Однаково розподілені випадкові величини

Для вирішення багатьох практичних завдань необхідно знати комплекс умов, завдяки якому результат сукупного впливу великої кількості випадкових чинників майже не залежить від випадку. Дані умови описані в декількох теоремах, що носять загальну назву закону великих чисел, де випадкова величина _до дорівнює 1 або 0 залежно від того, чи буде результатом k-го випробування успіх або невдача. Таким чином, Sn є сумою n взаємно незалежних випадкових величин, кожна з яких приймає значення 1 і 0 з імовірностями р і q.

Найпростіша форма закону великих чисел - теорема Бернуллі, яка стверджує, що якщо ймовірність події однакова у всіх випробуваннях, то зі збільшенням числа випробувань частота події прагне до ймовірності події і перестає бути випадковою.

Теорема Пуассона стверджує, що частота події в серії незалежних випробувань прагне до середнього арифметичного його імовірностей і перестає бути випадковою.

Граничні теореми теорії ймовірностей, теореми Муавра-Лапласа пояснюють природу стійкості частоти появ події. Природа ця полягає в тому, що граничним розподілом числа появ події при необмеженому зростанні числа випробувань (якщо ймовірність події у всіх випробуваннях однакова) є нормальний розподіл.

Центральна гранична теорема пояснює широке поширення нормального закону розподілу. Теорема стверджує, що завжди, коли випадкова величина утворюється в результаті складання великого числа незалежних випадкових величин з кінцевими дисперсіями, закон розподілу цієї випадкової величини виявляється практично нормальним законом.
Теорема Ляпунова пояснює широке поширення нормального закону розподілу і пояснює механізм його утворення. Теорема дозволяє стверджувати, що завжди, коли випадкова величина утворюється в результаті складання великого числа незалежних випадкових величин, дисперсії яких малі порівняно з дисперсією суми, закон розподілу цієї випадкової величини виявляється практично нормальним законом. А оскільки випадкові величини завжди породжуються нескінченною кількістю причин і найчастіше жодна з них не має дисперсії, порівнянної з дисперсією самої випадкової величини, то більшість зустрічаються в практиці випадкових величин підпорядковане нормальному закону розподілу.

В основі якісних і кількісних тверджень закону великих чисел лежить нерівність Чебишева. Воно визначає верхню межу ймовірності того, що відхилення значення випадкової величини від її математичного сподівання більше деякого заданого числа. Чудово, що нерівність Чебишева дає оцінку ймовірності події для випадкової величини, розподіл якої невідомо, відомі лише її математичне сподівання і дисперсія.
Нерівність Чебишева. Якщо випадкова величина x має дисперсію, то для будь-якого x> 0 справедливо нерівність , Де M x і D x - математичне очікування і дисперсія випадкової величини x.
Теорема Бернуллі. Нехай x _n - число успіхів у n випробуваннях Бернуллі і p - ймовірність успіху в окремому випробуванні. Тоді при будь-якому s> 0 справедливо .

Теорема Ляпунова. Нехай s _1, s _2, ..., s _n, ... - необмежена послідовність незалежних випадкових величин з математичними очікуваннями m _1, m _2, ..., m _n, ... і дисперсіями s ₁ ^2, s ² _2, ..., s _n ² ... . Позначимо , , , .

Тоді = Ф (b) - Ф (a) для будь-яких дійсних чисел a і b, де Ф (x) - функція розподілу нормального закону.

Нехай дана дискретна випадкова величина . Розглянемо залежність числа успіхів Sn від числа випробувань n. При кожному випробуванні Sn зростає на 1 або на 0. Це твердження можна записати у вигляді:
Sn = ₁ + ... + _n. (1.1)

Закон великих чисел. Нехай { _{до}-послідовність} взаємно незалежних випадкових величин з однаковими розподілами. Якщо математичне сподівання = М ( _к) існує, то для будь-якого > 0 при n
(1.2)

Інакше кажучи, ймовірність того, що середнє S _n / n відрізняється від математичного очікування менше, ніж на довільно заданий , Прагне до одиниці.

