|
|
Этьен Безу. Биография. Теорема Безу. Следствия из теоремы.Этьен Безу. Биография Этьен Безу — французский математик, член Парижской Академии Наук (с 1758 года). Родился в Немуре 31 марта 1730 года и умер 27 сентября 1783 года. С 1763 года Безу преподавал математику в училище гардемаринов, а с 1768 года и в королевском артиллерийском корпусе. Основные работы Этьена Безу относятся к высшей алгебре, они посвящены созданию теории решения алгебраических уравнений. В теории решения систем линейных уравнений он содействовал возникновению теории определителей, развивал теорию исключения неизвестных из систем уравнений высших степеней, доказал теорему (впервые сформулированную К. Маклореном) о том, что две кривые порядка m и n пересекаются не более чем в m-nточках. Безу писал “Курс математики" пять лет с 1764 по 1769 год. Также, он развил метод неопределённых множителей: в элементарной алгебре его именем назван способ решения систем уравнений, основанный на этом методе. Часть трудов Безу посвящена внешней баллистике.
Теорема Безу. Теорема Безу довольно просто в своем использовании, но при этом она является одной из базовых теорем теории многочлена. Она гласит, что остаток от деления многочлена f(x) на многочлен (x-c) - это f(c). f(x) – многочлен с коэффициентами из кольца P. Доказательство:
Раздели многочлен f(x) на двучлен (x-c) с остатком
Теперь подставим в получившееся равенство вместо x число с. Получаем
Так как скобка
Теорема доказана. Следствия из теоремы Безу. Следствие 1. Число с - корень многочлена Следствие 2. Свободный член многочлена делится на любой целый корень многочлена с целыми коэффициентами (если старший коэффициент равен 1, то все рациональные корни являются и целыми). Следствие 3. Пусть Благодаря данной теореме и ее следствия, мы можем, найдя один корень многочлена, искать остальные корни многочлена, но степень которого будет на единицу ниже. Если
Это означает, что один корень уже найден. Дальше следует находить корни многочлена Также данный метод называют понижением степени. Благодаря данному способу можно найти оставшиеся корни многочлена.
Примеры использования теоремы. Пример.Найти остаток от деления многочлена Решение. На основании теоремы Безу подставляем вместо x число -5. Получаем
r(x)=
В результате мы получили остаток r(x) равный 180.
Пример.С помощью теоремы Безу доказать, что многочлен Решение. Если данный многочлен
Что и требовалось доказать.
Пример.Решить уравнение Решение. Целые корни многочлена При
Мы видим, что -1 – корень
Значение
Следовательно, Составим схему Горнера для
Следовательно, Таким образом, многочлен ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Таким образом, мы рассмотрели понятие многочлена, что такое корни многочлена, схему Горнера, теорему Безу и ее следствия, которые помогают нам при решении задач, связанных с делимостью многочленов, например, нахождение остатка при делении многочленов, определение кратности многочленов и т.д. Также теорема работает при разложении многочленов на множители, при определении кратности корней и многих других. Изучение схемы Горнера и теоремы о рациональных корнях многочлена дает общий метод разложения на множители любого алгебраического выражения. В свою очередь умение решать уравнения высших степеней позволяет значительно расширить круг показательных, логарифмических, тригонометрических и иррациональных уравнений и неравенств. В заключении, хотелось бы сказать что теорема Безу, не смотря на свою простоту, помогает при решении одной из главнейших задач математики- решения уравнений, т.е. нахождения его корней.
12 |
|
. Получим
.
+r 
равна нулю, то из этого следует, что
r.
тогда и только тогда, когда 
.
- целый корень многочлена 
с целыми коэффициентами. Тогда для любого целого n число 
делится на 
.
, то многочлен 
, степень которого на один ниже степени многочлена 
на 
.
делится на двучлен x-1 без остатка.
. Проверим.
=0
должны быть делителями свободного члена, т.е. в нашем случае, это делители числа три, так что это могут быть только числа 
При этом 1 не является корнем многочлена 
, поскольку сумма его коэффициентов 
.
имеем схему:
/
второй раз проверять не будем, поскольку если бы число 1 было корнем 
то оно было бы и корнем 
0.
, и при делении 
на 
получится многочлен 
.
а значит и исходное уравнение, имеет 4 корня: -1, 3, 
. 
