Ряды Фурье. Интегралы Фурье.

ГЛАВА 8. РЯДЫ.

Числовые ряды.

Выражение вида , где - последовательность чисел, называется числовым рядом и обозначатся . Ряд называется остатком -ого порядка исходного ряда и обозначается . Сумма первых членов ряда называется -ой частичной суммой ряда.

Ряд называется сходящимся, если существует конечный предел и расходящимся, если предел не существует. Число называется суммой сходящегося ряда, при этом пишут . Одновременно с рядом сходится и расходится его остаток . В случае сходящегося ряда его остаток записывают в виде .

Сходимость или расходимость ряда не нарушится, если прибавить или отбросить конечное число его членов.

Если ряд сходится, то (необходимый признак сходимости ряда). Обратное утверждение неверно.

Если , то ряд расходится (достаточный признак расходимости ряда).

Признак сравнения. Если для рядов и , начиная с некоторого , для всех выполняется условие , то из сходимости ряда следует сходимость ряда , из расходимости ряда следует расходимость ряда .

Предельный признак сравнения. Еслисуществует конечный и отличный от нуля предел (в частности, если ~ при ), то ряды и ( , начиная с некоторого ) сходятся или расходятся одновременно.

Для применения признаков сравнения необходимо наличие «эталонных» рядов, сходимость или расходимость которых известна. В качестве «эталонных» рядов широко используются: 1) обобщённый гармонический ряд , который сходится при и расходится при ; 2) геометрический ряд , который сходится при , при этом его сумма равна и расходится при . Таким образом, для применения признаков сравнения нужно найти последовательность или , где - некоторые числа, такую, что ~ или ~ при .

Полезно иметь в виду эквивалентности (при , ):

~ ~ ~ ~ ~ ,

~ ,

а также оценки ( ), имеющие место, начиная с некоторого , для всех .

В задачах 8.1-8.9 показать, что следующие ряды сходятся, и найти их суммы:

8.1 . 8.2 . 8.3 .

8.4 . 8.5 . 8.6 .

8.7 . 8.8 . 8.9 .

В задачах 8.10-8.18используя необходимый признак сходимости ряда, установить расходимость следующих рядов:

8.10 . 8.11 . 8.12 .

8.13 . 8.14 . 8.15 .

8.16 . 8.17 . 8.18 .

В задачах 8.19-8.46используя признаки сравнения, исследовать на сходимость следующие ряды:

8.19 . 8.20 . 8.21 .

8.22 . 8.23 . 8.24 .

8.25 . 8.26 . 8.27 .

8.28 . 8.29 . 8.30 .

8.31 . 8.32 .

8.33 . 8.34 .

8.35 . 8.36 . 8.37 .

8.38 . 8.39 . 8.40 .

8.41 . 8.42 . 8.43 .

8.44 . 8.45 . 8.46 .

Признак Даламбера. Если для ряда ( начиная с некоторого ) , то ряд сходится при и расходится при . Если , то ряд может сходится или расходится; в этом случае его сходимость исследуется с помощью других признаков.

В задачах 8.47-8.62 используя признак Даламбера, исследовать сходимость следующих рядов:

8.47 . 8.48 . 8.49 . 8.50 . 8.51 . 8.52 . 8.53 . 8.54 . 8.55 . 8.56 . 8.57 . 8.58 .

8.59 . 8.60 .

8.61 . 8.62 .

Признак Коши (радикальный). Если для ряда ( начиная с некоторого ) , то ряд сходится при и расходится при . Если , то ряд может сходится или расходится; в этом случае его сходимость исследуется с помощью других признаков.

При применении признака Коши полезно иметь в виду, что: , , , где - многочлен порядка относительно .

В задачах 8.63-8.74 используя радикальный признак Коши, исследовать сходимость следующих рядов:

8.63 . 8.64 . 8.65 .

8.66 . 8.67 . 8.68 . 8.69 . 8.70 . 8.71 . 8.72 . 8.73 . 8.74 .

Интегральный признак Коши. Если , где функция положительна, монотонно убывает и непрерывна при , то ряд и интеграл сходятся или расходятся одновременно.

В задачах 8.75-8.80 используя интегральный признак Коши, исследовать сходимость следующих рядов:

8.75 . 8.76 . 8.77 .

8.78 . 8.79 . 8.80 .

В задачах 8.81-8.100исследовать сходимость рядов:

8.81 . 8.82 . 8.83 .

8.84 . 8.85 . 8.86 .

8.87 . 8.88 .

8.89 . 8.90 . 8.91 .

8.92 . 8.93 . 8.94

8.95 . 8.96 8.97

8.98 . 8.99 . 8.100 .

Ряд называется абсолютно сходящимся, если ряд сходится. Сходящийся ряд называется условно сходящимся, если ряд расходится.