Центральна гранична теорема. Нехай { _{до}-послідовність} взаємно незалежних випадкових величин з однаковими розподілами. Припустимо, що і існують. Нехай Sn = ₁ + ... + _n, Тоді для будь-яких фіксованих
Ф ( ) - Ф ( ) (1.3)
Тут Ф (х) - нормальна функція розприділенню. Цю теорему сформулював і довів Лінлберг. Ляпунов та інші автори доводили її раніше, при більш обмежувальних умовах. Необхідно уявити собі, що сформульована вище теорема є лише дуже окремим випадком набагато більш загальної теореми, яка в свою чергу тісно пов'язана з багатьма іншими граничними теоремами. Відзначимо, що (1.3) набагато сильніше, ніж (1.2), так як (1.3) дає оцінку для ймовірності того, що різниця більше, ніж .

Доказ закону великих чисел

Проведемо цей доказ у два етапи. Спочатку припустимо, що існує, і зауважимо, що в цьому випадку D (S ") по теоремі про дисперсії суми. Згідно нерівності Чебишева, при будь-якому t> 0
(2.1)

При t> n ліва частина менша, ніж , А остання величина прагне до нуля. Це завершує першу частину докази.
Відкинемо тепер обмежувальне умова існування D ( ). Цей випадок зводиться до попереднього методом зрізання.
Визначимо два нові набори випадкових величин, що залежать від ,

Наступним чином:

U k = , V k = 0,

якщо (2.2)
U k = 0, V k = ,

Якщо
Тут k = 1, ..., п і фіксовано.

Тоді = U k + V k (2.3) при всіх k.

Нехай {f ( j)} - розподіл ймовірностей випадкових величин (Однакове для всіх j). Ми припустили, що = M ( ) Існує, так що сума
(2.4)
кінцева. Тоді існує
(2.5) де підсумовування проводиться по всіх тих j, при яких . Відзначимо, що хоча і залежить від п, але воно однакове для

U 1, U 2, ..., U n.

Висновок

Закон великих чисел – у математичному значенні – закон теорії ймовірності, сформульованої у формі теорем Бернуллі, Пуассона і Чебишева з їхніми узагальненнями. Закон великих чисел встановлює стійкість середніх характеристик великої кількості дослідів, тобто наближених характеристик до деяких сталих величин. Названі теореми набули широкого застосування, започаткувавши один із центральних розділів теорії імовірності – граничного розподілу, а також стали одним із розділів математичної статистики.

Водночас закон великих чисел у практичних дослідженнях набув закону статистики, є основою для розв'язку такої задачі за спостережуваними у реальності наслідками або подіями (явищами) знайти закони і причини цих подій. Оскільки кожна подія має свою причину, тобто породжена дією постійних і водночас випадкових причин, то закон виявляється «у формі випадковості», тобто у вигляді хаотичного коливного (розсіяного) ряду чисел. Відкриття такого закону можливе лише на основі розгляду відповідних йому подій у сукупності й обчисленні масових або середніх спостережень по них при використанні великих чисел. Однак аналіз подій у сукупності, обсяг яких завжди обмежений, дає можливість знаходити масові властивості та масові закономірності, які лише за певних умов і до того ж наближено можуть стати вираженням законів цих подій. Тобто оскільки на практиці число спроб при проведенні спостережень скінченне, то статистична величина неточно відображає закон цих подій, вона неминуче супроводжується випадковою похибкою, можливо, величина її може бути обчислена за допомогою методів теорії імовірності. Слід врахувати, що за однакового числа спостережень закономірність даних подій тим точніша, чим менша його розсіяність (дисперсія) тобто закономірність одиноких подій відображається менш точно, ніж масових (частіших) подій.

Отже, за поодинокими подіями, як і за подіями з великою дисперсією, потрібно проводити велику кількість спостережень. Будь-який статистичний ряд – це коливний ряд чисел, і закон подій виражається у вигляді тенденції, що проходить між коливаннями цих чисел. Чим більше число однорідних спостережень, тим більш вираженим буде цей ряд чисел і тим точнішого виразу набуде тенденція. Збільшуючи число таких спостережень і переходячи до границі, можна отримати вираз тенденції без випадкових коливань, тобто вираз закону, що лежить в основі даної події і має назву емпіричного закону.

Список використаних джерел

1. Економічна енциклопедія: У трьох томах. Т. 1. / Редкол.: …С. В. Мочерний (відп. ред.) та ін. – К.: Видавничий центр “Академія”, 2000. – 864 с.

2. Чистяков В. П. Курс теории вероятностей, — М., 1982.