Перпендикулярність прямих у просторі. Перпендикулярність прямої і площини. Ознака перпендикулярності прямої та площини

(теорія і задачі)

Укладач:Петрова Т.В.,

вчитель Нижньосірогозької

ЗОШ І-ІІІ ступенів

1. ПЕРПЕНДИКУЛЯРНІСТЬ ПРЯМИХ У ПРОСТОРІ

Як і на площині, дві прямі називаються перпендикулярними, якщо вони перетинаються під прямим кутом.

Теорема 1. Якщо дві прямі, які перетинаються, паралельні відповідно двом перпендикулярним прямим, то вони теж перпенди­кулярні.

Доведення. Нехай а і b — перпендикулярні прямі, і — паралельні їм прямі, які перетинаються. Доведемо, що прямі і перпендикулярні.

Якщо прямі a, b і лежать в одній площині, то вони мають зазначену в теоремі властивість, що відомо з планіметрії.

Припустимо тепер, що наші прямі не лежать в одній площині. Тоді прямі а і b лежать у деякій площині , a прямі і — у якійсь площині (мал. 1).

За теоремою (якщо дві прямі, які перетинаються, однієї площини відповідно паралельні двом прямим другої площини, то ці площини паралельня) площини і пара­лельні. Нехай С — точка перетину прямих а і b, а — точка пере­тину прямих і .

Проведемо в площині паралельних прямих а і , пряму, пара­лельну прямій . Вона перетне прямі а і в точках А і . У площині прямих b і проведемо пряму, паралельну прямій , і позначимо через В і точки її перетину з прямими b і .

Чотирикутники і — паралелограми, оскільки у них протилежні сторони паралельні. Чотирикутник — теж паралелограм. У нього сторони , паралельні, тому що кожна з них паралельна прямій Таким чином, чотирикутник лежить у площині, яка проходить через паралельні прямі і . А вона перетинає паралельні площини і по паралельних прямих АВ і .

Оскільки в паралелограмі протилежні сторони рівні, то АВ = , |, ВС = . За третьою ознакою рівності трикутників трикутники ABC і рівні. Отже, кут , який дорівнює куту АСВ, прямий, тобто прямі і перпендику­лярні. Теорему доведено.

Мал. 1 Мал. 2

Задача (1). Доведіть, що через будь-яку точку пря­мої у просторі можна провести перпендикулярну до неї пряму.

Розв'язання. Нехай а — дана пряма й А — точка на ній (мал. 2). Візьмемо поза прямою а яку-небудь точку X і проведемо через цю точку і пряму а площину ( Теорема: через пряму і точку,яка не лежить на ній, можна провести площину і до того ж тільки одну). У площині через точку А можна про­вести пряму b, перпендикулярну до прямої а.

2. ОЗНАКА ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТІ ПРЯМОЇ І ПЛОЩИНИ

Пряма, яка перетинає площину, називається перпендику­лярною до цієї площини, якщо вона перпендикулярна до будь-якої прямої, що лежить у цій площині й проходить через точку перетину (мал. 3).

Теорема 2. Якщо пряма перпендикулярна до двох прямих, які лежать у площині і перетинаються, то вона перпен­дикулярна до даної площини.

Мал. 3 Мал. 4 Доведення. Нехай а — пряма, перпендикулярна до пря­мих бісу площині .

Тоді пряма а проходить через точку А перетину прямих b і с (мал. 4). Доведемо, що пряма а перпендикулярна до площини .

Проведемо довільну пряму х через точку А у площині а і покажемо, що вона перпендикулярна до прямої а. Проведемо у площині довільну пряму, яка не проходить через точку А і перетинає прямі b, с і х. Нехай точками перетину будуть В, С і X. Відкладемо на прямій а від точки А в різні боки рівні відрізки: і АА₂. Трикутник рівнобедрений, оскіль­ки відрізок АС є висотою за умовою теореми і медіаною — за побудовою ( =АА₂). З тієї ж причини трикутник теж рівнобедрений. Отже, трикутники і А₂ВС рівні за третьою ознакою рівності трикутників.

З рівності трикутників і А₂ВС випливає рівність кутів ВХ, А₂ВХ і, отже, рівність трикутників ВХ i А₂ВХ за пер­шою ознакою рівності трикутників. З рівності сторін Х і А₂Х цих трикутників робимо висновок, що трикутник ХА₂ рівнобедрений. Тому його медіана ХА є також висотою. А це означає, що – пряма х перпендикулярна до . За означенням пряма а перпендикулярна до площини а . Теорему доведено.

3. ПОБУДОВА ПЕРПЕНДИКУЛЯРНИХ ПРЯМОЇ І ПЛОЩИНИ

Задача (2). Доведіть, що через дану точку прямої можна провести одну і тільки одну перпендикулярну до неї площину.

Розв'язання. Нехай а — дана пряма і А — точка на ній (мал. 5). Проведемо через неї дві площини, а в них — через точку А прямі b і с, перпендикулярні до прямої а. Площина , яка проходить через ці прямі, перпендикулярна до прямої а за теоремою 2. Доведемо, що ця площина єдина. Припустимо, що крім площини існує інша площина ', яка проходить через точку А і перпендикулярна до прямої а (мал. 6). Нехай В — точка площини ', яка не лежить у площині а. Прове­демо через точку В і пряму а площину. Вона перетне пло­щини і ' по різних прямих b і b', перпендикулярних до прямої а. А це, як ми знаємо, неможливо, оскільки на площині через дану точку прямої проходить тільки одна перпендикулярна до неї пряма. Отже, площина, яка проходить через точку А і перпендикулярна до прямої а,— єдина.

