Формулы Бернулли, Муавра-Лапласа и Пуассона.

Повторные испытания.

Пусть производятся испытания, в каждом из которых может появиться событие А или событие . Если вероятность события А в одном испытании не зависит от появления его в любом другом, то испытания называются независимыми относительно события А. Будем считать, что испытания происходят в одинаковых условиях и вероятность появления события А в каждом испытании одна и та же. Обозначим эту вероятность через р, а вероятность появления события через q (q=1-p).

Вероятность того, что в серии из n независимых испытаний событие А появится ровно m раз, обозначим через . Тогда верна формула Бернулли: .

Пример 1. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле для данного стрелка 0,7 и не зависит от номера выстрела. Найти вероятность того, что при пяти выстрелах произойдёт ровно два попадания в мишень.

Решение. Здесь n=5, m=2, p=0,7, q=1-0,7=0,3. Тогда по формуле Бернулли имеем

Число , которому при заданном n соответствует максимальная вероятность , называется наивероятнейшим числом появления события А. При заданных n и p это число определяется неравенствами:

Пример 2. Известно, что из числа зрителей определённой телепрограммы 70% смотрят и рекламные блоки. Группы, состоящие из трёх наугад выбранных телезрителей, опрашивают относительно содержания рекламного блока. Найти наивероятнейшее число лиц в группе, которые смотрят рекламные блоки.

Решение. Здесь n=3, p=0,7, q=1-0,7=0,3. Тогда или , откуда =2.

В случае, когда число n испытаний велико, расчёты по формуле Бернулли становятся затруднительными. Поэтому при больших n вместо неё, как правило, используют приближенные формулы Муавра – Лапласа и Пуассона.

Локальная теорема Муавра – Лапласа. Вероятность того, что в n независимых испытаниях событие А наступит ровно m раз, вычисляется по формуле:

, где - функция Гаусса.

Равенство (*) тем точнее, чем больше n и чем р ближе к 0,5.

Функция - чётная, её значения для приводятся в приложениях учебников.

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Повторные испытания. Формулы Бернулли, Муавра-Лапласа и Пуассона. Стр. 1

Пример 3. Вероятность изготовления детали высшего сорта на данном станке равна 0,4. Найти вероятность того, что среди наудачу взятых 26 деталей половина окажется высшего сорта.

Решение. Здесь n=26, m=26:2=13, p=0,4, q=1-0,4=0,6. Тогда

Интегральная теорема Муавра – Лапласа. Вероятность того, что в n независимых испытаниях событие А наступит от до раз, вычисляется по формуле:

,

где - функция Лапласа.

Функция - нечётная, её значения для приводятся в приложениях учебников. Для полагают .

Пример 4. Фабрика выпускает 70% продукции первого сорта. Чему равна вероятность того, что в партии из 1000 изделий число изделий первого сорта будет заключено между 652 и 760?

Решение. Здесь n=1000, m₁=652, m₂=760, p=0,7, q=1-0,7=0,3. Тогда

Формула Пуассона.Если число испытаний n достаточно велико, а вероятность р достаточно мала, причём их произведение не мало и не велико (обычно достаточно условий р<0,1; npq<10), то вероятность можно приближенно найти по формуле .

Пример 5. Вероятность того, что брошенное в почву зерно не взойдёт, равна 0,01. Чему равна вероятность того, что, что из 400 высаженных семян не взойдут 3?

Решение. Здесь n=400, m=3, p=0,01, а=400 0,01=4. Тогда

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Повторные испытания. Формулы Бернулли, Муавра-Лапласа и Пуассона. Стр. 2

Задачи для самостоятельного решения.

№1. Монета подброшена 10 раз. Найти вероятность того, что герб выпадет: а) от 4 до 6 раз; б) хотя бы один раз.

№2. В каждом из 700 независимых испытаний событие А происходит с постоянной вероятностью 0,35. Найти вероятность того, что событие А происходит: а) точно 270 раз; б) меньше чем 270 раз и больше чем 230 раз; в) больше чем 270 раз.

№3. На телефонной станции неправильное соединение происходит с вероятностью 0,005. Найти вероятность того, что среди 200 соединений произойдёт: а) точно 1 неправильное соединение; б) меньше чем 3 неправильных соединения; в) больше чем 2 неправильных соединения.

№4. Сколько раз надо подбросить игральную кость, чтобы наивероятнейшее число выпадений двойки было равно 32?

№5. Два равносильных шахматиста играют в шахматы. Что вероятнее: выиграть одну партии из двух или две партии из четырёх?

№6. Оптовая база обслуживает 8 магазинов. От каждого из них заявка на товар на следующий день может наступить с вероятностью 0,6. Найти наивероятнейшее число заявок на следующий день и вероятность получения базой такого числа заявок.

№7. В автобусном парке ежедневно выходят на линию 100 автобусов. Вероятность выхода из строя двигателя у одного автобуса равна 0,01. Определить вероятность того, что в ближайший день выйдут из строя не более чем 2 двигателя.

№8. Вероятность того, что изделие не пройдёт контроль, равна 0,2. Найти вероятность того, что среди 400 случайно отобранных изделий не прошедшими контроль окажутся от 70 до 100 изделий.

№9. На лекции по теории вероятностей присутствуют 200 человек. Вероятность того, что день рождения определённого студента приходится на определённый день года, составляет . Найти вероятность того, что один человек из присутствующих родился 1 января, и два человека родились 8 марта.

№10. Стоимость проезда в автобусе равна 3 руб., месячный проездной билет на автобус стоит 120 руб., а штраф за безбилетный проезд составляет 10 руб. Петя 24 раза в месяц ездит на автобусе в институт и обратно. Он не покупает проездного билета, никогда не платит за проезд и считает, что вероятность быть пойманным и заплатить штраф равна 0,05. Сравнить стоимость проездного билета с наиболее вероятной величиной штрафа за 48 поездок.

Домашнее задание к практической работе №5.

№1. Вероятность поражения цели каждым из 7 выстрелов равна 0,8. Найти вероятность поражения цели: а) двумя выстрелами; б) хотя бы одним выстрелом; в) не менее чем тремя выстрелами.

№2. Вероятность появления события в каждом из 21 независимого испытания равна 0,7. Найти вероятность того, что событие наступит не менее 11 раз.

№3. Найти наивероятнейшее число наступления события А при 16 независимых испытаниях, если вероятность появления данного события в отдельном испытании равна 0,3.

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Повторные испытания. Формулы Бернулли, Муавра-Лапласа и Пуассона. Стр. 3