|
|
Определитель равен сумме произведений элементов какой-либо строки или столбца на их алгебраические дополнения.ОПРЕДЕЛИТЕЛИ ВТОРОГО И ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА
Рассмотрим таблицу из четырех чисел вида Числа в таблице обозначены буквой с двумя индексами. Первый индекс указывает номер строки, второй – номер столбца.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Определителем второго порядканазывают выражениевида:
Числа а11, …, а22 называют э л е м е т а м и определителя. Диагональ, образованная элементами а11; а22 называется г л а в н ой, а диагональ, образованная элементами а12; а21 - п о б о ч н ой. Таким образом, определитель второго порядка равен разности произведений элементов главной и побочной диагоналей. Заметим, что в ответе получается число.
ПРИМЕРЫ. Вычислить:
Рассмотрим теперь таблицу из девяти чисел, записанных в три строки и три столбца:
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2. Определителем третьего порядканазывается выражение вида:
Элементы а11; а22; а33 – образуют главную диагональ. Числа а13; а22; а31 – образуют побочную диагональ. Изобразим, схематически, как образуются слагаемые с плюсом и с минусом: " + " " – "
С плюсом входят: произведение элементов на главной диагонали, остальные два слагаемых являются произведением элементов, расположенных в вершинах треугольников с основаниями, параллельными главной диагонали. Слагаемые с минусом образуются по той же схеме относительно побочной диагонали. Это правило вычисления определителя третьего порядка называют п р а в и л о м т р е у г о л ь н и к о в.
ПРИМЕРЫ. Вычислить по правилу треугольников:
ЗАМЕЧАНИЕ. Определители называют также д е т е р м и н а н т а м и.
2-ой учебный вопрос СВОЙСТВА ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ. ТЕОРЕМА РАЗЛОЖЕНИЯ Приведенные далее свойства выполняются для определителей любого порядка. Все они могут быть доказаны непосредственной проверкой, основанной на правилах вычисления определителей.
Свойство 1. Величина определителя не изменится, если его строки поменять местами с соответствующими столбцами.
Раскрывая оба определителя, убеждаемся в справедливости равенства. Свойство 1 устанавливает равноправность строк и столбцов определителя. Поэтому все дальнейшие свойства определителя будем формулировать и для строк и для столбцов. Свойство 2. При перестановке двух строк (или столбцов) определитель изменяет знак на противоположный, сохраняя абсолютную величину.
Свойство 3. Общий множитель элементов строки (или столбца) можно выносить за знак определителя.
Свойство 4. Если определитель имеет две одинаковые строки (или столбца), то он равен нулю.
Это свойство можно доказать непосредственной проверкой, а можно использовать свойство 2. Обозначим определитель за D. При перестановке двух одинаковых первой и второй строк он не изменится, а по второму свойству он должен поменять знак, т.е. D = - D Ю 2 D = 0 Ю D = 0.
Свойство 5. Если все элементы какой–то строки (или столбца) равны нулю, то определитель равен нулю. Это свойство можно рассматривать как частный случай свойства 3 при k = 0 Свойство 6. Если элементы двух строк (или столбцов) определителя пропорциональны, то определитель равен нулю.
Можно доказать непосредственной проверкой или с использованием свойств 3 и 4. Свойство 7. Величина определителя не изменится, если к элементам какой-либо строки (или столбца) прибавить соответствующие элементы другой строки (или столбца), умноженные на одно и то же число.
Доказывается непосредственной проверкой. Применение указанных свойств может в ряде случаев облегчить процесс вычисления определителей, особенно третьего порядка. Для дальнейшего нам понадобится понятия минора и алгебраического дополнения. Рассмотрим эти понятия для определения третьего порядка.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3. Миноромданного элемента определителя третьего порядка называется определитель второго порядка, полученный из данного вычеркиванием строки и столбца, на пересечении которых стоит данный элемент. Минор элемента аi j обозначается Мi j . Так для элемента а11 минор
Он получается, если в определителе третьего порядка вычеркнуть первую строку и первый столбец. ОПРЕДЕЛЕНИЕ 4. Алгебраическим дополнением элемента определителяназывают его минор, умноженный на (-1)k , где k - сумма номеров строки и столбца, на пересечении которых стоит данный элемент.
