Поступательное дв-е твердого тела

Распределенная нагрузка

Q=[н/м], l=[м]. Q=òqdx=qòdx=ql

Q(x)=(q/l)x, Q=òq(x)dx=(q/l)òxdx=(q/l)(x²/2)½= (ql)/2.

dQ=q(x)dx, [(ql)/2]b=òq(x) xdx=(q/l) ò x²dx=(q/l)(x³/3)½= (ql)/3.

[(ql)/2]b= (ql)/3Þb=(2/3)l.

Вывод: в общем случае вел-на сосредоточенной силы равна площади распределенной на оси и приложена она в центре тяжести.(Все это касается распределенной нагрузки параллельн.между собой силам).

Сила трения скольжения. Законы Кулона для F_тр.ск.:

1)Сила трения скольжения лежит в интервале 0£ F_тр£ F_мах;

2) Сила трения скольжения не зависит от площади соприкасающихся тел, а зависит лишь от силы давления этого тела на поверхность

3)Сила тр.скольжения опр-ся по ф-ле: F_тр=fN, N-сила реакции опоры =Р, f-коэф-т трения скольжения

4)Коэф-т трения скольжения завис.от шероховатостей пов-тей трущихся тел, от температуры, от физич.состояния материала.

Момент трения качения.

N=P.

М_тр.кач.=dN, d-коэф.трения качения

В динамических ур-ях сила трения скольженич и момент трения качения входят в правые части ур-я. Правило со знаком -.

Конус трения.

Угол a образуется между силой R и N, причем сила R-это равнодействующая силы N и максимальной силы трения.

tga= F_тр/N=f-коэф.трения

Конус, построенный на силе R с углом a наз-ся конусом трения.

Если сила R_А оказывается внутри конуса, то тело нах-ся в равновесии.

Т.о. если какая-то активная сила нах-ся внутри конуса и лежит на его образующей, то тогда тело нахся в равновесии. Если сила R_А нах-ся вне конуса трения, то тогда тело нге может находится в равновесии.

Взаимодействие трения качения и трения скольжения.

Тело нах-ся в равновесии:

dР= М_тр.кач.=rQ,

fP= F_тр=Q

Если Q<(d/r)P (1) , (2) то тоже тело нах-ся в равновесии

1 )Q<(d/r)P,d/r£f тело нах-ся в равновесии

2) Q> (d/r)P , Q>fP в этом случае происходит качение, но без скольжения

3) Q> (d/r)P , Q<fP в этом случае происходит качение со скольжением

4) Q< (d/r)P , Q>fP чистое скольжение

Поскольку в основном выполняется условие 1, то качение наступает быстрее, чем скольжение и поэтому подшипники намного эффективнее, чем скользящие приспособления.

Аналогично моменту трения качения можно ввести момент трения верчения, Коэф-т трения верчения меньше, чем коэя-т трения качения.

Произвольная простр.система сил Частный случай приведения произвольной простр.системы сил. Инвариантная система сил.

Представим себе, что мы привели систему к какому-либо центру 0, что произойдет с сист.сил, если изменить центр приведения на некий новый центр О₁.

L_o-векто свободный

{R’’, R’}~0

R=R’=R’’

M_O1=[O₁O ´R]

L_O1=L_O+[O₁O ´R]= L_O-[O₁O ´R’]

При перемене центра приведения главный вектор сохраняется, а гл.момент меняется на вел-ну момента силы отн-но нового центра приведения.

Инвариантом наз-сятакая вел-на, кот-я не меняется при изменении центра приведения.

Т.о. мы обнаружили 1-й инвариант-это главный вектор.

(L_O1´R)=(( L_O+[O₁O ´R] )R)

(L_O1´R)=( L_O´R)+( [O₁O ´R] R)

(L_O1´R)=( L_O´R)

L_O1´cosa₁= L_O´ cosa -эта запись второго инварианта в др.форме: Проекция главного момента на направление главного вектора величина неизменная.

L_1xR_x+ L_1yR_y+ L_1zR_z= L_xR_x+ L_yR_y+ L_zR_z

Частный случай приведения произвольной плоской системы сил.

