Моделирование движения маятника

Цель работы: изучить основные принципы построения моделей динамических систем в визуальной среде Simulink на примере моделирования движения физического маятника; научиться находить численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений.

Краткие теоретические сведения

Рассмотрим физическую модель маятника – тонкого невесомого стержня заданной длины с грузом, закрепленным на его конце (рис. 2).

Рис. 2. Параметры модели маятника

Предположим, что во время перемещения в пространстве груз испытывает сопротивление окружающей среды. Движение маятника описывается системой нелинейных дифференциальных уравнений:

где a–угол отклонения маятника от вертикального положения; w–угловая скорость маятника; g – ускорение свободного падения; l – длина маятника; – коэффициент сопротивления окружающей среды; m – масса груза; M – момент сил, действующих на маятник (управляющее воздей-ствие).

Указания к выполнению

Приступая к выполнению работы, необходимо ознакомиться с основами построения моделей в среде Simulink пакета MATLAB.

Новую модель Simulink можно создать, выбрав в главном меню MATLAB пункт File → New → Model. Затем в меню Simulation → Configuration Parameters необходимо задать время начала и окончания работы модели (например, 0 и 20 с), назначить постоянный интервал времени для численных алгоритмов (Solver options → Type → Fixed-step) и определить его величину (например: Fixed-step size = 0.01).

Модель Simulink необходимо сохранить под выбранным именем. В имени могут использоваться символы латиницы и цифры, но при этом следует избегать служебных символов. Директорию, в которой появился файл модели, нужно сделать активной в окне Current Directory.

Модель формируется из имеющихся в библиотеке Simulink блоков
с использованием меню View → Library Browser или пиктограммы
в панели инструментов.

Для построения динамической модели маятника (рис. 3) предложим следующий набор параметров: ,

Рис. 3. Модель маятника в Simulink

Запуск модели маятника приводит к появлению окна Dynamics–Angle, в котором отображается траектория его движения – зависимость угла отклонения по отношению к вертикали от времени (рис. 4).

Рис. 4. График движения маятника

Для изменения масштаба отображения графика можно воспользоваться пиктограммами «Бинокль», «Лупа» или другими в панели инструментов.

Порядок выполнения работы

1. Записать обыкновенное дифференциальное уравнение, описывающее движение маятника (невесомого стержня на подвесе с грузом), совершающего колебания в одной плоскости в поле гравитационных сил и испытывающего сопротивление окружающей среды.

2. Представить полученное дифференциальное уравнение в интегральной форме. Собрать из блоков в среде Simulink соответствующую этому описанию модель.

3. Задать параметры маятника и выбрать начальные условия. Отобразить на графике зависимость угла отклонения маятника от времени.

4. Сделать выводы и оформить отчет о выполнении работы.

Задания для самоподготовки

1. Самостоятельно выведите уравнение движения маятника.

2. Экспериментальным путем покажите влияние массы и длины маятника на характер его колебаний.

3. В справочной системе Simulink найдите описание блока X-Y Plot. Примените этот блок для построения траектории движения маятника на фазовой плоскости.

4. Постройте математическую модель пружинного маятника и реализуйте ее в системе Simulink.

Лабораторная работа 5

Модель полЕта двухступенчатой ракеты

Цель работы: построить физическую модель полета реактивного летательного аппарата (ракеты) с применением закона сохранения импульса (при построении модели предполагается, что ракета имеет две ступени, функционирующие последовательно с целью увеличения максимальной скорости согласно принципу Циолковского); реализовать модель полета ракеты в среде Simulink.