ПРИМЕНЕНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ ДЛЯ ОПРЕДЕЛЕНИЯ РАСЧЕТНЫХ ГИДРОЛОГИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК

Для определения колебаний стока и расчетных значений гидро­логических характеристик широко используются кривые распреде­ления, а для исследования приближенных связей между гидроло­гическими характеристиками — метод корреляции.

Кривые обеспеченности. Первоначальное представление о кри­вых распределения дано при изложении методики обработки уровней воды на статистической основе. Если интервал уровней для построения кривой частоты уровней выбран небольшим, то кривые, изображенные на рис. 2.6, станут плавными. Таким же способом могут быть проанализированы любые гид­рологические характеристики: уровни воды, расходы воды (сред­ние, максимальные, минимальные); объемы стока и их модульные коэффициенты. Например, модульный коэффициент минимального расхода есть отношение минимального расхода в данном году к его среднему значению за длительный период времени.

Рис. 3.1. Общий вид асимметричных кривых частоты (А) и обеспеченности (Б)

Приведем кривую частоты и обеспеченности (см. рис. 2.6) к

безразмерному виду. Если частоту mi поделить на общее число членов ряда п, получим относительную частоту. Горизонтальная ось кривой обеспеченности станет безразмерной, если порядковый но­мер члена убывающего ряда поделить на п, т. е. р. Величина п изменяется от 0 до 1,0 (или в процентах от 0 до 100%).
;На рис. 3.1 изображены в схематическом виде кривая частот и кривая обеспеченности модульных коэффициентов. Норма модульного коэффициента равна единице, так как

где Qi — расход воды с порядковым номером f в гидрологическом ряде; п — число членов ряда.

Рассмотрим характерные точки на кривой частоты и кривой обеспеченности. Прежде всего это начало и конец кривых, определяющих границы колебания переменной (признака) К. Так как характеристики стока величины существенно положительные, то нижним пределом кривых при /?=100% должен быть нуль (для минимальных за год расходов воды пересыхающих или промерза­ющих рек) или наименьшее значение переменной (для средних и максимальных за год расходов воды всех рек, кроме пустынь). Верхний предел кривых распределения по существу конечная ве­личина. Однако в гидрологических расчетах используются кривые распределения вероятностей, допускающие изменение модульного коэффициента в интервале оо>/С^О. В пользу расширения верх­него предела кривой обеспеченности до бесконечности при р-»-0 могут быть высказаны следующие соображения. Предположим, что методами гидрометрии установлен предель­ный расход воды. Очевидно, что он будет иметь определенную, хотя и очень малую вероятность превышения. Поэтому логично предпо­ложить, что при р->-0 К-*-°о, т. е. мы не можем зафиксировать рас­ход воды при р=0. С. К. Крицкий и М. Ф. Менкель — авторы урав­нения общепринятой кривой распределения, применяющейся в гид­рологических расчетах, отмечают: «В нашем распоряжении нет данных, которые позволили бы фиксировать величину расхода воды реки, превышение которой можно было бы признать абсолют­но невероятным» (Гидрологические основы речной гидротехники. М., 1950, с. 253).Характерными ординатами на кривых частоты и обеспеченности являются:

1. Средняя арифметическая ряда (в данном случае /Со=1,0) —параметр, около которого происходит колебание статистического ряда. На рис. 3.1, £ показаны штриховкой значения К>1 при по­вышенной водности и значения К< 1 при пониженной водности посравнению с нормой. Она называется центром распределения или центром группировки статистических данных.

2. Медиана К₅₀ — значение ординаты убывающего ряда, име­ющее обеспеченность р—50%.

3. Мода /См — наибольшая ордината кривой частоты. При симметричных кривых распределения К.о=Кьо=Кт&-Кривые обеспеченности с гидрологической- точки зрения под­разделяются на кривые фазоразнородных и фазооднородных рас­ходов. Предположим, что построена кривая продолжительности (обеспеченности) суточных расходов для данного года, принятого за характерный. По ординате кривой отложены расходы («или их модульные коэффициенты), относящиеся к разным фазам, водного
режима реки (половодью, межени), независимо от их хронологиче­ской последовательности. Такие кривые называют кривыми фазоразнородных расходов.