1)Приведение системы сил к паре сил

В этом случае L_O¹0, R=0. При изменении центра приведения главный момент не меняется.

2)Система сил приводится к равнодействующей

а)R*=R; L_O=0

Относительно любой точки, лежащей на линии действия равнодействующей система сил всегда будет приводится к равнодействующей R, но отн-но какого-либо др.центра приведения сист.сил уже не будет приводиться к равнодействующей.

Б) L_O¹0 R¹0, L_O^ R.

Покажем, что в этом случае сист.сил приводится к равнодействующей.

R=R’=R*

{R, L_O }~{ R=R’=R*}~{R*}

L_O=Rd

{R, R’}~0

В этом случае сист.приводится к равнодействующей, кот.лежит на растоянии d от линии дей-я силы R , определяемое по ф-ле: d=L_o/R

3)Система сил приводится к Динамо. Это когда гл.вектор и гл.момент лежат на одной прямой.

Случай, когда сист.сил приводится к Динамо

L_O¹0 R¹0, причем L_O не^ R.

L_O1=L_Ocosa;

L_O2=L_Osina; d=L_O2/R

Уравнение динамической оси.

L_О1x/Rx= L_О1y/Ry= L_О1z/Rz-ур-е прямой в простанств.сист.координат

L_О1= L_О +[O₁O ´R]

L_О1= L_О +[OO₁ ´R’]

[L_Оx+(y Rz -z Rx]/ Rx=[L_Оy+(z Rx -x Rz]/ Ry=[L_Оz+(x Ry -y Rx]/ Rz –уравнение динамической линии(ур-е прямой на которой выполняется динамо)

[L_Оx+(y Rz -z Ry]/ Rx=[L_Оy+(-x Rz +z Rx]/ Ry=[L_Оz+(x Ry -y Rx]/ Rz

i j k

x y z

Rx Ry Rz

[L_Оx -(y Rz’ -z Ry’]/ Rx=[L_Оy -(z Rx’ -x Rz’]/ Ry=[L_Оz -(x Ry’ -y Rx’]/ Rz

Равнодействующая 2-х параллельных сил,направл-х в одну сторону

R*=F₁+F₂

F₁/F₂ =а/в, F₁´а= F₂´в

М_R*(F₁)=- М_R*(F₂); L_O-гл.момент

При пирведении сист.сил к какому-либо центру у нас появляется гл.вектор = сумме всех сил и гл.момент = сумме моментов всех сил отн-но того же центра. Поэтому равнодействующая 2-х параллельных сил, напр-х в одну сторону (лежит) и проходит между этими силами, по вел-не равна сумме этих сил и приложена в точке, которая делит растояние между этими силами на части обратно пропорциональные силам.

Равнодействующая 2-х параллельныхсил, напр-х в разные стороны

F₂> F₁ , R*= F₂- F₁, F₁/F₂ = а/в, F₁/а= F₂/в=( F₂- F) /в-а, F₁´в= F₂´а, М_с (F₂)= Мс(F₁);

Равнод-я 2-х парал-х сил, напр-х в разные стороны, лежит за линией действия большей силы, равна по модулю разности двух этих сил и приложена в точке, которая делит растояние между этими силами на части, обратно пропорциональные силам внешним образом.

Очень важно, что силы не равны между собой.

Центр параллельных сил.

Т.С –центр парал-х сил.

R*=låF_i,

На основании теоремы Вариньона запишем: момент равнодействующей относит.какого-либо центра равен сумме моментов всех сил относит.того же центра

М_о (R*)= åМ_о F_к,

[r_c´R*]= å[r_к ´F_к]

[r_c´(åF_i)l] - å[r_к ´F_кl]=0

[(åF_ir_c - åF_kr_k) ´l]=0

Т.к. вектор l отличен от 0, то из этого соотношения следует, поскольку вектор l выбирают произвольно, то r_cåF_к- åF_kr_k=0 Þ r_c=(åF_kr_k)/ åF_к формула нахождения центра тяжести.

Нахождение центров тяжести

r_c=(åР_kr_k)/ åР_к –ф-ла нах-я ц.т.

