Пример решения задачи типа С-5

РАВНОВЕСИЕ ТЕЛА, НАХОДЯЩЕГОСЯ ПОД ДЕЙСТВИЕМ

ПРОСТРАНСТВЕННОЙ СИСТЕМЫ СИЛ

Краткие сведения из теории

Равновесие тела, на которое действует система

Сходящихся в пространстве сил

При рассмотрении равновесия тел, на которые действуют пространственные системы сил, необходимо составлять большее число уравнений равновесия, чем для случая плоских систем сил (см. п. 1.1.6).

Если на тело действует система сходящихся сил в пространстве, то должны быть равны нулю алгебраические суммы проекций всех сил на три оси координат:

В тех случаях, когда в условии задачи отсутствует известный угол между вектором силы и осью, часто используют метод двойного проецирования. Суть его заключается в следующем. Сначала определяют проекцию вектора силы на координатную плоскость, угол между которой и вектором силы известен. Затем ее, в свою очередь, проецируют на координатные оси.

На рисунке 5.1 приведен пример, в котором вектор спроецирован вначале на плоскость xy, а затем на координатные оси x и y:

Равновесие тела под действием

Произвольной пространственной системы сил

Для равновесия тела, находящегося под действием произвольной пространственной системы сил, необходимо и достаточно, чтобы были равны нулю алгебраические суммы проекций всех сил на оси координат и суммы моментов всех сил относительно этих осей:

Чтобы найти момент силы относительно оси, следует спроецировать эту силу на плоскость, перпендикулярную оси, а затем определить момент полученной проекции относительно точки пересечения оси с названной плоскостью.

Момент силы относительно оси считается положительным, если при наблюдении с конца оси видно, что сила стремится повернуть тело против хода часовой стрелки. При действии по ходу часовой стрелки момент считается отрицательным.

Если вектор силы лежит в одной плоскости с осью, то момент силы относительно оси равен нулю.

На рисунке 5.2 приведен пример нахождения момента силы относительно оси z:

.

Как и в случае нахождения момента силы относительно точки, так и для определения момента силы относительно оси, при необходимости можно применить теорему Вариньона, согласно которой момент равнодействующей силы относительно оси равен алгебраической сумме моментов слагаемых сил относительно той же оси.

Прежде чем перейти к разбору решения задачи, уточним некоторые моменты, касающиеся расстановки сил реакций связей.

В пространственных конструкциях встречаются два вида шарниров: цилиндрический и сферический.

Цилиндрический шарнир (подшипник) не допускает перемещения связываемого тела в плоскости, перпендикулярной оси шарнира. Поэтому его реакция лежит в этой плоскости. При решении задач рассчитывают проекции реакции цилиндрического шарнира на две оси координат (рисунок 5.3).

Сферический шарнир закрепляет одну точку тела и допускает лишь его поворот вокруг этой точки. Точно также и подпятник не допускает перемещения связанной точки тела. Поэтому реакции этих связей направляются произвольным образом в пространстве. При решении задач вычисляют проекции реакций сферического шарнира и подпятника на оси координат, как это показано на рисунке 5.4.

Заделка запрещает линейные и угловые перемещения по любому направлению. Поэтому реакция заделки в пространстве включает три проекции силы реакции на оси координат и три момента пар сил реакции относительно осей координат (рисунок 5.5).

Пример решения задачи типа С-5

Однородная плита АВСD (рисунок 5.6) находится под действием силы тяжести G, сосредоточенной силы и равномерно распределенной нагрузки интенсивности q.

Дано: AB = 1 м; BC = 2 м; P = 9 кН; q = 12 кН/м, G=10 кН.

Определить: реакции связей.

Решение.

2 Реакцию невесомого стержня EC, обозначен­ную буквой , направляем вдоль стержня. Реакцию сферического шарнира A раскладываем на три составляющие: R_Ax, R_Ay, R_Az. Реакцию цилиндрического шарнира D раскладываем на две составляющие: R_Dx, R_Dz. Начало системы координат помещаем в точку A, так как в ней сходятся линии действия трех из шести неизвестных сил.

3 Составляем уравнения равновесия плиты. Поскольку на нее действует произвольная пространственная система сил, то имеем шесть уравнений:

(5.1)

(5.2)

(5.3)

(5.4)

(5.5)

. (5.6)

Из рисунка 5.7 видно, что g – угол между проекцией силы на плоскость xy и осью y. Из треугольника АВС находим , , . При определении момента силы относительно оси z применена теорема Вариньона.

Замечание.Для составления уравнений равновесия можно изобразить чертеж пластины в проекциях на координатные плоскости (рисунок 5.8). Тогда по проекции на плоскость zOy можно составить уравнения (см. рисунок 5.5, а):

Аналогично по проекциям на плоскость xOz (см. рисунок 5.8, б):

и плоскость xOy (рисунок 5.8, в):

Предоставляем читателю возможность самостоятельно убедиться в правильности уравнений (5.1)–(5.6), составленных с использованием описанного подхода.

Из уравнения (5.6) имеем

Уравнение (5.4) дает

Знак «минус», получившийся при расчете реакции R_Dz, показывает, что ее действительное направление противоположно изображенному на рисунке 5.2.

Из уравнений (5.3), (5.2) и (5.1) находим оставшиеся неизвестные:

;

;

Равнодействующая силы реакции сферического шарнира A

Равнодействующая силы реакции цилиндрического шарнира D

5.3 Условие задания С-5