Алгебраическое дополнение элемента аi j обозначается Аi j. Таким образом, Аi j = Выпишем алгебраические дополнения для элементов а11 и а12.
Полезно запомнить правило: алгебраическое дополнение элемента определителя равно его минору со знаком плюс, если сумма номеров строки и столбца, в которых стоит элемент, четная, и со знаком минус, если эта сумма нечетная.
ПРИМЕР. Найти миноры и алгебраические дополнения для элементов первой строки определителя:
Ясно, что миноры и алгебраические дополнения могут отличаться только знаком. Рассмотрим без доказательства важную теорему – теорему разложения определителя.
ТЕОРЕМА РАЗЛОЖЕНИЯ
Определитель равен сумме произведений элементов какой-либо строки или столбца на их алгебраические дополнения. Используя эту теорему, запишем разложение определителя третьего порядка по первой строке.
В развернутом виде:
Последнюю формулу можно использовать как основную при вычислении определителя третьего порядка. Теорема разложения позволяет свести вычисление определителя третьего порядка к вычислению трех определителей второго порядка. Рекомендуется раскладывать определитель по той строке или столбцу, где есть нули, т.к. для нулевых элементов не надо находить алгебраические дополнения. Теорема разложения дает второй способ вычисления определителей третьего порядка.
ПРИМЕРЫ. Вычислить определитель, используя теорему разложения.
использовали разложения по второй строке. Теорема разложения позволяет также вычислять определители более высокого порядка, сводя их к вычислению нескольких определителей третьего или второго порядка. Так, определитель четвертого порядка можно свести к вычислению четырех определителей третьего порядка.
3-ий учебный вопрос ТЕОРЕМА КРАМЕРА
Применим рассмотренную теорию определителей к решению систем линейных уравнений. Система двух линейных уравнений с двумя неизвестными.
Здесь х1, х2 – неизвестные; а11, …, а22 – коэффициенты при неизвестных, занумерованные двумя индексами, где первый индекс означает номер уравнения, а второй индекс – номер неизвестного. b1, b2 – свободные члены. Напомним, что под решением системы (3) понимается пара значений х1, х2, которые при подстановке в оба уравнения обращают их в верные равенства. В случае, когда система имеет единственное решение, это решение можно найти с помощью определителей второго порядка.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 5. Определитель, составленный из коэффициентов при неизвестных, называется определителем системы.
Обозначим определитель системы D. D =
В столбцах определителя D стоят коэффициенты соответственно при х1 и при, х2. Введем два д о п о л н и т е л ь н ы х о п р е д е л и т е л я , которые получаются из определителя системы заменой одного из столбцов столбцом свободных членов: D1 = Рассмотрим без доказательства следующую теорему:
ТЕОРЕМА КРАМЕРА (для случая n = 2)
Если определитель D системы (3) отличен от нуля (D № 0), то система имеет единственное решение, которое находится по формулам:
Формулы (4) называются формулами Крамера.
ПРИМЕР. Решить систему по правилу Крамера.
Ответ: х1 = 3; х2 = -1
2. Система трех линейных уравнений с тремя неизвестными:
В случае единственного решения систему (5) можно решить с помощью определителей третьего порядка. Определитель системы D имеет вид:
Введем три дополнительных определителя:
Аналогично формулируется теорема.
ТЕОРЕМА КРАМЕРА (для случая n = 3) Если определитель D системы (5) отличен от нуля, то система имеет единственное решение, которое находится по формулам:
(6) Формулы ( 6 ) – это формулы Крамера. ЗАМЕЧАНИЕ. Г. Крамер (1704 – 1752) – швейцарский математик. Заметим, что теорема Крамера применима, когда число уравнений равно числу неизвестных и когда определитель системы D отличен от нуля.
Если определитель системы равен нулю, то в этом случае система может либо не иметь решений, либо иметь бесчисленное множество решений. Эти случаи исследуются особо, с ними можно подробно познакомиться в рекомендуемой литературе. Отметим только один случай: Если определитель системы равен нулю (D = 0), а хотя бы один из дополнительных определителей отличен от нуля, то система решений не имеет (т.е. является несовместной). Теорему Крамера можно обобщать для системы n линейных уравнений с n неизвестными.