Р₁=m₁g; P_k=m_kg; P_n=m_ng.

r_c=(åm_kr_k)/ M–ф-ла нах-я ц.т.

M=åm_k

x_c=(åm_kx_k)/ M; y_c=(åm_ky_k)/ M; z_c=(åm_kz_k)/ M

Для сплошного однородного тела имеем след.ф-лу для нах-я центра масс.

x_c=(òх dV)/V; y_c=(òу dV)/V; z_c=(òz dV)/V; V=òdV

Для тел, масса кот-х распределена по пов-ти небольшой толщины имеем след-е ф-лы:

x_c=(òх ds)/S; y_c=(òу ds)/S; z_c=(òz ds)/S; S=òds

Для тел, масса кот-х распределена по длине (типа проволоки):

x_c=(òх dl)/L; y_c=(òу dl)/L; z_c=(òz dl)/L; L=òdl

Свойства центров масс

Если тело имеет ось симметрии, плоскость симметрии, то центр масс обязательно располагается на них.

Метод отрицательных масс.

S₁-вся площадь

S₂- площадь выреза

С –центр масс тела без выреза площади S₂

x_c=[(S₁-S₂)x_c*+ S₂x_c2]/S₁

x_c*= (x_c S₁- x_c2 S₂)/( S₁- S₂)

c*-центр масс тела с вырезом

Из этой ф-лы следует, что если надо опр-ть центр масс тела, у кот-х есть вырез, то надо считать, что в вырезе сосредоточена отрицательная масса.

Цент тяжести некоторых простейших тел.

Разбиение на ¥

ВД-медиана

ВС*/С*Д=2/1

Центр тяжести в точке пересечения медиан.

Центр тяжести дуги.

У_с=0, х_с=òхdl/L

L=2ar

х=rcosj; dl=rdj;

х_c=(1/2ar) òr²cosj dj =(r/2a)sinj ½= (r/2a)2sina= (r sina)/a;

Ц.т.кругового сектора

х_с=(2/3) (r sina)/a);

Ц.т.кругового сегмента

х_с=[S₂x_c2 – S₁x_c1]/(S₂ – S₁)

S₂=a r²

S₁=(1/2)r² sin 2a

2p - p r², 2a - x, x=(2a/2p)p r²,

x_c={[(a r²)(2/3)r (sin a/a)]-[(1/2) r² sin 2a][(2/3) rcosa]} /[(a r²)-[(1/2) r² sin 2a]

=(2/3)r[sin³a /(2a- sin2a]

Кинематика

Это раздел механики, в котором изучается движение материальной точки, твердых тел, механических систем, без учета сил, вызывающих это движение

Кинематика точки

Сущ-ет 3 способа задания дв-я точки: векторный, координатный, естественный.

При векторном способе задания точки откладываются векторы из одной точки.

Задается r, как ф-ция от времени r=r(t)

Кривая, которую вычерчивает конец вектора, отложенный из одной общей точки наз-ся гадографом.

Гадограф радиуса вектора точки – это траектория точки.

V=lim(Dr/Dt)=dr/dt –скорость

Отсюда вывод-скорость направлена по касательной к траектории точки.

W= lim(Dv/Dt)=dv/dt – ускорение

При коорд.способе задания точки берем коорд.сетку: оси x, y, z

x=f₁(t)

y= f₂(t)

z= f₃(t)

V_x=x=d f₁/Dt W_x=x=

V_y=y=d f₂/Dt W_y=y=

V_z=z=d f₃/Dt W_z=z=

V=ÖV_x² + V_y² + V_z²

W=ÖW_x² + W_y² + W_z²

cos(V,x)= V_x/V

cos(V,y)= V_y/V

cos(V,z)= V_z/V

Естественный способ задания дв-я точки.

При естеств.способе задания дв-я точки д.б.задано: 1)траектория дв-я точки, 2)начало отсчета на траектории, 3)положительное и отрицательное направление отсчета, 4)дуговая абсцисса д.б.задана как ф-ция от времени S=f(t)

Введем единичный орт касательный t. Вектор t направлен в сторону возрастания дуговой абсциссы, модуль êtê=1

Вектор скорости V опр-ся: V=s t.