Расходы воды, занимающие в разные годы одно и то же поло­жение по отношению к фазам водного режима реки в году, назы­ваются фазооднородными. Так как даты наступления и окончания характерных фаз стока изменяются по годам, то при выделении фаз за основу принимаются характерные черты самой фазы.

К фазооднородным характеристикам стока относятся объем стока за год или часть года (сток весеннего половодья, меженний сток и др.), максимальные расходы за год, минимальные расходы за год. Следовательно, при построении кривых обеспеченности фазооднородных гидрологических характеристик число членов гидро­логического ряда равно числу лет наблюдений за режимом реки. Кривые обеспеченности строятся также отдельно для максималь­ных расходов воды снегового и дождевого происхождения.

Аппарат математической статистики используется в гидрологии главным образом для получения расчетных гидрологических харак­теристик, поэтому возникает необходимость в экстраполяции кри­вых обеспеченности. Математическая статистика предлагает раз­ные типы кривых распределения. Детально они рассмотрены и про­анализированы применительно к гидрологическим задачам, во мно­гих курсах гидрологии и в отдельных монографиях. В настоящее время в инженерной гидрологии за основные приняты биноминаль­ная кривая обеспеченности (гамма-распределение, определяемое двумя параметрами) и кривая трехпараметрического гамма-рас­пределения, предложенная С. К. Крицким и М. Ф. Менкелем. Ор­динаты этих кривых даны в виде таблиц в зависимости от парамет­ров уравнений (см. Руководство [40]). В учебнике обозначения гидрологических характеристик даются в соответствии с указания­ми СН-435—72 [47]. Параметрами кривых обеспеченности являются норма гидрологической характеристики (см. с. 16), коэффициент вариации и коэффициент асимметрии.

Предположим, что варьирующей величиной является расход qj. Тогда норма расхода будет равна:

(3.1)

где Q, — расход с порядковым номером i в ряду наблюдений; п — число членов ряда (число лет гидрометрических наблюдений для фазооднородных характеристик).

Мерой рассеивания (изменчивости) статического ряда служит среднее квадрэтическое отклонение:

(3.2)

Для сопоставления гидрологических рядов различных рек по признаку их изменчивости а<з нормируется по величине Q₀. Отно­шение среднего квадратического отклонения к среднему арифмети­ческому значению ряда называется коэффициентом изменчивости или вариации ряда:

Следовательно, коэффициент вариации можно определить как среднее квадратическое отклонение ряда, образованного модуль­ными коэффициентами. Из данных рис. 3.1, А следует, что степень асимметрии кривой может быть охарактеризована разностью Ко—Км- Она называется радиусом асимметрии радиусом асимметрии.

Если Ко>Км (как показано на рисунке), то асимметрия считается положительной, если /Со<Км — отрица­тельной.

В качестве меры асимметричности статистического ряда прини­мается среднее значение.

В качестве меры асимметричности при использовании биноминальной кривой обеспеченности используется коэффициент скошен­ности S:

где Q_p, Qso, qioo-p — ординаты кривой обеспеченности (квантили), расположенные в убывающем порядке. Ординаты Q_p и qioo-p расположены на равном расстоянии от центра распределения Qso. При разделении кривой обеспеченности на четыре и на десять частей квантили, располагающиеся на границах частей, называют со­ответственно, квартилями и децилями.

Поделив числитель и знаменатель на Q₀ в формуле (3.7) и при­няв р=5%, как это рекомендовано при использовании биноми­нальной кривой обеспеченности, получим

Ординаты кривых обеспеченности можно взять из специальных таблиц [40]. Отметим некоторые особенности их применения. В таб­лицах ординат кривых трехпараметрического гамма-распределения даны модульные коэффициенты при р, изменяющемся от 0,001 до 99%, и отношения от 1 до 4.

Изложенное позволяет записать формулу для Кр в виде:

Трехпараметрическое гамма-распределение отличается большей гибкостью, чем биноминальное, так как условие оо>/С;^0 по от­ношению к последнему соблюдается только при С₈=2С„. Таблицы значений Кр и Ф(р, C_s) представляют собой численное решение уравнений соответственно трехпараметрического гамма-распреде­ления и биноминальной кривой обеспеченности.

