Обработка результатов испытаний и оценка их доброкачественности

Как уже указывалось, в результате проведения различного вида испытаний и подконтрольной эксплуатации накапливается определенный объем информации по фиксируемым параметрам и показателям (отказам, временам безотказной работы, детерминированным показателям: пределу прочности, усталости и т.д.).

Но в силу ряда случайных причин, получаемые результаты наблюдений при повторении опыта не будут совпадать — будет иметь место разброс значений, и иногда весьма значительный. Это явление обязывает оценивать точность и достоверность получаемых результатов с целью избежать ошибок, искажающих изучаемое явление или процесс. Подобная оценка осуществляется путем статистико-вероятностной обработки результатов наблюдений.

Рассмотрим ряд задач решаемых при обработке результатов наблюдений.

Прежде всего отметим, что не всегда удается собрать большой объем информации. Чаще всего значение искомого параметра вычисляется на базе ограниченного числа опытов и поэтому в результате будет содержаться случайная ошибка. Такое приближенное случайное значение называется оценкой параметра.

К оценкам предъявляют следующие требования, позволяющие считать ее «доброкачественной» — наиболее точно отражающей изучаемой явление.

1. Необходимо, чтобы при увеличении числа наблюдений «n» оценка параметра «a» стремилась к некоторому теоретическому параметру «a» (сходилась по вероятности). Оценка, обладающая таким свойством, называется состоятельной.

2.

3. Необходимо, чтобы выбранная несмещенная оценка обладала по сравнению с другими наименьшей дисперсией D[ ]= min.

Оценка, обладающая таким свойством, называется эффективной. На практике не всегда удается удовлетворить всем этим требованиям. Бывает так, что эффективная оценка и существует, но формулы для ее вычисления будут слишком сложны и удобнее будут пользоваться другой с несколько большей дисперсией. Иногда применяются незначительно смещенные оценки и тоже с целью упрощения расчетов.

Оценка для математического ожидания и дисперсии

Если над некоторой случайной величиной X проведены испытания и получен ряд значений x₁, х₂, ...,x_n, то в качестве несмещенной и состоятельной оценки математического ожидания принимается среднее арифметическое из этих значений

где — статистическое математическое ожидание. Эффективность или неэффективность оценки зависит от вида закона распределения случайной величины X. В теории вероятностей доказывается, что минимальная дисперсия Д будет иметь место при нормальном законе распределения случайной, величины X. При других законах распределения этого может и не быть.

В качестве состоятельной и несмещенной оценки для дисперсии принимается статистическая дисперсия, определяемая через второй начальный момент.

или

Оценка для дисперсии не является эффективной. Она является асимптотически эффективной, т. е. при n → ∞ → D_min.

Доверительный интервал. Доверительная вероятность

Если значение испытываемого параметра оценивается одним числом, то оно называется точечным. Но в большинстве задач нужно найти не только наиболее достоверное численное значение, но и оценить степень достоверности.

Нужно знать: какую ошибку вызывает замена истинного параметра а его точечной оценкой ; с какой степенью уверенности можно ожидать, что эти ошибки не превысят известные заранее установленные пределы.

Для этой цели в математической статистике пользуются так называемыми доверительными интервалами и доверительными вероятностями.

Если для параметра а получена из опыта несмещенная оценка , и поставлена задача оценить возможную при этом ошибку, то необходимо назначить некоторую достаточно большую вероятность β (например β = 0,9; 0,95; 0,99 и т.д.), такую, что событие с вероятностью β можно было бы считать практически достоверным.

В этом случае можно найти такое значение ε для которого P(| - a| < ε) = β.

Рис. 2 - Схема доверительного интервала.

В этом случае диапазон практически возможных ошибок, возникающих при замене а на не будет превышать ± ε. Большие по абсолютной величине ошибки будут появляться только с малой вероятностью α = 1 – β. Событие противоположное и неизвестное с вероятностью β будет попадать в интервал I_β = ( - ε; + ε). Вероятность β можно толковать, как вероятность того, что случайный интервал I_β накроет точку а (рис. 2).

Вероятность β принято называть доверительной вероятностью, а интервал I_β принято называть доверительным интервалом. На рис. 2 рассматривается симметричный доверительный интервал. В общем случае это требование не является обязательным.

Границы интервала а₁ = - ε и a₂ = + ε, называются доверительными границами.

Доверительный интервал значений параметра a можно рассматривать как интервал значений a, совместных с опытными данными и не противоречащих им.