Если
формулам Крамера:
Дополнительный определитель xi заменить столбцом свободных членов. Заметим, что определители D, D1, … , Dn имеют порядок n. 2 Определитель n-го порядка
есть сумма n! членов Замечание 1. Свойства определителей 3-го порядка справедливы и для определителей n-го порядка. Замечание 2. На практике определители высоких порядков вычисляют с помощью разложения по строке или столбцу. Это позволяет понизить порядок вычисляемых определителей и в конечном счете свести задачу к нахождению определителей 3-го порядка. Пример. Вычислим определитель 4-го порядка
4 Теоремы замещения и аннулирования. Теорема замещения. Пусть D - некоторый определитель n-го порядка. Сумма парных произведений алгебраических дополнений элементов какого-нибудь ряда на любые числа q1, q2, …, qn, равна определителю D’, который получается из D заменой упомянутого ряда рядом q1, q2, …, qn. Доказательство: Пусть для определенности n=4 (аналогичные рассуждения можно провести для любого n)
В качестве заменяемого ряда возьмем первый столбец. Тогда теорема утверждает, что q1А11+ q2 А21+ …+qn Аn1=D’ где
Чтобы убедиться в справедливости (15), разложим D’ по элементам первого столбца
D’=q1Q1+ q2Q2+ q3Q3+ q4Q4, (16)
где, как обычно, Q1, Q2, Q3, Q4, - алгебраические дополнения чисел q1, q2, q3, q4. Но Q1 получается из D’ вычеркиванием первого столбца и первой строки
т. е. Q1=A11. Аналогично Q2=A21, Q3=A31, Q4=A41. Если в (16) заменить Q1, Q2, Q3, Q4 на A11, A21, A31, A41, то и получится (15).
Теорема аннулирования. Сумма парных произведений элементов какого-нибудь ряда определителя на алгебраические дополнения параллельного ряда равна нулю. Пусть для определенности n=4. Покажем, например, что
а14×A11+ а24×A21+ а34×A31+ а44×A41=0
Действительно, по теореме замещения написанная слева сумма равна определителю
заменой столбца
Метод Крамера предназначен для решения тех систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ), у которых определитель матрицы системы отличен от нуля. Естественно, при этом подразумевается, что матрица системы квадратна (понятие определителя существует только для квадратных матриц). Решение системы уравнений методом Крамера проходит за три шага простого алгоритма: 1. Составить определитель матрицы системы (его называют также определителем системы), и убедиться, что он не равен нулю, т.е. Δ≠0. 2. Для каждой переменной xi(i=1,n¯¯¯¯¯¯¯) необходимо составить определитель Δxi, полученный из определителя Δзаменой i-го столбца столбцом свободных членов заданной СЛАУ. 3. Найти значения неизвестных по формуле xi=ΔxiΔ (i=1,n¯¯¯¯¯¯¯). Перед переходом к чтению примеров рекомендую ознакомиться с правилами вычисления определителей второго и третьего порядка, изложенными здесь. Пример №1 Решить СЛАУ {3x1+2x2=−11;−x1+5x2=15. методом Крамера. Решение Матрица системы такова: A=(3−125). Определитель этой матрицы Δ=∣∣∣3−125∣∣∣=3⋅5−2⋅(−1)=17. Как вычисляется определитель второго порядка можете глянуть здесь. Так как определитель системы не равен нулю, то продолжаем решение методом Крамера. Вычислим значения двух определителей: Δx1 и Δx2. Определитель Δx1 получаем из определителя Δ=∣∣∣3−125∣∣∣ заменой первого столбца (именно первый столбец содержит коэффициенты при x1) столбцом свободных членов (−1115): Δx1=∣∣∣−111525∣∣∣=−55−30=−85. Аналогично, заменяя