Задача о замене оборудования

Замена оборудования — важная экономическая проблема. За­дача состоит в определении оптимальных сроков замены старого оборудования (станков, производственных зданий и т. п.). Старе­ние оборудования включает его физический и моральный износ, в результате чего растут производственные затраты, затраты на ре­монт и обслуживание, снижаются производительность труда, лик­видная стоимость. Критерием оптимальности являются, как пра­вило, либо прибыль от эксплуатации оборудования (задача мак­симизации), либо суммарные затраты на эксплуатацию в течение планируемого периода (задача минимизации).

При построении модели задачи принято считать, что решение о замене выносится в начале каждого промежутка эксплуатации (например, в начале года) и что в принципе оборудование можно использовать неограниченно долго.

Основная характеристика оборудования — параметр состоя­ния — его возраст t.

При составлении динамической модели замены процесс заме­ны рассматривают как л-шаговый, разбивая весь период эксплуа­тации на п шагов. Возможное управление на каждом шаге харак­теризуется качественными признаками, например, X^е (сохранить оборудование), X³ (заменить) и ЛГ^р (сделать ремонт).

Рассмотрим конкретный пример. ^ 12.3.Оборудование эксплуатируется в течение 5 лет, после этого продается. В начале каждого года можно принять решение сохра­нить оборудование или заменить его новым. Стоимость нового оборудования />₀=4000 руб.¹ После t лет эксплуатации (1< t<5) оборудование можно продать за g (t)=p₀2~' рублей (ликвидная стоимость). Затраты на содержание в течение года зависят от воз­раста t оборудования и равны г (/)=600(/+1). Определить опти­мальную стратегию эксплуатации оборудования, чтобы суммар­ные затраты с учетом начальной покупки и заключительной про­дажи были минимальны.

Все цены условные.

т.е. ^=1.

Показатель эффективности l-

^и «-го щ_ага.

[4600 -4000- 7-' ^Л*-ЛГ^С,

Шп„ кс '^если^^з ^1,2,3,4. (12.23)

(При X^е затраты только на ^ при X* машина продается ЫоопТ_л^УаТа1"*ю мат, эксплуатируется в течение п_ет1 °'²"⁰' ^купает ^{ИНЫ воз}Р^аста '» ны (-4000-2-^+4000+600)) ^Р °^{Го Го}Д^а (бот Т ^новая (⁴⁰⁰⁰> ^и

Пугтк 7* /•л „ °^бЩие затраты рав-

пусть z*(fl - условные оптимя
цию машины, начиная с Km , ^bHbIe затрат»

началу *-_{го шага машина} ^ Ша_{га До} Даты _{на эксплуата}.

ЦИЙ Zl(t) уравнения Белл^, °^ЗРаСТ ^ет'з?" ^{УСЛ0ВИИ}'^чт° ^К

оеллмана (п ^ ^{к Ла}пишем для функ-

максимизации на задачу мини, ' ^И (12 8^

^у минимизации: ' ^{заменив} задачу

Величина 4000-2-C+D _ _ст -₅ = л

условик, машина „осле 5 л_ет э°С^„„_{ы в03раста} , ^

4600-40002-' ₊ 7''m " **-.!"

7 л ^к ~ ^Л '

^ 3, 2, 1.

Модели динамического программирования

Из определения функций Z*_k (t) следует

Anin ⁼ Z\ (О^-Дадим геометрическое решение этой задачи. На оси абсцисс будем откладывать номер шага к, на оси ординат — возраст t ма­шины. Точка (к—\, t) на плоскости соответствует началу А>го года эксплуатации машины возраста t лет. Перемещение на графике в зависимости от принятого управления на к-м шаге показано на рис. 12.7.

Состояние начала эксплуатации машины соответствует точке

s*_Q (0; 0), конец — точкам s (6; /). Любая траектория, переводящая точку s(k-l; t) из s*₀ в s , состоит из отрезков — шагов, соответст­вующих годам эксплуатации. Надо выбрать такую траекторию, при которой затраты на эксплуатацию машины окажутся мини­мальными.

Над каждым отрезком, соединяющим точки (k—l; t) и (к; t+i), запишем соответствующие управлению X^е затраты, найденные из (12.23): 600(/+1), а над отрезком, соединяющим точки (k-l; t) и (к; /), запишем затраты, соответствующие управлению X³, т.е. 4600—4000-2~'. Таким образом мы разметим все отрезки, соеди­няющие точки на графике, соответствующие переходам из любого состояния sic-\ в состояние s/c (рис. 12.8). Например, над отрезка­ми, соединяющими точки (к; 2) и (/HI; 3), стоит число 1800¹, что соответствует затратам на эксплуатацию в течение каждого года

¹ Напоминаем, что все затраты выражены в условных рублях.

Модели динамического программирования

машины возраста / = 2 лет, а над отрезками, соединяющими (к; 2) и (к+1; 1), стоит число 3600 — это сумма затрат на покупку ма­шины и эксплуатацию новой машины в течение года без "затрат" (выручки) за проданную машину возраста / лет. Следует учесть, что 0 < t < к.

Проведем на размеченном графе состояний (см. рис. 12.8) ус­ловную оптимизацию.