Выбирая доверительную вероятность β, близкую к единице, мы хотим иметь уверенность в том, что событие с такой вероятностью произойдет при осуществлении определенного комплекса условий.

Существуют специальные правила назначения границы пренебрежимо малых вероятностей. Например, такие случайные факторы, как уровень паводковых вод в реке или величина расхода воды в ней, могут привести к разрушению гидротехнических сооружений.

Но установление слишком большого запаса прочности приводит к неоправданному и большому удорожанию стоимости строительства.

Для сооружений особо капитальных (основные постоянные сооружения гидроэлектростанций мощностью более 250 тыс. квт с выработкой электроэнергии более 1 млрд. квт-ч в год) пренебрежимо малыми вероятностями считаются а = 0,001 при нормальных условиях эксплуатации и а = 0,0001 — при чрезвычайных. Для сооружений обычной капитальности назначают а = 0,002 или а = 0,005 в зависимости от условий эксплуатации.

Поясним, что здесь пренебрежение возможностью появления события с вероятностью в 0,001 означает риск разрушения один раз в 1000 лет.

Оценка вероятности по частоте

В общем случае, если в «п» проведенных опытах обозначить появление события А единицей, а непоявление события — нулем, то эмпирическая вероятность будет равна

Математическое ожидание данной величины равно: М[ ] = р, а ее дисперсия: D[ ] = pq/n, где q = 1 – p.

В теории вероятностей доказывается, что эта дисперсия является минимально возможной, означающей, что оценка является эффективной.

Доверительный интервал для вероятности будет равен I_{β( )} = (p₁; p₂),

где

При n → ∞ величины → 0 и → 0, поэтому формулы в пределе принимают вид

Формулами можно пользоваться при достаточно больших п (порядка сотен опытов) и когда вероятность р не слишком велика (когда величины пр и nq порядка 10 и более).

При малом числе опытом, а также в том случае, когда вероятность р очень велика или очень мала формулами для построения доверительного интервала пользоваться нельзя, т. к. они получены с рядом допущений.

В этом случае доверительный интервал строят из точного закона распределения частоты каковым является биномиальное распределение, для которого

где Р_т,п — вероятность появления т событий в п опытах, — число т сочетаний в n опытах. Частота равна .

Значение доверительного интервала в этих случаях лучше не вычислять, а находить по специальным графикам. На рис. 3 приведен такой график для доверительной вероятности β = 0,9. В справочной литературе существуют таблицыp₁ и р₂ для различных β.

Рис. 3 - Номограмма для определения p₁; p₂ при доверительной вероятности. β = 0.9.

Метод наибольшего правдоподобия

Одним из важнейших методов для отыскания оценок параметров по данным испытания является метод наибольшего правдоподобия.

Если мы имеем выборку результатов испытаний случайной величины X объема п: х₁; х₂; ... х_п; плотностью X будет функция p(x_i θ), зависящая от параметра θ.

Фунцией правдоподобия называется функция.

L(x₁; х₂,... х_п; θ) = р(х₁ θ)р(х₂, θ)... р(х_п θ)

Сущность оценки заключается в том, что выбирается такое значение аргумента, θ, которое обращает функцию L в максимум. Значение L при θ _mах и называется оценкой наибольшего правдоподобия. Для получения L_max решается следующее уравнение и и отобрать то решение b—Q(x₁, x₂, ... х_п), которое обращает L в максимум. [11]

Задача №1.

Составьте структурную надежностную схему автомобиля и найдите вероятность его безотказной работы, если вероятность безотказной работы каждого элемента равна P_i. При составлении схемы автомобиля считайте, что в его состав входят: четырехцилиндровый двигатель, трансмиссия, две независимые тормозные системы и система питания. Следовательно, он может быть представлен схемой четырех элементов двигателя (четыре цилиндропоршневые группы), с которыми соединяются два элемента трансмиссии (муфта сцепления и коробка передач). Последовательно с ними включаются два элемента, соответствующие двум различным системам торможения. Последний (9-ый), включенный элемент соответствует системе питания.

Определите затем вероятность безотказной работы, при условии, что для питания используются две системы питания, например, с бензиновым и газовым топливом с той же вероятностью безотказной работы.

Сравните результаты расчётов и сделайте вывод о надёжности двух рассмотренных структурных схемах автомобиля.