второй столбец в Δ=∣∣∣3−125∣∣∣ столбцом свободных членов, получим: Δx2=∣∣∣3−1−1115∣∣∣=45−11=34. Теперь можно найти значения неизвестных x1 и x2. x1=Δx1Δ=−8517=−5;x2=Δx2Δ=3417=2. В принципе, можно ещё проверить, правильно ли решена система методом Крамера. Подставим в заданную СЛАУ x1=−5, x2=2: {3x1+2x2=3⋅(−5)+2⋅2=−11;−x1+5x2=−(−5)+5⋅2=15. Проверка пройдена, решение системы уравнений методом Крамера найдено верно. Осталось лишь записать ответ. Ответ: x1=−5, x2=2. Пример №2 Решить СЛАУ ⎧⎩⎨2x1+x2−x3=3;3x1+2x2+2x3=−7;x1+x3=−2., используя метод Крамера. Решение Определитель системы: Δ=∣∣∣∣231120−121∣∣∣∣=4+2+2−3=5. Как вычисляется определитель третьего порядка можете глянуть здесь. Заменяя первый столбец в Δ столбцом свободных членов, получим Δx1: Δx1=∣∣∣∣3−7−2120−121∣∣∣∣=6−4−4+7=5. Заменяя второй столбец в Δ столбцом свободных членов, получим Δx2: Δx2=∣∣∣∣2313−7−2−121∣∣∣∣=−14+6+6−7−9+8=−10. Заменяя третий столбец в Δ столбцом свободных членов, получим Δx3: Δx3=∣∣∣∣2311203−7−2∣∣∣∣=−8−7−6+6=−15. Учитывая все вышеизложенное, имеем: x1=Δx1Δ=55=1;x2=Δx2Δ=−105=−2;x3=Δx3Δ=−155=−3. Метод Крамера завершён. Можно проверить, верно ли решена система уравнений методом Крамера, подставив значения x1=1, x2=−2 и x3=−3 в заданную СЛАУ: ⎧⎩⎨⎪⎪2x1+x2−x3=2⋅1+(−2)−(−3)=3;3x1+2x2+2x3=3⋅1+2⋅(−2)+2⋅(−3)=−7;x1+x3=1+(−3)=−2. Проверка пройдена, решение системы уравнений методом Крамера найдено верно. Ответ: x1=1, x2=−2, x3=−3. Пример №3 Решить СЛАУ {2x1+3x2−x3=15;−9x1−2x2+5x3=−7. используя метод Крамера. Решение Матрица системы (2−93−2−15) не является квадратной. Однако это вовсе не означает, что решение системы уравнений методом Крамера невозможно. Преобразуем заданную СЛАУ, перенеся переменную x3 в правые части уравнений: {2x1+3x2=x3+15;−9x1−2x2=−5x3−7. Теперь матрица системы (2−93−2) стала квадратной, и определитель её Δ=∣∣∣2−93−2∣∣∣=−4+27=23 не равен нулю. Применим метод Крамера аналогично предыдущим примерам:
Ответ можно записать в таком виде: ⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪x1=13x3−923;x2=−x3+12123;x3∈R. Переменные x1, x2 – базисные (в иной терминологии – основные), а переменная x3 – свободная (в иной терминологии – неосновная). Проверка, при необходимости, проводится так же, как и в предыдущих примерах. Примечание В подобных примерах возможна ситуация, когда после переноса переменной (или переменных) в правые части уравнений, определитель системы равняется нулю. В этом случае можно перенести в правую часть иную переменную (или переменные). Например, рассмотрим СЛАУ {2x1−5x2+10x3=14;−4x1+10x2−7x3=5.. Если перенести в правые части уравнений x3, получим: {2x1−5x2=−10x3+14;−4x1+10x2=7x3+5.. Определитель данной системы Δ=∣∣∣2−4−510∣∣∣=20−20=0. Однако если перенести в правые части уравнений переменную x2, то получим систему {2x1+10x3=5x2+14;−4x1−7x3=−10x2+5., определитель которой Δ=∣∣∣2−410−7∣∣∣=−14+40=26 не равен нулю. Дальнейшее решение аналогично рассмотренному в примере №3. Пример №4 Решить СЛАУ ⎧⎩⎨x1−5x2−x3−2x4+3x5=0;2x1−6x2+x3−4x4−2x5=0;−x1+4x2+5x3−3x4=0. методом Крамера. Решение Матрица системы ⎛⎝⎜12−1−5−64−115−2−4−33−20⎞⎠⎟ не является квадратной. Преобразуем заданную СЛАУ, перенеся переменные x4, x5 в правые части уравнений, и применим метод Крамера: ⎧⎩⎨x1−5x2−x3=2x4−3x5;2x1−6x2+x3=4x4+2x5;−x1+4x2+5x3=3x4.