Сумма абсолютно сходящегося ряда не изменяется при перестановке членов ряда. Сумму условно сходящегося ряда путём перестановки его членов можно сделать равной любому числу.

Если ряд абсолютно сходится, то он является сходящимся (достаточный признак сходимости знакопеременного ряда).

Для исследования ряда на абсолютную сходимость используют известные признаки сходимости знакоположительных рядов. В частности, ряд сходится абсолютно, если или . В общем случае из расходимости ряда не следует расходимость ряда . Но если или , то расходится не только ряд , но и ряд .

Ряд называется знакочередующимся, если все его соседние члены имеют разные знаки.

Признак Лейбница. Если для знакочередующегося ряда ( ) выполнены условия: 1) (может начать выполняться начиная с некоторого ); 2) , то знакочередующийся ряд сходится (по крайней мере условно). Для остатка ряда в этом случае справедлива оценка .

Сумму знакочередующегося ряда с заданной степенью точности вычисляют по приближённой формуле , где - минимальный из номеров , для которых .

В задачах 8.101-8.120 исследовать на абсолютную и условную сходимость следующие ряды:

8.101 . 8.102 . 8.103 .

8.104 8.105 8.106 .

8.107 8.108 8.109 .

8.110 . 8.111 .

8.112 . 8.113 . 8.114 .

8.115 . 8.116 . 8.117 .

8.118 . 8.119 . 8.120 .

В задачах 8.121-8.124вычислить сумму ряда с точностью до . Сколько членов ряда следует для этого взять?

8.121 8.122 8.123 8.124 .

Функциональные ряды.

Выражение вида , где - последовательность функций, определённых на одном и том же множестве , называется функциональным рядом, определённым на и обозначается . Функция называется -ой частичной суммой функционального ряда.

Точка , в которой сходится числовой ряд , называется точкой сходимости функционального ряда. Множество , состоящее из всех точек сходимости функционального ряда, называется его областью сходимости. Область сходимости функционального ряда обычно уже, чем область его определения .

Ряд называется абсолютно сходящимся на множестве , если при всех сходится ряд . Всякий ряд, абсолютно сходящийся на множестве , сходится на этом множестве. Область абсолютной сходимости ряда обычно уже его области сходимости .

Функцию , определённую в области сходимости функционального ряда такую, что при любом фиксированном , называют суммой ряда и пишут . При остаток ряда представляет собой также функцию , где при и при любом .

Для нахождения области сходимости ряда применяют известные признаки сходимости числовых рядов, считая фиксированным.

В частности, на основании признаков Даламбера и Коши (радикального) можно утверждать, что ряд сходится (и притом абсолютно), если и , соответственно, и расходится, если . В точках , в которых , сходимость ряда исследуют с помощью других признаков (например, признаков сравнения, интегрального признака Коши, признака Лейбница) .

В задачах 8.125-8.139найти области сходимости следующих функциональных рядов:

8.125 . 8.126 . 8.127 .

8.128 . 8.129 . 8.130 .

8.131 . 8.132 . 8.133 .

8.134 . 8.135 . 8.136 .

8.137 . 8.138 . 8.139 .

Степенные ряды.

Степенным рядом называется функциональный ряд вида , где - действительные числа. Числа называются коэффициентами ряда.

Всякий степенной ряд сходится в точке .

Радиусом сходимости степенного ряда называется число такое, что при ряд сходится (и притом абсолютно), а при расходится. Интервал при этом называется интервалом сходимости ряда. На концах интервала сходимости, т.е. в точках , ряд может как сходится, так и расходится.

Областью сходимости степенного ряда является интервал сходимости , к которому присоединяются точки , если в них ряд сходится. В частности, радиус сходимости может быть равен , тогда область сходимости ряда состоит из одной точки , и , тогда областью сходимости ряда является вся числовая прямая.

Интервал сходимости определяют обычно с помощью признаков Даламбера или Коши (радикального), вычисляя пределы или и решая неравенство .

Для степенного ряда интервал сходимости можно найти, вычислив его радиус сходимости по формулам или (указанными формулами нельзя пользоваться, если степенной ряд содержит члены только с чётными или только нечётными степенями ).

В задачах 8.140-8.160 найти область сходимости следующих степенных рядов:

8.140 . 8.141 . 8.142 .

8.143 . 8.144 . 8.145 . 8.146 . 8.147 . 8.148 . 8.149 . 8.150 . 8.151 . 8.152 . 8.153 . 8.154 .

8.155 . 8.156 .8.157 . 8.158 . 8.159 . 8.160 .

Внутри общего интервала сходимости степенные ряды можно почленно складывать и вычитать, полученные при этом ряды имеют тот же интервал сходимости:

.