Таблица 1 – Исходные данные

Решение:

1) Структурная схема надежности автомобиля с одной системой питания:

Структурная схема надежности автомобиля с двумя системами питания:

a_1,2,3,4 - цилиндропоршневые группы;

b₁ - муфта сцепления;

b₂ - коробка передач;

c_1,2 - тормозные системы;

d₁ - система питания с бензиновым топливом;

d₂ - система питания с газовым топливом.

2) Предположим, что A_i - событие, состоящее в безотказной работе цилиндропоршневой группы (i=1-4);

B₁ - событие, состоящее в безотказной работе муфты сцепления;

B₂ - событие, состоящее в безотказной работе коробки передач;

C_1,2 - событие, состоящее в безотказной работе тормозной системы;

D_j - событие, состоящее в безотказной работе системы питания (j=1 для одной системы питания, j=1,2 для двух систем питания);

E - событие, состоящее в безотказной работе автомобиля.

E₁ = A_i∙B₁∙B₂∙C_1,2∙D₁ ;

P_E1 = P_Ai∙P_B1∙P_B2∙P_C1,2∙P_D2

P_Ai = 1-(1-P)⁴ = 1-(1-0,70)⁴ = 0,992;

P_C1,2 = 1-(1-P)² = 1-(1-0,70)² = 0,910.

Следовательно, P_E1 = 0,992∙0,70∙0,70∙0,910∙0,70 = 0,310.

4) Определим вероятность безотказной работы автомобиля с двумя системами питания:

E₂ = A_i∙B₁∙B₂∙C_1,2∙D_{1 ,2} ;

P_E2 = P_Ai∙P_B1∙P_B2∙P_C1,2∙P_D1,2

P_D1,2 = 1-(1-P)² = 1-(1-0,70)² = 0,910

P_E2 = 0,992∙0,70∙0,70∙0,910∙0,910 = 0,402

Вывод: т.к. P_E1< P_E2 , то вероятность безотказной работы автомобиля с двумя системами питания выше, чем с одной.

Задача №2.

Известно, что в целом по машиностроительной отрасли на N единиц однотипного оборудования повышенной опасности приходится M аварий в год. Какова вероятность того, что на конкретном машиностроительном

Таблица 2 - исходные данные:

Указание. Для решения следует воспользоваться биноминальным законом распределения. Произвольный член биноминального ряда выражается формулой:

,

где n - объем выборки;

m - номер члена ряда;

w -вероятность аварии для N единиц однотипного оборудования;

v= 1— w.

Решение:

v = 1— w = 1- 0,012 = 0,988

Вероятность того, что произойдет 3 аварии в год:

Вероятность того, что произойдет 3 и более аварий в год:

P = 1 – (P_0,12+ P_1,12+ P_2,12);

P = 1 – (P_0,10 + P_1,10 + P_2,10) = 1 – (0,005+0,108+0,886) = 0,001

Задача №4.

В результате измерений отказов n объектов, установлено среднее значение наработки на отказ Т_cp, дисперсия D_x. С какой вероятностью можно утверждать, что истинное среднее значение наработки на отказ не отклонится от найденной величины больше, чем на L? . Исходные данные в табл. 5

Таблица 5 – Исходные данные

Указание. Расчет основывается на формуле 1 для оценки параметра по результатам ограниченного числа испытаний.

где t_g — параметр Стьюдента, определяемый из таблицы приложения 3 по значениям g и k=n—1 степеней свободы.

- среднее значение случайной величины;

n – число опытов;

- среднее квадратичное отклонение;

g - доверительная вероятность.

k=n—1=16 – 1 = 15;

Для того чтобы выполнялось равенство: ,

должно выполнятся условие:

.

Из таблицы в прил. 3 [9] по значениям k = 15 и = 10,55 находим доверительную вероятность g = 0,99. С вероятностью 0,99 можно утверждать, что истинное среднее значение наработки на отказ не отклонится от найденной величины больше, чем на 8%.

Задача №5.

Таблица 6 – Исходные данные

Указание. Так как рассматривается период нормальной эксплуатации машины, интенсивность отказов можно считать не изменяющейся величиной.

, отсюда = 0,0000527 = 5,27∙10^-5

Рисунок 1 – График изменений Р (t)

T₀=

На испытания были поставлены 200 восстанавливаемых изделий. Статистика отказов приведена в табл. 7 Необходимо построить гистограмму параметра потока отказов , определить среднюю наработку до первого отказа Т₀. Указание: построенную по сглаженной гистограмме кривую аппроксимировать уравнением .

Таблица 7 – Исходные данные

∆t·10-3, час

n

t·10-3, час

·10-5

В данном случае эксплуатируется восстанавливаемое изделие, основной характеристикой в условии ремонта является параметр потока отказов

.