Ответ таков: ⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪x1=−17x4+144x519;x2=−15x4+41x519;x3=20x4−4x519;x4∈R;x5∈R. Переменные x1, x2, x3 – базисные, переменные x4, x5 – свободные. 6Метод Гауссазаключается в последовательном исключении переменныхи преобразовании системы линейных алгебраических уравнений
к треугольному виду
Предположим, что в системе коэффициент Для этого делят первую строчку на
Дальше второй строки вычитаем первую строку, умноженную на
Для неизвестных Если коэффициент Обозначив
от третьей строки вычтем вторую строчку, умноженный на от четвертой строки вычтем вторую строчку, умноженный на
Продолжая процесс исключения неизвестных получим таблицу:
Таблица коэффициентов при неизвестных сводится к треугольному виду. Все главной диагонали элементы
Переход от первой системы уравнений до последней называется прямым ходом метода Гаусса. Обратный ход метода Гауссаначинается с последней системы уравнений. Ее решают с конца до начала. Из последнего уравнения находят Если система уравнений с неизвестными имеет единственное решение, то эта система всегда может быть преобразована к треугольному виду. Для студентов не всегда требуют, чтобы диагональные элементы были равны единице. Достаточно просто свести систему линейных уравнений к верхней треугольной. -------------------------------------------- Пример 1. Дана система трех линейных уравнений с тремя неизвестными. Решить систему методом Гаусса.
Решение. Исключим неизвестную
Видим, что наше уравнение в таком виде можно решать обратным ходом метода Гаусса. Для этого из последнего уравнения выразим
Подставим полученное значение в предыдущее уравнение и найдем
Из первого уравнения находим
Решение данной системы равен ----------------------------------------- В случаях систем больших размеров, а также для удобства, часто на практике используют другую схему решения. Вместо преобразований над системой выполняют соответствующие преобразования над матрицей, составленной из коэффициентов при неизвестных и столбца из свободных членов, который для удобства выделяют вертикальной линией. Такую матрицу ----------------------------------------- Пример 2. Решить систему четырех линейных алгебраических уравнений методом Гаусса.
Решение. Выпишем расширенную матрицу для данной системы
Сведем ее к треугольному виду с помощью элементарных преобразований. 1.Поменяем местами первый и второй строки. 2. Добавим к элементам второго, третьего и четвертого строк элементы первой строки, умноженные соответственно на 3. Поменяем местами второй и третий строки. Добавим к элементам третьего и четвертого строк элементы второй строки, умноженные соответственно на 4. От четвертого уравнения умноженного на
Такой расширенной матрицы соответствует следующая система уравнений
С четвертого уравнения находим
Найденные значения подставляем во второе уравнение
Из первого уравнения находим первую неизвестную
Система полностью решена и 7 Матрицы. Действия с матрицами.
