Внутренние силовые факторы. Основные определения и формулы

Рис. 1

Эта опора не позволяет сечению балки в точке А перемещаться в горизонтальном и вертикальном направлении, но при этом возможен поворот сечения в одной плоскости относительно оси цилиндрического шарнира. Поэтому в такой опоре возникает две реакции R_A и H_A (рис.1б).

Шарнирно-подвижная опора― рис. 2а

Рис. 2

Эта опора допускает как поворот, так и перемещение сечения B по горизонтали. В такой опоре возникает только реакция R_B (рис. 2б).

Защемление или заделка― рис. 3а

Рис. 3

Опора не позволяет перемещений по двум направлениям и поворота сечения, близлежащего к опоре. В защемлении возникают следующие реакции: вертикальная сила R_A, горизонтальная сила H_A и момент M_A (рис.3б).

Для того чтобы балка работала, т.е. могла сопротивляться приложенным силам, необходимо ее закрепить. Наименьшее число связей, не позволяющих балке перемещаться в плоскости действия нагрузок, равно трем. Такие балки называются статически определимыми.

Рассмотрим различные типы статически определимых балок, в зависимости от их опирания: консольная или жестко защемленная балка(рис.4a), балка на двух опорах ( однопролетная балка) с левой свисающей консолью(рис.4b) и балка с промежуточным шарниром(рис.4с).

a) b) c)

Рис. 4

Определение опорных реакций

Для определения опорных реакций для плоской системы сил можно в общем случае составить три уравнения равновесия:

S F_x =0. ― Сумма проекций всех сил на ось x равна нулю.

S M_A =0. ― Сумма моментов всех сил относительно точки A равна нулю.

Внутренние силовые факторы. Основные определения и формулы

В поперечном сечении балки или плоской рамы возникают следующие внутренние силовые факторы: продольная сила(N) ,поперечная силы (Q) и изгибающий момент (M). Положительные направления этих силовых факторов показано на рис.6. Продольная сила(N) считается положительной, если она вызывает растяжение рассматриваемой части балки (рамы); поперечная сила (Q) считается положительной, если она стремится повернуть рассматриваемую часть балки (рамы) по ходу часовой стрелки; изгибающий момент (M) считается положительным, если он вызывает растяжение нижних волокон.

Рис.6

Внутренние силовые факторы определяются через внешние силы.

Продольная сила (N) – это внутренняя сила, численно равная алгебраической сумме всех внешних сил, действующих по одну сторону от сечения параллельно оси балки.

Поперечная сила (Q) – это внутренняя сила, численно равная алгебраической сумме всех внешних сил, действующих по одну сторону от сечения перпендикулярно оси балки.

Изгибающий момент (M) –это внутренний момент, численно равный алгебраической сумме моментов всех внешних сил, действующих по одну сторону от сечения относительно центра тяжести поперечного сечения (можно говорить относительно оси, проходящей через центр тяжести сечения и перпендикулярной плоскости действия сил).

Правило знаков (рис.7). Продольная сила в поперечном сечении балки положительная(N= + F_x^внеш), если внешняя сила (F_x^внеш) направлена влево слева от сечения, а справа от сечения – вправо.

Поперечная сила в поперечном сечении балки положительная (Q= + F_z^внеш), если внешняя сила (F_z^внеш) направлена вверх слева от сечения, а справа от сечения– вниз.

Изгибающий момент в поперечном сечении балбалки положителен(M =+ M^внеш), если

момент внешней силы (M^внеш) направлен походу часовой стрелки слева от сечения, а справа от сечения– против хода часовой стрелки.

Рис.7

Продольная, поперечная сила и изгибающий момент отрицательны, если направления внешних сил и моментов внешних сил противоположны направлениям, указанным на рис.7.

В ходе решения задач, приведенных ниже, будет показан фрагмент правила знаков, когда будем составлять выражения для продольных сил, поперечных сил и изгибающих моментов.

Эпюры и правила их построения

При расчетах на прочность очень важно знать распределение усилий по длине балки. Для этого строятся графики распределения усилий по длине балки, так называемые эпюры. Рассмотрим правила построения эпюр.

1. Определяем опорные реакции.

2. Разбиваем расчетную схему балки на участки. Границами участка являются точки приложения сосредоточенных сил, сосредоточенных моментов, точки начала и конца распределенной нагрузки.

3. Используя метод сечений, проводим поперечное сечение в пределах рассматриваемого участка, которое разбивает балку (раму) на две части. Выбираем левую или правую от сечения часть балки (рамы). Для определения внутренних усилий в сечении совершенно безразлично, какую часть рассматривать, левую или правую. Величины внутренних усилий будут одни и те же.

4. Составляем выражения для продольной силы, поперечной силы и изгибающего момента с учетом правила знаков.

5. Определяем значения продольных сил, поперечных сил и изгибающих моментов на границах участка. Если функциональная зависимость указанных силовых факторов нелинейная, вычисление производим еще и в промежуточной точке, например, где функция достигает экстремального значения.

6. Используя полученные значения продольных сил, поперечных сил и изгибающих моментов строим графики внутренних усилий. График каждого внутреннего усилия строится на отдельной линии, параллельной оси балки, и располагаются они непосредственно под балкой. Положительные значения продольных сил(N ) и поперечных сил(Q ) откладываются вверх, положительные значения изгибающих моментов(M ) откладываются вниз, т.к. эпюра M строится на растянутом волокне. Поле между графиком и нулевой линией (ось x) заштриховывается. На поле ставится знак внутреннего усилия в кружочке.

Задача 1. Построение эпюр внутренних силовых факторов в консольной балке

Исходные данные:

а=2 м; b=3 м;

F=4 кН; q₁=6 кН/м; q₂=5кН/м;

m=9 кНм.

Рис.8

Для заданной расчетной схемы консольной балки (рис.8) требуется:

1. Определить опорные реакции.

2. Построить эпюры поперечных сил (Q) и изгибающих моментов(M).

Решение

Определение опорных реакций

Заменяем действие жесткой заделки следующими реакциями: вертикальной силой R_A, горизонтальной силой H_A и моментом M_A (рис.9).

Рис.9

Действие распределенных нагрузок q₁и q₂ заменим их равнодействующими:

Rq₁= q₁·2м= 6 кН/м·2м=12кН; Rq₂= q₂·3м= 5 кН/м·3м=15кН.

Составляем три уравнения статики:

Сумма проекций всех сил на ось x равна нулю:

S F_x=0: H_A= 0.

Сумма моментов всех сил относительно точки A равна нулю:

S M_A =0: –F·5м +Rq₁(1м+3м) – m - Rq₂·1,5м + M_A=0;