Внутри интервала сходимости степенной ряд можно почленно дифференцировать и интегрировать, полученные при этом ряды имеют тот же интервал сходимости:

1) ;

2) .

Степенной ряд называется рядом Тейлора функции в точке . При ряд Тейлора называется рядом Маклорена: .

Представление функции в виде , называется разложением в ряд Тейлора. Равенство имеет место тогда и только тогда, когда остаток ряда при для всех из некоторой окрестности точки , входящей в интервал сходимости ряда. Для оценки остатка ряда Тейлора часто пользуются формулой , где .

При разложении функций в степенные ряды, как правило, используют основные разложения элементарных функций в ряд Маклорена (Приложение 5). Иногда при разложении используют почленное дифференцирование или интегрирование. При разложении в степенные ряды рациональных дробей рекомендуется представлять их в виде суммы простейших дробей.

В задачах 8.161-8.178используя основные разложения элементарных функций (Приложение 5), а также возможность почленного дифференцирования и интегрирования степенных рядов, разложить функции в ряд Маклорена и указать интервалы сходимости полученных рядов.

8.161 . 8.162 . 8.163 .

8.164 . 8.165 . 8.166 .

8.167 . 8.168 . 8.169 .

8.170 . 8.171 . 8.172 .

8.173 . 8.174 . 8.175 .

8.176 . 8.177 . 8.178 .

В задачах 8.179-8.186вычислить указанные выражения с точностью .

8.179 . 8.180 . 8.181 . 8.182 .

8.183 . 8.184 . 8.185 . 8.186 .

8.187Пользуясь тождеством вычислить число с точностью .

В задачах 8.188-8.193 вычислить следующие интегралы с точностью .

8.188 . 8.189 . 8.190 .

8.191 . 8.192 . 8.193 .

Ряды Фурье. Интегралы Фурье.

Тригонометрическим рядом Фурье функции на отрезке называется функциональный ряд вида , где числа и , называемые коэффициентами Фурье функции , вычисляются по формулам:

, , .

Функция называется кусочно-монотонной на отрезке , если этот отрезок можно разбить конечным числом точек на интервалы так, что на каждом из интервалов функция либо только возрастает, либо только убывает, либо постоянна.

Если функция на отрезке кусочно-монотонна и непрерывна, за исключением, быть может, конечного числа точек разрыва первого рода, то во всякой точке , в которой непрерывна, функцию можно разложить в тригонометрический ряд Фурье . В точках разрыва функции и точках сумма ряда Фурье определяется формулами и .

В частности, если: 1) функция - чётная, то в точках непрерывности функции имеет место разложение ,где , ;

2) функция - нечётная, то в точках непрерывности функции имеет место разложение , где , .

Если функция задана только в интервале , то её можно продолжить в интервал либо как чётную, либо как нечётную, а затем разложить её в интервале в неполный ряд Фурье по синусам или по косинусам.

В задачах 8.194-8.202 разложить следующие функции в ряд Фурье в интервале :

8.194 . 8.195 .

8.196 . 8.197 .

8.198 . 8.199 . 8.200 .

8.201 . 8.202 .

В задачах 8.203-8.206 разложить функции в ряд Фурье в интервале :

8.203 . 8.204

8.205 . 8.206 .

В задачах 8.207-8.210 разложить функции в неполные ряды Фурье в интервале : а)по косинусам, б)по синусам.

8.207 . 8.208 .

8.209 8.210

Функция называется абсолютно интегрируемой на , если интегрируема на любом отрезке числовой прямой, и существует несобственный интеграл .

Если функция на любом отрезке числовой прямой кусочно-монотонна и непрерывна, за исключением, быть может, конечного числа точек разрыва первого рода, а также абсолютно интегрируема на , то в каждой точке , в которой непрерывна, функция представляется интегралом Фурье , где и . В точках разрыва функции имеет место равенство .

В частности, если: 1) функция - чётная, то в точках непрерывности функции имеет место равенство , где ; 2) функция - нечётная, то в точках непрерывности функции имеет место равенство , где .

Если функция задана только в интервале , то её можно продолжить в интервал либо как чётную, либо как нечётную, а затем представить её в интервале неполным интегралом Фурье по синусам или по косинусам.

В задачах 8.211-8.216 представить в интервале интегралом Фурье, следующие функции:

8.211 . 8.212 .

8.213 . 8.214 .

8.215 . 8.216 .

В задачах 8.217-8.218 функцию в интервале представить интегралом Фурье, продолжив её нечётным образом на интервал .

8.217 . 8.218 .

В задачах 8.219-8.220 функцию в интервале представить интегралом Фурье, продолжив её чётным образом на интервал .

8.219 . 8.220 .