Если s>0, то скорость направлена в сторону возрастания дуговой абсциссы по вектору t, а если s<0, то вектор скорости напрвлен в сторону убывания дуговой абсциссы.

V=s- алгебраическое зн-е скорости.

Введем элементы диф.геометрии.

Предельное положение пл-ти t₁М₁t₂’ при стремлении М₂ к М₁ наз-ся соприкасающейся пл-тью.

В каждой точке кривой введем нормальную пл-ть, как пл-ть ^ вектору t.

Пересечение нормальной пл-ти с соприкасающейся пл-тью дает направление главной нормали. Поэтому введем едиинчный орт направления главной нормали n направлена по напр-ю гл.нормали., т.е.по отношению к кривой мы имеем:

Введем 3-й вектор –вектор бинормали в, так что вектора t, n и в составляли правую тройку векторов. Эти три вектора определяют оси естественного трехгранника. С каждой точкой кривой связаны 3 взаимно ^ оси t, n, в

V=dr/dt=(dr/ds)/(ds/dt)=st

ïdr/dsï=ïdrï/ïdsï=1

t направлен в сторону возрастания дуговой абсциссы

Определение ускорения при естественном способе задания дв-я точки

Ускорение W=dv/dt=d(st)/dt=st+s(ds/dt)

Кривизна кривой в данной точке

К=lim(Dj/Ds)=dj/ds

r=1/k=ds/dj-радиус кривизны в пределах при D s®0, вектор dt направлен по направлению нормали.

(tt) =1. Произв.по времени: 2[t (dt/dt)]=0 Þ ^ dt/dt

Вектор dt/dt направлен по нап-ю нормали

çdt/dtç=çdtç/çdtç= dj/ dt= (dj/ ds)( ds/ dt)= s(1/r)

вектор dt/dt= s/r

s(dt/dt)= s ²/r= v²/r

W= st+ (s ²/r), где st= W_t -касат.составляющая ускорения

s ²/r= W_n –норм.сост.ускорения

W=W_t + W_n

W=ÖW_t² + W_n²

W_t -хар-ет изменение скорости по вел-не,

W_n-хар-ет изменение скорости по направлению

W_t направлена по вектору t если s>0 и противоположно вектору t если s<0

Численное зн-е нормального ускорения W_n всегда >0, и оно всегда направлено внутрь области кривой в каждой ее точке.

Если точка движется по прямой, то норм.ускорение точки =0.

Пусть точка движется по окружности с пост.по величине скоростью, чему равно ускорение точки?

V=const

W_t =dv/dt=0

W_n =v²/R

Любую кривую можно представлять в виде совокупности дуг различного радиуса.

Связь между естеств.и коорд.способами задания дв-я.

Ds=Öx²+y²+z² dt

S=òÖx²+y²+z² dt

W_t=dv/dt=d(Öx²+y²+z²)/dt=[V_xW_x+V_yW_y+V_zW_z]/V/

x=f₁(t)

y= f₂(t)

z= f₃(t)

t=j₁(x) –цилиндр.пов-ть образ.параллель.оси у

y=f₂(j₁(x)) - цилиндр.пов-ть образ.кот параллель.оси z.

z=f₃(j₁(x))

Частный случай дв-я точки

1.Равномерное дв-е

v=const, S=S_o+vt

2.равноускоренное дв-е

W_t =const, V=V_o+ W_t t, S=V_ot+ W_t (t²/2)

V² –V_o²=2 W_tS

dV/dt= W_t,

òdV=ò W_t dt, V –V_o= W_tt

Кинематика твердого тела

В теор.механике рассм.только тверд.тела

Абс.тв.тела-это такие тела, раст.между двумя любыми точками не меняются за все время движения

Поступательное дв-е твердого тела

Поступательн.дв-ем тв.тела наз-ся такое дв-е

Тела, при кот.любая прямая, проведенная в нем остается параллельной самой себе за все время дв-я (самолет, летящий прямолинейно, дв-е поршня в двигателе автомоб., дв-е колеса обозрения)

Теорема: При поступ.движении тв.тела траектории дв-я всех точек тела конгруэнтны, а скорость и ускорение равны.

r_в= r_А+АВ

Поскольку это вып-ся в люб.момент времени, то получается, что траектория т.В можно определить смещением вектора АВ в каждой точке из траектории т.А возм.произв.по времени (АВ=const)

dr_в/dt= dr_A/dt+d(AB)/dt

V_B=V_A. W_B=W_A.