Аналитическая и эмпирическая кривые обеспеченности и клет­чатки вероятностей.Имея построенную кривую-обеспеченности, лег­ко определить модульный коэффициент при заданной (расчетной)-обеспеченности, а следовательно, и расчетную гидрологическую ха­рактеристику. При очень низких (р<5%) и очень высоких значе­ниях (р>95%) обеспеченности приходится экстраполировать кривую обеспеченности. При наличии гидрологических рядов жела­тельно предварительное совмещение аналитической (теоретиче­ской) и эмпирической кривых обеспеченности. Под аналитической кривой обеспеченности понимается кривая, построенная по коорди­натам кривых распределения, т. е. найденных теоретическим путем (параметры кривых находят по опытным данным). Следовательно, аналитическая кривая обеспеченности может быть построена при любых значениях р — от 0 до 100%. Эмпирическая кривая обеспе­ченности может быть построена только в определенных пределах р (например, от 5 до 95%), зависящих от числа членов ряда.

Построение эмпирических кривых затруднительно, если в зонах малых и больших значений р кривые недостаточно освещены гид­рометрическими данными. Кроме того, на концевых участках кри­вые обеспеченности имеют более сложные очертания и небольшо­му приращению р соответствует большое приращение гидрологиче­ской характеристики. Указанные трудности можно устранить с помощью клетчаток вероятностей, позволяющих спрямлять кри­вые обеспеченности. Для построения клетчаток шкалу обеспеченностей, или шкалу гидрологических характеристик, или ту и дру­гую трансформируют таким образом, чтобы в прямоугольных коор­динатах кривая обеспеченности выражалась прямой линией. На осях координат против соответствующих делений выписывают чис­ловые значения обеспеченностей и гидрологических характеристик. С аналогичным построением мы уже встречались ранее при экс­траполяции кривой расходов путем построения логарифмической анаморфозы (с. 151). В гидрологических расчетах используют два типа клетчаток: клетчатка вероятностей для кривых с умеренной ассимметричностью (вертикальная ось равномерная) и клетчатка вероятностей для кривых со значительной асимметричностью (обе оси с неравномерной шкалой). На рис. 3.2 показана клетчатка пер­вого типа. На ее вертикальной оси наносят цифровые значения гидрологической характеристики. Если используются модульные коэффициенты, то значение С=1 надо поставить примерно на се­редине вертикальной оси; значение К>1 выше этого значения, а С<1 — ниже. На нижней горизонтальной оси нанесены обеспе­ченности р от 0,01 до 99,99%, а на верхней — повторяемости N. Число лет N, в течение которых гидрологическая характеристика повторяется в среднем один раз, называется повторяемостью гид­рологического явления (характеристики). Повторяемость выписана влево и вправо от вертикальной оси (при N=2) от 2 .до 10000. Расчет шкалы р по шкале V выполнен по формулам:

при

при

где р выражено в процентах. При р=50% обе формулы дают N=2. С помощью формулы (3.11) оценивается повторяемость высоких' значений гидрологических характеристик (К>Ко=1), а с помощью формулы (3.12) —низких (К<Ко =1). Например, при р=40,1% расход Qo,i (или модульный коэффициент Кол) —высокий расход с повторяемостью 1 раз в 1000 лет, т. е. согласно формуле (З.И) #=1000. При р=99,9% расход Q₉₉,9 — низкий расход с по­вторяемостью 1 раз в 1000 лет; согласно формуле (3.12) N=

Рис. 3.2. Клетчатка вероятностей для кривых с умеренной асимметричностью:

/ — экстраполированная часть кривой при малых обеспеченностях, 2 – выравненная эмпи­рическая кривая обеспеченности, 3- огибающие опытных точек, 4 - экстраполированная часть кривой при больших обеспеченностях. На рис. 3.2 шкалы даны в укрупненном виде, показаны зоны экстраполяции (в виде примера) при ЛГ=100. Условно пока­зана зона рассеивания опытных точек.

