Правила оформления контрольной работы

Методические рекомендации

по выполнению домашней контрольной работы для студентов 3 курса заочного отделения по дисциплине «Математика»

Тула 2009

Составитель:

Преподаватель ФГОУ СПО «Тульский колледж профессиональных технологий и сервиса»

Горина Галина Васильевна

Методические рекомендации

по выполнению домашней контрольной работы для студентов 3 курса заочного отделения по дисциплине «Математика»

Согласно учебному плану, в процессе изучения курса математики студент-заочник должен выполнить домашнюю контрольную работу. Рецензия преподавателя на эту работу позволяет студенту судить о степени усвоения им соответствующих разделов курса; указывает на имеющиеся у него пробелы, на желательное направление дальнейшей работы; помогает сформулировать вопросы для постановки их перед преподавателем.

Не следует приступать к выполнению контрольного задания, не решив достаточного количества задач по материалу, соответствующему этому заданию. Опыт показывает, что чаще всего неумение решить ту или иную задачу контрольного задания вызывается тем, что студент не выполнил это требование.

Прорецензированные контрольные работы вместе со всеми исправлениями и дополнениями, сделанными по требованию рецензента, следует сохранять. Без предъявления прорецензированных контрольных работ студент не допускается к сдаче зачета или экзамена.

Решение задач

1. Чтение учебника должно сопровождаться решением задач, для чего рекомендуется завести специальную тетрадь.

2. При решении задач нужно обосновать каждый этап решения, исходя из теоретических положений курса. Если студент видит несколько путей решения, то он должен сравнить их и выбрать самый лучший. Полезно до начала вычислений составить краткий план решения.

3. Решения задач и примеров следует излагать подробно, вычисления располагать в строгом порядке, отделяя вспомогательные вычисления от основных. Чертежи можно выполнять от руки, но аккуратно и в соответствии с данными условиями.

4. Решение каждой задачи должно доводиться до ответа, требуемого условием. В промежуточных вычислениях не следует вводить приближенные значения корней, чисел π, е и т.п.

5. Полученные ответы следует проверять. Полезно также, если возможно, решить задачу несколькими способами и сравнить полученные результаты.

6. Решение задач определенного типа нужно продолжать до приобретения твердых навыков в их решении.

Примеры решения задач

Тема 1. Последовательности.

 

Задача 1. Выпишите первые шесть членов последовательности , заданной формулой п-го члена: .

 

Решение: Для нахождения любого члена последовательности необходимо вместо индекса п подставить его номер (в нашем случае – числа 1, 2, 3, 4, 5 и 6) и выполнить необходимые вычисления. Получим: а₁ = 1³ – 2¹ + 1 = 0; а₂ = 2³ – 2² + 1 = 5; а₃ = 3³ – 2³ + 1 = 20; а₄ = 4³ – 2⁴ + 1 = 49; а₅ = 5³ – 2⁵ + 1 = 94; а₆ = 6³ – 2⁶ + 1 = 153.

 

Задача 2. Выпишите первые семь членов последовательности , если , и для всех п выполняется равенство: .

 

Решение: Данная последовательность задана рекуррентным соотношением. Члены а_п, а_п+1, а_п+2 – последовательные. 1) а_п = а₁ = 2,

а_п+1 = а₂ = 3, тогда а_п+2 = а₃ = 3·2 − 2·3 = 0. 2) Теперь а_п = а₂ = 3, а_п+1 = а₃ = 0; значит, а_п+2 = а₄ = 3·3 – 2·0 = 9. 3) а₅ = 3·0 – 2·9 = −18;

а₆ = 3·9 – 2·(−18) = 27 + 36 = 63; а₇ = 3·(−18) – 2·63 = −54 – 126 = −180.

 

Задача 3. Найдите первый отрицательный член арифметической прогрессии: 12,5; 11,2; … .

 

Решение: 1 способ. Найдем разность заданной прогрессии, пользуясь формулой: .

d = 11,2 – 12,5 = −1,3. Теперь воспользуемся формулой, вытекающей из определения арифметической прогрессии:

а_п+1 = а_п + d, и будем выписывать все последующие члены до тех пор, пока не дойдем до первого отрицательного:

а₃ = 11,2 + (−1,3) = 11,2 – 1,3 = 9,9;

а₄ = 9,9 – 1,3 = 8,6; а₅ = 8,6 – 1,3 = 7,3 и т.д. Получим:

12,5; 11,2; 9,9; 8,6;..; 7,3; 6; 4,7; 3,4; 2,1; 0,8; −0,5; … .Нетрудно подсчитать, что первый отрицательный член стоит на одиннадцатом месте.

