Основная лемма вариационного исчисления

Связь решения дифференциального уравнения 2-го порядка

С нахождением минимума квадратичного функционала.

Уравнение Эйлера-Лагранжа. Основная лемма вариационного

Исчисления. Интегральное тождество. Естественные краевые условия

Связь решения дифференциального уравнения 2-го порядка

с нахождением минимума квадратичного функционала.

Пусть имеется краевая задача для дифференциального уравнения 2-го порядка:

Покажем, что математически проблема решения краевой задачи для дифференциального уравнения (на примере (1),(2)) эквивалентна задаче вариационного исчисления – о минимуме интеграла, для которого дифференциальное уравнение является уравнением Эйлера-Лагранжа.

Рассмотрим функционал (интеграл)

(3)

Он получит для всякой функции , заданной при , определенное значение. Таким образом, величина интеграла зависит от выбранной кривой, т.е. - функционал.

Поставим задачу: найти кривую , проходящую через заданные точки (а,А) и ( ) и дающую минимальное значение интегралу .

Пусть есть функция, дающая интегралу минимальное значение.

y Пусть - любая непрерывная

со своей производной функция и

(b,B) . Тогда

удовлетворяет граничным условиям (2)

и при достаточно малых сколь угодно

(a,A) близка к функции . Так как

дает , то при должно

а b x быть . Интеграл как функция от при имеет минимум. Поэтому

(4)

(3)

= (4¢)

При малых дает главную часть приращения интервала при переходе от кривой к кривой и это выражение называют вариацией интеграла и обозначают :

(5¢) , т.е. вариация

должна быть равной нулю, какова бы ни была .

Преобразуем первое слагаемое, интегрируя по частям:

.

(5)

которое должно быть равно нулю при любых . Это возможно только в том случае, если удовлетворяет дифференциальному уравнению

уравнением Эйлера-Лагранжа (6)

Итак, мы установили, что функция , дающая минимум интегралу

необходимо должно удовлетворять уравнению (6). Значит, решение краевой задачи (1), (2) можно заменить решением вариационной задачи (3),(2).

Уравнение, которому удовлетворяют экстремальные кривые, называется уравнением Эйлера-Лагранжа для данной вариационной проблемы. В данном случае это уравнение (6) – самосопряженное дифф. уравнение.

Общее решение (6) содержит в своем составе две произвольные постоянные. Через две точки (а,А) и (в,В) можно, вообще говоря, провести одну кривую, удовлетворяющую уравнению (6). Можно показать, что именно эта кривая представляет решение экстремальной проблемы. Покажем это.

Пусть - непрерывно дифференцируемая функция

и - непрерывны на .

- решение полученное, а - другая функция, удовлетворяющая

тогда , если и .

(7)

Первое слагаемое есть . Второе слагаемое с учетом условий Значит и дает интегралу абсолютный экстремум .

Замечание. Следует отметить, что всякое линейное дифф. уравнение 2-го порядка является уравнением Эйлера-Лагранжа для некоторого интеграла (функционала) типа (3). Действительно, любое уравнение (1¢) умножением на можно

т.е.

, для которого выполняется (3).

В общем случае для функционала

при (8)

Уравнение Эйлера-Лагранжа имеет вид ( в классе гладких функций)

, (9)

Действительно,

Пример. Уравнение изгиба балки с граничными условиями получается как уравнение Эйлера-Лагранжа из функционала:

.

. M_x q

z

Примечания. 1) Пусть имеется функционал и граничные условия:

Соответствующее уравнение Эйлера-Лагранжа имеет вид:

(10¢) - дифференциальное уравнение 2n порядка.

2) (11)

или (11¢)

3) (12)

(12¢)

Пример . функционала

дает

4) Методы решения дифференциальных уравнений путем минимизации функционалов (соответствующих) называют прямыми методами вариацион-ного исчисления. Методы минимизации функционалов путем решения соответствующих уравнений Эйлера-Лагранжа называются непрямымиметодами вариационного исчисления.

Основная лемма вариационного исчисления

Вывод уравнений Эйлера-Лагранжа по (3),

при (8), (10), (11),

(12) из условия опирается на основную лемму вариационного исчисления:

Если -функция, непрерывная на ограниченном интервале и для каждой функции , имеющей непрерывную производную и обращающейся в нуль в точках и , то на .