Уточним методику построения эмпирической кривой обеспечен­ности. Предположим, что мы имеем убывающий гидрологический ряд в виде модульных коэффициентов: К\>К2>Кз, —, Кт> — > >К_п, т изменяется от 1 до п. Подсчет эмпирических обеспеченностей по формуле

при конечном и в особенности ограниченном п содержит система­тическую ошибку. Эта формула дает удовлетворительные резуль­таты только при большом п и для членов ранжированного ряда, расположенных около центра распределения. Кроме того, при раз­личных значениях л всегда для первого члена ряда/> =— %, а для последнего —р„= 100%. Для приведения в большее соответствие теоретической и эмпирической кривых обеспеченности предложены формулы для расчета эмпирических обеспеченностей:

1) формула С. Н. Крицкого и М. Ф. Менкеля, применяемая при
расчетах максимального стока воды;

(3.14)

2) формула Н. Н. Чегодаева, применяемая для расчета годово­го и минимального стока:

(3.15)

Линейная корреляция. Так как гидрологические процессы — ре­зультат взаимодействия многих факторов, учет которых в полной мере представляется затруднительным, в гидрологических расчетах выделяются главные факторы, определяющие основной вид связи между изучаемыми гидрологическими характеристиками. Неучтен­ные факторы (менее существенные) обусловливают характерные для статистических (стохастических) связей поле рассеяния точек на кривых связи основных характеристик.

Один из способов выявления статистических связей между пе­ременными величинами — корреляция (взаимозависимость). Кор­реляционная связь, выражаемая в форме уравнения, называется уравнением регрессии. Различают линейную и нелинейную корре­ляции. Если связь между гидрологическими характеристиками не­линейная, можно преобразовать исходные данные таким образом, что связь между преобразованными величинами станет линейной. Например, связь между⁴ логарифмами исходных величин может стать линейной. В гидрологических расчетах часто используют корреляционные связи между двумя переменными. При изучении гидрологических процессов, обусловленных многими факторами, необходимо установить корреляционную зависимость между не­сколькими (многими) переменными. Такая корреляция называется множественной.

Рассмотрим линейную корреляцию между двумя переменными. Предположим, что необходимо выявить связь между характеристи­ками стока двух рек в заданных створах. Очевидно, что такая -связь возможна, если реки находятся в сходных физико-географи­ческих условиях и если сравниваются фазооднородные характери­стики стока, например максимальные или минимальные расходы.

Обозначим расходы воды одной реки через Q*, а другой — через ^о за период п лет. Расходы Q< и Q_a образуют ряды, содержащие в каждом п членов. Для конкретизации задачи будем считать, что | расходы Qi относятся к створу проектируемого сооружения (плотина, мост и др.), т. е. расчетному. Расходы воды Q₀ относятся к створу реки, в котором гидрологические характеристики изменя­ются аналогично изменению характеристик в расчетном створе. Такие реки называются реками-аналогами.

Гидрологический анализ начинается с построения графика по координатам Q*, Q_a- При большом рассеянии точек на графике констатируем отсутствие связи и выбираем другой створ на реке-аналоге или на другой реке, которая используется в качестве ана­лога. Если точки на графике группируются около прямой линии, можно констатировать наличие корреляционной связи. Для коли­чественной оценки степени корреляции применяется коэффициент корреляции, который при линейной корреляции между двумя пе­ременными выражается формулой

Используя формулу (3.2), выражение (3.16) перепишем в виде

(3.17)

где Qoi, Qoa — средние значения Q» и Q_a;0Q,-, а$_а —средние квадратические отклонения, для гидрологических рядов Q» и Q_a.

Если отсутствует связь между переменными Qi и Q_a, то выра­жение, стоящее в числителе формулы (3.16), равно нулю и, следо­вательно, г=0. При функциональной связи коэффициент корреля­ции по абсолютной величине равен единице. При г положительном связь между переменными прямая, при г отрицательном — об­ратная.

Уравнение, выражающее линейную корреляционную связь, име­ет вид

(3.18)

и называется уравнением прямой регрессии Qi no Q_a, где Ri/_a—~ коэффициент регрессии, равный

(3.19)

Уравнение регрессии Q_a no Qt имеет вид

(3.20) (3.21)

Графики уравнений (3.18) и (3.20) имеют общую точку с коор­динатами Qo,- и Qoa.