Замечание. Данный способ решения уместен, если нужный член находится достаточно быстро, а производимые вычисления не громоздки. В остальных случаях используют алгебраический способ с применением формулы п-го члена.

2 способ. d = 11,2 – 12,5 = −1,3. Обозначим искомый член последовательности а_п (так как мы не знаем его номера) и воспользуемся формулой п-го члена арифметической прогрессии: . а_п = 12,5 + (п – 1)·(−1,3). Так как а_п по условию отрицателен, необходимо решить линейное неравенство

12,5 + (п – 1)·(−1,3) < 0 относительно переменной п.

12,5 – 1,3п + 1,3 <0; 12,5 +1,3 < 1,3п; 1,3п > 13,8; п > 13,8 : 1,3; п > 10,6… .

Таким образом, первое натуральное число, следующее за числом 10,6…, – 11. Значит, первый отрицательный член данной арифметической прогрессии стоит на одиннадцатом месте. Найдем его:

а₁₁ = а₁ + 10d; а₁₁ = 12,5 + 10·(−1,3) = 12,5 – 13 = −0,5.

 

Задача 4. Найдите сумму всех натуральных чисел от 1 до 200 включительно.

 

Решение: Последовательность натуральных чисел является арифметической прогрессией, у которой а₁ = 1, d = 1. Воспользуемся формулой: . Для нашей задачи п = 200, а_п = а₂₀₀, поэтому она будет выглядеть так: или . Подставляя известные данные, получим:
S₂₀₀ = (1+200) ·100 = 201·100 = 20100.

 

 

Тема 2. Предел функции.

 

Задача 5. Вычислите предел функции:

 

Решение: При непосредственной подстановке числа 1 вместо переменной х получаем неопределенное выражение вида В этом случае необходимо сократить дробь на множитель, стремящийся к нулю. Для этого в числителе вынесем за скобки общий множитель х, а знаменатель представим в виде произведения по формуле разложения на множители квадратного трехчлена. Получим: .

 

Задача 6. Вычислите предел функции: .

 

Решение: При непосредственной подстановке нуля вместо переменной х мы снова получим неопределенность вида В этом случае необходимо домножить числитель и знаменатель дроби на выражение, сопряженное числителю, т.е. на сумму . Получим: .

 

Задача 7. Вычислите предел: .

 

Решение: И в этом случае после подстановки получаем неопределенность вида Используя первый замечательный предел, а также тот факт, что функции sin7x и 7х являются эквивалентными бесконечно малыми величинами при х→0, запишем: .

 

Задача 8. Вычислите предел: .

 

Решение: А здесь получается другая неопределенность − . По правилу раскрытия неопределенности данного вида необходимо разделить числитель и знаменатель дроби на переменную в наибольшей из имеющихся степеней, в нашем случае – на х³. Выполняем преобразования: = .

Тема 3. Производная и дифференциал.

 

Задача 9. Продифференцируйте функцию .

 

Решение: Данная функция является сложной вида , где . Согласно правилу дифференцирования сложной функции, находим: .

 

Задача 10. Вычислите приближенно .

 

Решение: Воспользуемся формулой для приближенных вычислений: . Так как 46 = 45 + 1, то в нашем примере

х₀ = 45, ∆х = 1; tg45° = 1. Чтобы воспользоваться приведенной выше формулой, угол нужно выразить в радианах: х=π/4 и dx = ∆х = 0,0175. Вычисляем дифференциал функции при заданных значениях:

. Следовательно, ∆у ≈ 0,0350. Теперь находим:

. Вычисления с помощью четырехзначных таблиц дают: tg 46° = 1,0355.

 

Задача 11. Вычислите приближенно .

 

Решение: В данном случае можно воспользоваться специальной упрощенной формулой, выведенной из общей: .

Вычисляем: .

 

Задача 12. Вычислите приближенно 2,005⁴.

 

Решение: Для такого рода приближенных вычислений существует другая упрощенная формула, также выведенная из общей:

. Воспользуемся ею:

 

 

Тема 4. Применения производной.

 

Задача 13. Найдите угол наклона касательной к кривой у = 2х³ + 4 в точке (1; 6).

 

Решение: Исходя из геометрического смысла производной, угловой коэффициент касательной (или тангенс угла ее наклона к положительному направлению оси Ох) – это производная функции в точке касания. Получаем: . Таким образом, tg α = 6. Угол наклона находим в четырехзначных таблицах Брадиса: α ≈ 80° 32′.