V шаг. Начальные состояния — точки (4; t), конечные (5; t). В состояниях (5; t) машина продается, условный оптимальный доход от продажи равен 4000-2', но поскольку целевая функция связана с затратами, то в кружках точек (5; t) поставим величину дохода со знаком минус.

Анализируем, как можно попасть из каждого начального со­стояния в конечное на V шаге.

Состояние (4; 1). Из него можно попасть в состояние (5; 2), за­тратив на эксплуатацию машины 1200 и выручив затем от прода­жи 1000, т.е. суммарные затраты равны 200, и в состояние (5; 1) с затратами 2600—2000=600. Значит, если к последнему шагу систе­ма находилась в точке (4; 1), то следует идти в точку (5; 2) (укажем это направление двойной стрелкой), а неизбежные ми­нимальные затраты, соответствующие этому переходу, равны 200 (поместим эту величину Z\ (1)=200 в кружке точки (4; 1).

Состояние (4; 2). Из него можно попасть в точку (5; 3) с затра­тами 1800-500=1300 и в точку (5; 1) с затратами 3600-2000=1600. Выбираем первое управление, отмечаем его двойной стрелкой, а Z\ (2)=1300 проставляем в кружке точки (4; 2).

Рассуждая таким же образом для каждой точки предпоследнего шага, мы найдем для любого исхода IV шага оптимальное управ­ление на V шаге, отметим его на рис. 12.8 двойной стрелкой. Да­лее планируем IV шаг, анализируя каждое состояние, в котором может оказаться система в конце III шага с учетом оптимального продолжения до конца процесса, т.е. решаем для всех 0 <, t<. 4 при к=А уравнения (12.22). Например, если начало IV шага соот­ветствует состоянию (3; 1), то при управлении X^е система перехо­дит в точку (4; 2), затраты на этом шаге 1200, а суммарные затра­ты за два последних шага равны 1200+1300=2500. При управлении X³ затраты за два шага равны 2600+200=2800. Выбираем мини­мальные затраты 2500, ставим их в кружок точки (3; 1), а соответ­ствующие управления на этом шаге помечаем двойной стрелкой,

Глава 12

Йодели динамического программирования

ведущей из состояния (3; 1), в состояние (4; 2). Так поступаем для каждого состояния (3; /) (см. рис. 12.8).

Продолжая условную оптимизацию III, II и I шагов, мы полу­чим на рис. 12.8 следующую ситуацию: из каждой точки (состояния) выходит стрелка, указывающая, куда следует переме­щаться в данном шаге, если система оказалась в этой точке, а в кружках записаны минимальные затраты на переход из этой точ­ки в конечное состояние. На каждом шаге фафически решались уравнения (12.22).

После проведения условной оптимизации получим в точке (0; 0) минимальные затраты на эксплуатацию машины в течение 5 лет с последующей продажей: Z^_m = 11900. Далее строим опти­мальную траекторию, перемещаясь из точки s₀(0; 0) по двойным стрелкам в s . Получаем набор точек:

{(0; 0), (1; 1), (2; 2), (3; 1), (4; 2), (5; 3)},

который соответствует оптимальному управлению X* (X^е, X^е, X³, X^е, X^е). Оптимальный режим эксплуатации состоит в том, чтобы заменить машину новой в начале 3-го года>

Таким образом, размеченный фафик (сеть) позволяет наглядно интерпретировать расчетную схему и решить задачу методом ДП.

Как уже отмечалось, модели и вычислительная схема ДП очень гибки в смысле возможностей включения в модель раз­личных модификаций задачи. Например, аналогичная задача может быть рассмофена для большого числа вариантов управ­ления, "ремонт", "капитальный ремонт" и т. д. Можно рассмат­ривать замену оборудования новым с учетом технического про-фесса, можно учесть изменения в затратах на эксплуатацию оборудования после его ремонта, в зависимости от года эксплуа­тации (дороже, дешевле). Все эти факторы можно учитывать вычислительной схемой ДП.

УПРАЖНЕНИЯ

В задачах 12.4-12.5найти оптимальное распределение средств между п предприятиями при условии, что прибыль/(*), получен­ная от каждого предприятия, является функцией от вложенных в него средств х. Вложения кратны Дх, а функции Дх) заданы таб­лично.

12.6.В условиях задачи 12.4найти оптимальное распределение средств s₀=8.

12.7. В условиях задачи 12.4найти оптимальное распределение средств s₀=9 между четырьмя предприятиями, если функция при­были для четвертого предприятия задана следующей таблицей:

12.8.В условиях задачи 12.5найти оптимальное распределение средств s_Q=6 между четырьмя предприятиями.

12.9. В условиях задачи 12.6найти оптимальное распределение средств между 2-, 3- и 4-м предприятиями (1-е предприятие ис­ключить).

В задачах 12.10—12.11найти оптимальное распределение ре­сурсов s₀ между двумя офаслями производств I и II в течение « лет, если даны функции доходов f\(x) и fi(x) для каждой офасли, функции возврата у\(х) и фг(х). По истечении года только все возвращенные средства перераспределяются, доход в производст­во не вкладывается.

12.10.5₀=40000 ед.; л=4; /i(x)=0,4x; /₂(х)=0,3х; щ(х)=0,5х] Фг(х)=0,8х

12.11.$о=10000 ед.; и=4; /,(х)=0,1х²; /₂(х)=0,5х; <pi(x)=0,75r, Ф2(х)=0,3х.