Матрицей размераm×nm×nназывается прямоугольная таблица из чисел aij,i=1,2,...,m,aij,i=1,2,...,m, j=1,2,...,nj=1,2,...,n, A=⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎜a11a21⋮am1a12a22⋮am2......⋱...a1na2n⋮amn⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟A=(a11a12...a1na21a22...a2n⋮⋮⋱⋮am1am2...amn) состоящая из mm строк и nn столбцов. СуммойA+BA+Bматриц размера m×nm×n A={aij}A={aij} и B={bij}B={bij} называется матрица C={cij}C={cij} того же порядка, каждый элемент которой равен сумме соответствующих элементов матриц AA и B:B: A+B=⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎜a11a21⋮am1a12a22⋮am2......⋱...a1na2n⋮amn⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟+⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎜b11b21⋮bm1b12b22⋮bm2......⋱...b1nb2n⋮bmn⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟=A+B=(a11a12...a1na21a22...a2n⋮⋮⋱⋮am1am2...amn)+(b11b12...b1nb21b22...b2n⋮⋮⋱⋮bm1bm2...bmn)= =⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎜a11+b11a21+b21⋮am1+bm1a12+b12a22+b22⋮am2+bm2......⋱...a1n+b1na2n+b2n⋮amn+bmn⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟=(a11+b11a12+b12...a1n+b1na21+b21a22+b22...a2n+b2n⋮⋮⋱⋮am1+bm1am2+bm2...amn+bmn)
ПроизведениемαAαAматрицыA={aij}A={aij}на числоαα (действительное или комплексное) называется матрица B={bij}B={bij}, каждый элемент которой равен произведению числа αα на соответствующий элемент матрицы A:A: αA=α⎛⎝⎜⎜⎜⎜a11a21⋮am1a12a22⋮am2......⋮...a1na2n⋮amn⎞⎠⎟⎟⎟⎟=⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎜αa11αa21⋮αam1αa12αa22⋮αam2......⋱...αa1nαa2n⋮αamn⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟.αA=α(a11a12...a1na21a22...a2n⋮⋮⋮⋮am1am2...amn)=(αa11αa12...αa1nαa21αa22...αa2n⋮⋮⋱⋮αam1αam2...αamn). ПроизведениемABABматрицы A={aij}A={aij}размераm×nm×n, на матрицуB={bij}B={bij}размера n×kn×k называется матрица C={cij}C={cij} размера m×k,m×k, элемент которой, стоящий в ii-й строке и jj-м столбце равен сумме произведений соответствующих элементов ii-й строки матрицы AA и jj-го столбца матрицы B:B: A×B=⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎜a11a21⋮am1a12a22⋮am2......⋱...a1na2n⋮amn⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟×⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎜b11b21⋮bn1b12b22⋮bn2......⋱...b1kb2k⋮bnk⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟=A×B=(a11a12...a1na21a22...a2n⋮⋮⋱⋮am1am2...amn)×(b11b12...b1kb21b22...b2k⋮⋮⋱⋮bn1bn2...bnk)=
=⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜∑ν=1na1νbν1∑ν=1na2νbν1⋮∑ν=1namνbν1∑ν=1na1νbν2∑ν=1na2νbν2⋮∑ν=1namνbν2......⋱...∑ν=1na1νbνk∑ν=1na2νbνk⋮∑ν=1namνbνk⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟=C.=(∑ν=1na1νbν1∑ν=1na1νbν2...∑ν=1na1νbνk∑ν=1na2νbν1∑ν=1na2νbν2...∑ν=1na2νbνk⋮⋮⋱⋮∑ν=1namνbν1∑ν=1namνbν2...∑ν=1namνbνk)=C. МатрицаATATназывается транспонированнойк матрице A,A, если выполняется условие aTij=ajiaijT=aji для всех i,ji,j, где aij,aij, aTijaijT-- элементы матриц AA и ATAT соответственно:
A=⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎜a11a21⋮am1a12a22⋮am2......⋱...a1na2n⋮amn⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟⇒AT=⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎜a11a12⋮a1na21a22⋮a2n......⋱...am1am2⋮amn⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟A=(a11a12...a1na21a22...a2n⋮⋮⋱⋮am1am2...amn)⇒AT=(a11a21...am1a12a22...am2⋮⋮⋱⋮a1na2n...amn)
ПРИМЕРЫ. 1.Дано A=⎛⎝⎜25−11323−64⎞⎠⎟;B=⎛⎝⎜643−3−22257⎞⎠⎟.A=(21353−6−124);B=(6−324−25327). Вычислить а) A+B;A+B; б) 3A;3A; в) AB;AB; г) AT.AT. Решение. а) A+B=⎛⎝⎜25−11323−64⎞⎠⎟+⎛⎝⎜643−3−22257⎞⎠⎟=⎛⎝⎜2+65+4−1+31−33−22+23+2−6+54+7⎞⎠⎟=⎛⎝⎜892−2145−111⎞⎠⎟.A+B=(21353−6−124)+(6−324−25327)=(2+61−33+25+43−2−6+5−1+32+24+7)=(8−2591−12411).