 

Задача 14. Напишите уравнение касательной, проведенной к графику функции у = х² – 3х в точке с абсциссой х₀ = 2.

 

Решение: Уравнение касательной имеет вид:

у = f(x₀) + f′(x₀)(x – x₀).

1) f(x₀) = 2² − 3·2 = −2; 2) f′(x) = 2x – 3;

3) f′(x₀) = f′(2) = 1.

Уравнение касательной: у = −2 + 1·(х – 2); у = х – 4.

 

Задача 15. Исследуйте функцию f(x) = x³ – 3x² на возрастание, убывание и экстремумы.

 

Решение: , т.к. f – многочлен. Найдем производную функции: f′(x) = 3х² – 6х. Найдем критические точки функции (по определению, критическими точками функции называются внутренние точки области ее определения, в которых производная равна нулю или не существует). Точек, в которых производная не существует, нет, поэтому вычислим те, в которых она равна нулю. Решаем уравнение:

3х² – 6х = 0; 3х(х – 2) = 0; отсюда х = 0 или х = 2.

 

	f

 

 

Определим знаки производной на полученных интервалах.

(−∞ ; 0]: f′(−1) = 3(−1)² – 6(−1) = 3 + 6 = 9; 9 > 0;

[0; 2]: f′(1) = 3·1² − 6·1 = − 3; − 3 < 0;

[2; +∞): f′(3) = 3·3² − 6·3 = 27 – 18 = 9; 9 > 0.

Функция возрастает на интервалах (−∞ ; 0] и

[2; +∞); убывает на интервале [0; 2].

Точки экстремумов: х_max = 0, x_min = 2.

Экстремумы: f_max = f(0) = 0³ − 3·0² = 0,

f_min = f(2) = 2³ − 3·2² = −4.

 

Задача 16. Исследуйте кривую у = х³ – 6х² + 4 на выпуклость, вогнутость и точки перегиба.

 

−

Решение: D(y) = R, т.к. у – многочлен. Для выполнения задания необходимо найти вторую производную функции и использовать правило дождя: .

у′ = 3х² – 12х; у" = 6х – 12.

Из уравнения 6х – 12 = 0 находим х = 2.

 

 

Вывод: на интервале (−∞ ; 2] график функции выпуклый, а на интервале [2; +∞) – вогнутый; в точке х = 2 – перегиб.

 

Задача 17. Точка движется прямолинейно по закону S(t) = 2t³ + t² – 4. Найдите ее скорость и ускорение в момент времени t = 3.

 

Решение: Из механического смысла производной следует, что скорость точки – это производная от ее перемещения, а ускорение – производная от скорости или вторая производная от перемещения, т.е.

v(t) = S′(t), a(t) = v′(t) = S"(t). Находим: v(t) = (2t³ + t² – 4)′ = 6t²+ 2t,

v(3) = 6·3² + 2·3 = 60, a(t) = (6t²+ 2t)′ = 12t + 2; a(3) = 12·3 + 2 = 38.

 

 

Тема 5. Неопределенный интеграл.

 

Задача 18. Вычислите неопределенный интеграл: .

 

Решение: Произведем почленное деление и используем таблицу простейших интегралов.

=

=

 

Задача 19. Вычислите неопределенный интеграл .

 

Решение: Применим способ подстановки.

 

Задача 20. Вычислите неопределенный интеграл, используя способ интегрирования по частям: .

 

Решение: Формула интегрирования по частям: .

Пусть и = х, dv = e^xdx, тогда du = dx, v = e^x. Вычисляем:

 

 

Тема 6. Определенный интеграл и его приложения

Задача 21. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями ху = 6 и х + у – 7 = 0.

 

Решение: Изобразим фигуру, площадь которой нужно найти.

Найдем абсциссы точек пересечения равносторонней гиперболы и прямой, для чего решим систему уравнений:

Имеем: х(7 – х) = 6; 7х – х² = 6; х² – 7х + 6 = 0, откуда х₁ = 6, х₂ = 1. Таким образом, a = 1, b = 6. Теперь применим формулу:

. В нашем случае .

=

= .

 

 

Тема 7. Простейшие дифференциальные уравнения

Задача 22. Решите дифференциальное уравнение:

 

Решение: Это уравнение с разделенными переменными, так как соответствует его общему виду

Интегрируя данное уравнение, получаем: , откуда или . Выразив у из уравнения, получим окончательный ответ: . Заметим, что ответ можно было оставить в виде:

 

Задача 23. Найти все решения дифференциального уравнения .

