідь: 0,1; 1000.
Рівняння виду ( )
Орієнтир	Приклад
(враховуємо ОДЗ і дорівнюємо вирази, які стоять під знаками логарифмів)	ОДЗ: На цій ОДЗ дане рівняння рівносильне рівнянням: х2 – 2 = 4х – 5, х2 – 4х + 3 = 0, х1 = 1, х2 = 3, х1 = 1 – сторонній корінь (не задовольняє умовам ОДЗ); х2 = 3 – корінь (задовольняє умовам ОДЗ). Відповідь: 3
Рівносильні перетворення рівнянь в інших випадках
Орієнтир	Приклад
1. Ураховуємо ОДЗ даного рівняння ( і уникаємо перетворень, що приводять до звуження ОДЗ); 2. Стежимо за тим, щоб на ОДЗ кожне перетворення можна було виконати як у прямому, так і у зворотному напрямках зі збереженням вірної рівності	ОДЗ: На цій ОДЗ дане рівняння рівносильне рівнянням: , , , , х1 = 1, х2 = -5, х1 = 1 – корінь (задовольняє умовам ОДЗ); х2 = -5 – сторонній корінь (не задовольняє умовам ОДЗ). Відповідь: 1.

 

Вправи

 

1. Розв'язати рівняння:

 

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) ;

6) ;

7) ;

8) ;

9) ;

10) ;

11) ;

12) .

 

Додаткові вправи

РОЗВ’ЯЗАННЯ ПОКАЗНИКОВИХ І ЛОГАРИФМІЧНИХ РІВНЯНЬ

1. Розв'язати показникове рівняння:

4х = 64 = 27 3х = 81 = = 225 = 36 (0,25) 2-х = =

1. = 2. = 3. = 4.3х = 19х

1.7х+2 + 4*7х+1 = 539 2. = 4 3.3х + 3х+1 = 108 4.4х+1 +4х = 320 5.2*3х+1 – 3х = 15 6.3*5х+3 + 2*5х+1 = 77 7.3х+1 2*3х-2 = 75

2. Розв'язати логарифмічне рівняння:

1. = 2 2. = -1 3. = - 4. = 2 5. = - 2 6. = 1 7. = 0 9. = 3

1. = x 2. = 3. = 0 4. = 5. = 0 6.

1. 2. 3. log (x+3) – log (x-1) = 2 - log 8 4. =

Тема. Розв’язання логарифмічних нерівностей

План

1. Графік функції у = log_a x, .

2. Рівносильні перетворення найпростіших логарифмічних нерівностей.

 

1. Графік функції у = loga x, .
зростає	спадає
2. Рівносильні перетворення найпростіших логарифмічних нерівностей
Знак нерівності не змінюється, і враховується ОДЗ	Знак нерівності змінюється, і враховується ОДЗ
Приклади
. ОДЗ: x – 5 > 0, тобто х > 5. Функція у = зростаюча, тоді х - 5 > 23, х > 13. Враховуючи ОДЗ, маємо х > 13. Відповідь: (13; + ).	. ОДЗ: x – 5 > 0, тобто х > 5. Функція в = спадна, тоді х - 5 < , х < 5 . Враховуючи ОДЗ, маємо 5 < х < 5 . Відповідь: (5; 5 ).
3. Розв’язання більш складних логарифмічних нерівностей
Орієнтир	Приклад
І. За допомогою рівносильних перетворень дану нерівність приводять до нерівності відомого виду. Схема рівносильних перетворень нерівності: 1. Ураховуємо ОДЗ заданої нерівності (і уникаємо перетворень, що приходять до звуження ОДЗ). 2. Стежимо за тим, щоб на ОДЗ кожне перетворення можна було виконати як у прямому, так і у зворотному напрямках із збереженням вірної нерівності	ОДЗ: x > 0. На цій ОДЗ дана нерівність рівносильна нерівностям: , . Заміна: . Тоді , тобто . Рішення цієї нерівності або     Обернена заміна дає або . Тоді або . Враховуючи, що функція у = lg x є зростаючої, одержуємо: або . За ОДЗ маємо: 0 < x 0,01 або . Відповідь: .
ІІ. Застосовується загальний метод інтервалів (дана нерівність приводиться до нерівності , ) і використовується схема: 1. Знайти ОДЗ; 2. Знайти нулі ; 3. Відзначити нулі функції на ОДЗ і знайти знак на кожному з проміжків, на які розбивається ОДЗ; 4. Записати відповідь, враховуючи знак нерівності.	Розв'яжемо нерівність методом інтервалів. Воно рівносильне нерівності . Позначимо . 1. ОДЗ: тобто   2. Нулі функції: . . Тоді . На ОДЗ це рівняння рівносильне рівнянню 2х + 3 = х2 (отриманому за означенням логарифма). Тобто х2 - 2х - 3 = 0, х1 = -1, х2 = 3. В ОДЗ входить тільки х = 3. Отже, має єдиний нуль функції х = 3. 3. Відзначаємо нулі функції на ОДЗ, знаходимо знак на кожному з проміжків, на які розбивається ОДЗ, і записуємо рішення нерівності .   Відповідь: х (0; 1) (3; + )

Вправи

Розв'язати нерівність

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) ;

6) ;

7) ;

8) ;

9) ;

10) ;

11) ;

12) .

 

 

---