Мал. 5 Мал. 6

Задача (2). Доведіть, що через дану точку площи­ни можна провести одну і тільки одну перпендикулярну до неї пряму.

Розв'язання. Нехай —дана площина і A –­ точка на ній (мал. 7). Проведемо у площині через точку А дві прямі b і с. Проведемо через точку А перпен­дикулярні до них площини. Вони перетнуться по деякій прямій а, перпендикулярній до прямих b і с. Отже, пряма а перпендикулярна до площини . Доведемо, що ця пряма єдина. Припустимо, що крім прямої а існує інша пряма а', яка проходить через точку А і перпендикулярна до площини (мал. 8). Проведемо через прямі а і а' площину. Вона перетне площину по деякій прямій b, перпендикулярній до прямих а і а'. А це неможливо. Отже, пряма, яка проходить через дану точку площини і перпендикулярна до цієї площини, єдина.

Мал. 7 Мал. 8

4. ВЛАСТИВОСТІ ПРЯМОЇ І ПЛОЩИНИ, ПЕРПЕНДИКУЛЯРНИХ МІЖ СОБОЮ

Теорема 3. Якщо площина перпендикулярна до однієї з двох паралельних прямих, то вона перпендикулярна й до другої.

Доведення. Нехай і а₂— дві паралельні прямі і – площина, перпендикулярна до прямої (мал. 9). Доведемо, що ця площина перпендикулярна й до прямої а₂.

Проведемо через точку А₂ перетину прямої а₂ з площиною довільну пряму х₂ у площині . Проведемо у площині через точку перетину прямої з пряму , паралельну прямій х₂. Оскільки пряма перпендикулярна до площини , то прямі і перпендикулярні. А за теоремою 1 паралельні до них прямі а₂ і х₂, що перетинаються, теж перпендикулярні. Таким чином, пряма а₂ перпендикулярна до будь-якої прямої х₂ у площині . А це означає, що пряма а₂ перпендикулярна до площини . Теорему доведено.

Мал. 9 Мал.10

Задача (4). Доведіть, що через будь-яку точку А можна провести пряму, перпендикулярну до даної площини . Розв'язання. Проведемо у площині дві прямі b і с, що перетинаються (мал. 10). Через точку їх перетину проведемо площини і , перпендикулярні до прямих b і с відповідно. Перетином їх буде пряма а. Пряма а перпендикулярна до прямих b і с, отже, і до площини . Проведемо тепер через точку А пряму d, паралельну а. За теоремою 3 вона перпендикулярна до площини

Теорема 4. Дві прямі, перпендикулярні до однієї і тієї самої площини, паралельні.

Доведення. Нехай а і b — дві прямі, перпендикулярні до площини (мал.11). Припустимо, що прямі а і b не паралельні. Виберемо на прямій b точку С, що не лежить на площині . Проведемо через точку С пряму b', паралельну прямій а. Пряма b' перпендикулярна до площини (теорема 3). Нехай В і В' — точки перетину прямих b і b' з площиною а. Тоді пряма ВВ' перпендикулярна до прямих b і b', які перетинаються. А це неможливо. Ми прийшли до суперечності. Теорему доведено.

Мал. 11

Задача (6). Прямі AB, AC і AD попарно перпендикулярні. Знайдіть відрізок CD якщо: 1) AB =3 см, BC =7 см , AD = 1,5 см ; 2) BD = 9 см , BC= 16 см , AD = 5 см ; 3) AB =a, BC =b, AD = c;

Мал. 12

Розв'язання. За умовою отже, – прямокутні (мал. 12). Знайдемо довжину сторони DC.

1) З ( (см²) З ( (см)

2) З ( (см²)

З ( (см²) З ( (см)

3) З ( З (

відповідь: 1) см; 2) см; 3) .

Задача (7). Через вершину гострого кута прямокутного трикутника з прямим кутом С проведено пряму , перпендикулярну до пло­щини трикутника. Знайдіть відстань від точки до вершин В і С, якщо AС =a, BC =b, AD = c.

Мал. 13

Розв'язання.І спосіб

Через вершину А гострого кута прямо­кутного ( проведено пря­му AD, яка перпендикулярна до площини (мал. 13). За умовою АС = а, ВС = b, AD = с. Знайдемо відстані від точ­ки D до вершин В і С.

З . Оскільки AD — перпендикуляр до площи­ни трикутника ABC, to і (означення прямої, перпендикулярної до площини). Отже, і — прямо­кутні. Тому

i

ІI спосіб

За умовою AD — перпендикуляр до площини , тобто (означення прямої, перпендикулярної до площини). Тоді AD — перпендикуляр до площини , ВС — похила до цієї площини, AС - її проекція на площину . За умовою — прямокутний, в якому АС = = 90°, тобто . Тоді за теоремою про три перпендикуля­ри . Звідси — прямокутний СВ = 90°). Тому