 

Решение: Очевидно, что у = 0 не является решением данного уравнения, поэтому мы можем разделить обе его части на у². Получаем: и, следовательно, после интегрирования . Выражая их данного равенства у, получаем окончательный ответ (общее решение данного уравнения): , где С – произвольная постоянная.

 

 

Тема 8. Элементы линейной алгебры

 

Задача 24. Найти линейную комбинацию матриц .

 

Решение:

1)

2) Чтобы умножить матрицу на некоторое число, нужно умножить на это число каждый элемент матрицы. Выполняем умножение:

.

3) Чтобы сложить две матрицы, необходимо сложить их соответствующие элементы. Получаем:

.

Это и есть матрица, являющаяся линейной комбинацией исходных матриц.

 

Задача 25. Выполнить умножение матриц

и .

 

Решение: На умножении матриц остановимся подробнее.

Пусть даны матрицы

А = и В = .

Матрица С = называется произведением матриц А и В, если ее элементы находятся по следующему правилу:

 

Первая строка:

1. (каждый элемент первой строки матрицы А умножается на соответствующий элемент первого столбца матрицы В и полученные произведения складываются);
2. (каждый элемент первой строки матрицы А умножается на соответствующий элемент второго столбца матрицы Ви полученные произведения складываются);
3. (каждый элемент первой строки матрицы А умножается на соответствующий элемент третьего столбца матрицы В и полученные произведения складываются);
4. И так далее (первая строка матрицы А умножается последовательно на столбцы матрицы В), пока не закончатся столбцы.

Вторая строка:

1. (каждый элемент второй строки матрицы Аумножается на соответствующий элемент первого столбца матрицы Ви полученные произведения складываются);
2. (каждый элемент второй строки матрицы А умножается на соответствующий элемент второго столбца матрицы Ви полученные произведения складываются);
3. (каждый элемент второй строки матрицы А умножается на соответствующий элемент третьего столбца матрицы В и полученные произведения складываются);
4. И так далее (вторая строка матрицы Аумножается последовательно на столбцы матрицы В), пока не закончатся столбцы.

Третья строка (и все последующие) находятся аналогично.

Вывод: Умножаемые матрицы могут быть разного размера, важно только, чтобы количество столбцов первой матрицы было равно количеству строк второй матрицы: .

 

А теперь выполним умножение заданных матриц:

 

Попробуйте выполнить еще одно умножение и проверьте себя:

.

 

Правила оформления контрольной работы

1. Контрольная работа должна быть выполнена в отдельной тетради в клетку чернилами любого цвета, кроме красного. Необходимо оставить поля шириной 3 – 4 см для замечаний рецензента.

2. В заголовке работы на обложке тетради должны быть ясно написаны фамилия студента, его инициалы, шифр, название дисциплины; здесь же следует указать название учебного заведения, дату сдачи контрольной работы и адрес студента. В конце работы следует поставить дату выполнения работы и расписаться.

3. В работу должны быть включены все задачи, указанные в задании, строго по положенному варианту и по порядку. Контрольная работа, содержащая не все задачи задания, а также задачи не своего варианта, не засчитывается.

4. Перед решением каждой задачи надо полностью выписать ее условие. Каждое задание выполняется на отдельной странице.

5. Решения задач следует излагать подробно, объясняя и мотивируя все действия по ходу решения и аккуратно выполняя необходимые чертежи.

6. После получения прорецензированной работы, как зачтенной, так и незачтенной, студент должен исправить все отмеченные рецензентом ошибки и недочеты, а также выполнить все рекомендации рецензента.

7. При проверке контрольной работы преподаватель пишет на нее рецензию, поэтому необходимо оставлять в конце тетради несколько чистых листов.

Рекомендуемая литература

1. В.Т. Лисичкин, И.Л. Соловейчик «Математика», учебное пособие для техникумов, М., Высшая школа, 1991.

2. Е.В. Филимонова «Математика», учебное пособие для средних специальных учебных заведений, Ростов-на-Дону, Феникс, 2003-2004.

3. П.Е. Данко, А.Г. Попов, Т.Я. Кожевникова «Высшая математика в упражнениях и задачах», учебное пособие для ВТУЗов, М., Высшая школа, 1999.

4. В.П. Омельченко, Э.В. Курбатова «Математика», учебное пособие для среднего профессионального образования: Ростов-на-Дону, Феникс, 2008.

5. М.Я. Выготский «Справочник по высшей математике», М., Астрель, 2002.

Кроме вышеперечисленных изданий, студент вправе использовать любую другую учебную литературу по математике для средних профессиональных учебных заведений, а также учебники по алгебре для 9-го класса и алгебре и началам анализа для 10 – 11 классов общеобразовательной школы.