·10^-5

t·10^-3, час

Построенную по сглаженной гистограмме кривую аппроксимируем уравнением . Найдем значения коэффициентов a, b и k.

Определим kпо точке на графике:

.

k= 4,35 ∙10^-4.

.

Средняя наработка до первого отказа:

.

Задача №7.

Для технического объекта задана наработка на отказ Т_оз. Требуется оценить безопасность объекта (по величине наработки на опасный отказ Т₀) с доверительной вероятностью g, если число отказов n, а суммарная наработка до наступления n отказов равна t_n часов (данные по табл.8).

Таблица 8 – Исходные данные

Указание. Для решения задачи необходимо оценить надежность с учетом доверительных границ, воспользовавшись формулой 2. После проведённых по исходным данным расчётов, выполните расчёты вновь, принимая, что данные о наработке получены при уменьшении объема выборки (n), вдвое (значения данных о наработке t_n примите такими же). Сделайте вывод о влиянии объёма выборки (числа испытаний) на ширину доверительного интервала.

или

,

Зная g, определяют a (a = 1 - g = 0,1), a/2 (0,05), 1—a/2(0,95) и при k=2n=20 степеней свободы по таблице приложения 4 [9] находят:

и

;

28,66 ≤ ≤ 82,95.

Для технического объекта задана наработка на отказ Т_оз = 14 ч. По экспериментальным данным для этого объекта получено, что фактическая наработка лежит в диапазоне от 28,66 до 82,95 часов.

Если объем выборки уменьшить вдвое, а данные о наработке оставить без изменения:

и

;

49,15 ≤ ≤ 228,43

Чем меньше размер выборки, тем шире станет доверительный интервал, при условии, что все остальное останется без изменений, а качество полученных данных не будет высоким.

Задача №8.

Восстанавливаемая система с показательным распределением времени безотказной работы и времени восстановления имеет коэффициент безопасности K_б (см. табл.9). Определить вероятность нахождения системы в безопасном состоянии в момент времени t если наработка на опасный отказ Т_о.

Таблица 9 – Исходные данные

Показательный закон распределения: P(t) = e^-λt ,

в момент времени t: = ;

= .

P (60) = K_б +(1- K_б) = 0,93 + (1 – 0,93) = 0,979

Задача №9.

На испытание поставлено N элементов. Число отказов n(∆t_i) фиксирова­лось в каждом интервале времени испытаний ∆t=500 час. Данные об отказах в табл.10

Необходимо определить вероятность безотказной работы , частоту отказов и интенсивность отказов , построить графики этих функций и найти среднюю наработку до первого отказа

Таблица 10 – Исходные данные

Расчеты представлены в таблице 11:

n(t)i
(ti),	0,145	0,231	0,308	0,377	0,439	0,495	0,546	0,591	0,632	0,669	0,702	0,737	0,797	0,872	0,934	0,976	0,992
(ti),	0,855	0,769	0,692	0,623	0,561	0,505	0,454	0,409	0,368	0,331	0,298	0,263	0,203	0,128	0,066	0,024	0,008
(ti),	0,290	0,172	0,154	0,138	0,124	0,112	0,102	0,090	0,082	0,074	0,066	0,070	0,120	0,150	0,124	0,084	0,032	0,016
(ti),	0,339	0,224	0,222	0,221	0,221	0,222	0,225	0,220	0,223	0,224	0,221	0,266	0,591	1,172	1,879	3,5		4,5

Задача №10.

Для графа изменения состояния функционирования объекта, представленного на рис. 6.2, составить систему дифференциальных уравнений цепи Маркова, решить ее для стационарного процесса и определить наработку

	Рис. 6.2. Граф изменения состояния функционирования : 1 – безопасное работоспособное состояние; 2 – опасное работоспособное состояние; 3 – безопасное неработоспособное состояние
Вариант	l21,ч-1	l23,ч-1	l31,ч-1	l13∙10-3,ч-1	Р2∙10-4
	0,3	0,4	0,5	0,4

Составим систему дифференциальных уравнений:

Т.к. процесс стационарный, то

Сложим (1) и (3):

Следовательно, .

P₁ (t) =

Из (4):

P₃(t) =

Проверка:

P₁(t) + P₂(t) + P₃(t) = 0,998 + 0,0005 + 0,00120 = 0,999≈1

;

Определим время устранения опасного отказа, чтобы коэффициент опасности К_o принимал значения 0,001 и 0,0006.