б) 3A=3⎛⎝⎜25−11323−64⎞⎠⎟=⎛⎝⎜3⋅23⋅53⋅(−1)3⋅13⋅33⋅23⋅33⋅(−6)3⋅4⎞⎠⎟=3A=3(21353−6−124)=(3⋅23⋅13⋅33⋅53⋅33⋅(−6)3⋅(−1)3⋅23⋅4)= =⎛⎝⎜615−33969−1812⎞⎠⎟.=(639159−18−3612).
в) AB=⎛⎝⎜25−11323−64⎞⎠⎟⎛⎝⎜643−3−22257⎞⎠⎟=AB=(21353−6−124)(6−324−25327)= ⎛⎝⎜2⋅6+1⋅4+3⋅35⋅6+3⋅4−6⋅3−1⋅6+2⋅4+4⋅32⋅(−3)+1⋅(−2)+3⋅25⋅(−3)+3⋅(−2)−6⋅2−1⋅(−3)+2⋅(−2)+4⋅22⋅2+1⋅5+3⋅75⋅2+3⋅5−6⋅7−1⋅2+2⋅5+4⋅7⎞⎠⎟=(2⋅6+1⋅4+3⋅32⋅(−3)+1⋅(−2)+3⋅22⋅2+1⋅5+3⋅75⋅6+3⋅4−6⋅35⋅(−3)+3⋅(−2)−6⋅25⋅2+3⋅5−6⋅7−1⋅6+2⋅4+4⋅3−1⋅(−3)+2⋅(−2)+4⋅2−1⋅2+2⋅5+4⋅7)= =⎛⎝⎜252414−2−33730−1736⎞⎠⎟.=(25−23024−33−1714736). г) AT=⎛⎝⎜21353−6−124⎞⎠⎟. 8. Обратная матрица Матрица Из определения следует, что обратная матрица будет квадратной матрицей того же порядка, что и матрица (иначе одно из произведений Обратная матрица для матрицы обозначается Из определения обратной матрицы следует, что матрица является обратной для матрицы , то есть Если матрица имеет обратную, то Доказательство. Так как определитель произведения матриц равен произведению определителей (предложение 14.7), то Последнее предложение можно сформулировать в следующем виде. 12 |
|
(1)
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
(3)
.
D2 = 
.
(4)
.
(5)
.
, то единственное решение системы находится по
получается из определителя D, если в нем столбец коэффициентов при неизвестном
каждый из которых соответствует одному изn! упорядоченных множеств 
полученныхrпопарными перестановками элементов из множества 1,2,…,n.
с помощью разложения по 2-му столбцу. Для этого найдем 
и 
:
Следовательно,
(15)
на 
. Но тогда в определителе 1-й и 4-й столбец совпадают, значит D’=0 и теорема доказана.
. Если это условие не выполняется, то на первое место переносим уравнение, которое ее удовлетворяет. С помощью первого уравнения исключим 
из остальных уравнений.
, обозначим
.
;от третьего первую строчку, умноженный на 
; и так далее до последней строки. Получим таблицу коэффициентов:
имеем систему 
уравнений. Выполняя, как и раньше, исключим 
из всех уравнений, начиная с третьего. Для этого сначала разделим вторую строчку на 
.
, то переставим уравнения так, чтобы выполнялось условие 
.
,
;
и т.д. Получим таблицу коэффициентов:
. Запишем соответствующую систему уравнений:
. Подставив это значение в предпоследнее - находят 
и т.д. Из первого уравнения находят 
.
называют расширенной матрицей системы.
вычитаем третье уравнение умноженное на 
и подставляем в третье уравнение
– ее решение.
называется обратной матрицей для квадратной матрицы 
, если 
.
или 
было бы не определено).
. Таким образом, если существует, то 
.
. Про матрицы и можно говорить, что они обратны друг другу или взаимно обратны.
и 
.
. Последствию 14.1 
, поэтому 
, что невозможно при 
. Из предыдущего равенства следует также .