Вращат.дв-е твердого тела.

Вращат.наз-ся такое дв-е тв.тела, при кот-м хотя бы 2 точки тела остаются неподвижными за все время вращенияя, через эти 2 точки проходит ось вращения, все остальные точки движутся по окружностям в плоскостях перпендик-х оси вращения.

Фермы

Начинаем искать усилия стержней, рассматривая узлы.

Метод Риттера(проверка)

При нахождении усилий стержней плоской фермы методом выфрезания узлов полезно знать:

1)если в незагруженном узле плоск.фермы сходятся 2 стержня. То усилие в этих стержнях =0

2)если в незагруженном узле плоск.фермы сходятся 3 стержня, из кот-х 2 расоложены на одной прямой, то усилие в 3-м стержне =0, а усилие в первых 2-х равны между собой.

Вращат.дв-е-это такое дв-е, при кот-м ось остается неподвижной, а все др..тела движутся в плоскости перпендикулярной оси вращения.

Введем угол поворота j -как угол между неподв.пл-тью и плоскостью, связанной с телом

[j]=рад

j=2pn

[N]- число оборотов

Угловая скорость w=dj/dt, [wj]=рад/c=c^-1

j=f(t)

Вектор угл.скорости w лежит на оси вращения и направлен в сторону, что с конца этого вектора вращение кажется видимым против часовой стрелки.

Угловое ускорение e опр-ся по ф-ле:

e=dW/dt=d²j/dt², [Ошибка! Ошибка связи.]= рад/c²=c^-2.

Вектор углового ускорения e также лежит на оси вращения и направлен по вектору w, если вращение ускорено и противоположен ему, если вращение замедлено.

[n]-число оборотов в мин.=об/мин, тогда w=pn/30/

Частный случай вращат.дв-я:

1)равномерное вращение.. j=wt

2)равнопеременное вращение: e=const. j=w_о t+et²/2;

w=w_о+et

dw/dt=e

dw=e dt

ò dw=òe dt

w-w_о=eò dt

w² -w_о² =2ej

dj/dt=w_о+et

ò dj=òw_оdt+òetdt

j-j_o=w_оòdt+eòtdt

j-j_o=w _оt+e(t²/2)

Определение линейной скорости и лин.ускорения при вращат.движении твердого тела

S=hj

ds/dt=h(dj/dt)

V=hw, dv/dt=h(dw/dt)

W_t=he

W_n=v²/h=(w²h²)/h=w²h

Полное ускорение W=Ö W_n²+ W_t²=hÖw²+e²

tga=ïW_tï/ W_n=ïeï/w²

Вывод: при вращ.дв-ии тв.тела линейная скорость касательная нормальной и полное ускорение пропорциональны растоянию точки от оси вращения.

Векторные ф-лы для опр-я скорости и ускорения при вращат.движении.

v=[w´r]-ф-ла Эйлера

v=w´r´sin(w,r)

v=w´h

W_t=[e´r], W_t=e´r´sin[e´r]=he,

W_n=[w[w´ r]]=[ w´v]

W_n=w´v´ sin(w´v)= w´v=w²h

Производ.от вектора пост.по модулю под скалярным аргументом

ïвï=const=в

dв/dt, (вв)=в², 2[в(dв/dt)]=0 Þ dв/dt ^в.

ïdв/dtï=ïdвï/dt=в(dj/dt)=w в.

dв/dt=[w в]

Производная от времени, причем ïвï=const, равна векторному произведению угловой скорости вращения этого вектора на сам этот вектор.

dτ/dt= (dτ ds)/(ds dt)= (dτ/dφ)( dφ/dt)

ïdτ/dφï=1

dτ/dt=w n

dτ/dt=[wτ]