Пиши Дома Нужные Работы

Обратная связь

РОЗВ’ЯЗАННЯ ПОКАЗНИКОВИХ І ЛОГАРИФМІЧНИХ РІВНЯНЬ

Вправи

 

1. Розв'язати показникові рівняння:

 


  1. = 2;
  2. = 49;

 

  1. = ;
  2. 25 = 1;
  3. 3 = 3;
  4. 0,2 = 0, 008;
  5. 0,2 = 125;
  6. = 8;
  7. 2 = ;
  8. 5 = ;
  9. 9 = 3;
  10. = 4;
  11. = 27;
  12. = 3;
  13. = 1;
  14. 81 = 3;
  15. 2 = 4;
  16. = ;
  17. = ;
  18. 15 = 1;
  19. 2 = -2;
  20. 5 = 125;
  21. = ;
  22. = ;
  23. 5 = 5 ;
  24. 7 = 7 ;
  25. 2 = 4;
  26. 0,5 = 0,125;
  27. = ;
  28. 2 - 2 = 0;
  29. 3 -1 = 0;
  30. 3 3 = 81;
  31. 2 2 = 32;
  32. 3 = 9.

 

 

*2. Розв'язати показникові рівняння:


1. 3х · 52х-3 = 45;

2. 2х · 3х+1 = 108;

3. = ;

4. = ;

5. = ;

  1. = ;

7.

8.

9.

10.

11.

12. 5 · 9 + 9 = 406;

13. 5 + 4 · 5 - 5 = 0;

14. 6 + 5 · 6 - 6 = 0;

15. 3 - 2 · 3 = 3;

16. - = 3;

17. - = 2;

18. 49 - 6 · 7 - 7 = 0;

19. 64 - 7 · 8 - 8 = 0;

  1. + = 5;
  2. + = 10;
  3. + = 80;
  4. = ;
  5. - = -
  6. + = + ;
  7. = 0;
  8. = ;
  9. = 0;
  10. = 0;
  11. = 0.

 

 


Тема. Розв’язання показникових нерівностей

План

1. Графік показникової функції.

2. Схема рівносильних перетворень найпростіших показових нерівностей.

 

1. Графік показникової функції у = , де і .
  зростає   спадає
2. Схема рівносильних перетворень найпростіших показових нерівностей
> f(x) > g(x) знак нерівності зберігається > f(x) < g(x) знак нерівності змінюється на протилежний
Приклади
Функція у = є зростаюча, отже: х – 3 > 2, х > 5. Відповідь: (5; + ). Функція в = є спадною, отже: . Відповідь: (- ; 5)
3. Розв’язання більш складних показникових нерівностей
Орієнтир Приклад
За допомогою рівносильних перетворень ( за схемою розв’язання показникових рівнянь) дану нерівність приводять до нерівності відомого виду (квадратному, дробовому і т.д.). Після розв’язання отриманої нерівності приходимо до найпростіших показникових нерівностей Заміна дає нерівність , розв’язання якого або     Обернена заміна дає (розв’язаннь немає) або , звідки Відповідь: (-2; + ).

 




Вправи

 

1. Розв'язати нерівність

 

1)

2)

 

3)

 

4) ;

 

5) ;

 

6) ;

 

7)

 

8) ;

 

9)* .


Тема. Поняття логарифма числа. Властивості логарифмів

План

1. Логарифм числа.

2. Основна логарифмічна тотожність.

3. Властивості логарифмів.

 

1. Логарифм числа
Визначення Приклади
Логарифмом додатного числа b за основою a (a > 0, ) називається показник степеня, в який потрібно піднести a, щоб одержати число b. Позначення: loga b 1) log4 16 = 2, оскільки 42 = 16; 2) log7 = , тому що = ; 3) lg 1000 = 3, оскільки 103 = 1000
Десятковий логарифм – це логарифм за основою 10. Позначення: log10 b = lg b
Натуральний логарифм – це логарифм за основою е (е – ірраціональне число, наближене значення якого: е 2,7). Позначення: logе b = ln b 4) ln = - 2, тому що е-2 =
2. Основна логарифмічна тотожність
  a > 0, , b > 0 1) ; 2) .
  1. Властивості логарифмів і формули логарифмування
(a > 0, , х > 0, в > 0)
1) Логарифм одиниці за будь-якою основою дорівнює нулю
2) Логарифм числа a за основою a дорівнює одиниці
3) Логарифм добутку додатних чисел дорівнює сумі логарифмів множників.
4) Логарифм частки додатних чисел дорівнює різниці логарифмів діленого й дільника
5) Логарифм степеня додатного числа дорівнює добутку показника степеня на логарифм основи
4. Формула перехід до логарифмів з іншою підставою
(a > 0, , х > 0, b > 0, )
Наслідки
 

 


Вправи

1.Перевірте, чи вірна рівність:


1) = 4;

2) = 3;

3) ;

 

4) ;

 

5) ;

 

6) = 3.


 

2.Обчислити:


1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) ;

6) .


3. Користуючись основною логарифмічною тотожністю, спростити вираз:


1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) .


4. Прологарифмуйте даний вираз за даною основою, якщо :

1) 10a3c4 за основою 10;

2) за основою 10;

3) за основою е;

4) за основою 3.

5. Відомо, що , . Виразити через a і b:

 

1) ;

2) ;

3) ;

4) .

6. Знайдіть х, якщо:

1) ;

2) ;

3) ;

4) .


Тема. Логарифмічна функція, її властивості й графік

План

1. Логарифмічна функція.

2. Графік логарифмічної функції.

3. Властивості логарифмічної функції.

1. Поняття логарифмічної функції
Логарифмічною функцією називається функція виду у = loga x, .
2. Графік логарифмічної функції
Функції у = і у = loga x ( ) – взаємно обернені функції, тому їх графіки симетричні відносно прямою у = х.
   
3. Властивості логарифмічної функції
1) Область визначення: D(у) = (0; + )
2) Область значень: Е(у) = (- ; + )
3) Функція ні парна, ні непарна  
4) Точки перетину з осями координат: с віссю Оу – немає з віссю Ох: х = 1, у = 0
5) Проміжки зростання та спадання:
функція в = loga x при зростає на всій області визначення функція в = loga x при спадає на всій області визначення
6) Проміжки знакосталості
в = loga x > 0 при x > 1, в = loga x < 0 при 0 < x < 1 в = loga x > 0 при 0 < x < 1, в = loga x < 0 при x > 1
7) Найбільшого та найменшого значень функціїї не має
8) loga a = 1 loga (uv) = loga u + loga v (u > 0, v > 0) loga = loga u - loga v (u > 0, v > 0) loga un = n loga u =

 


Вправи

1. Знайдіть область визначення функції:

1) у = log11 (2х + 6);

2) у = ;

3) у = ;

4) у = ;

5) у = .

2. Зобразити схематично графік функції:

1) у = ;

2) у = ;

3) у = ;

4) у = ;

5) у = ;

6) у = ;

7) у = ;

8) у = ;

9) у = ;

10) у = ;

11) у = .

3. Порівняйте числа:

1) і ;

2) і ;

3) і ;

4) і ;

5) і 0;

6) і 1.

 

 

Тема. Розв’язання логарифмічних рівнянь

План

1. Розв’язання найпростіших логарифмічних рівнянь.

2. Використання рівнянь - наслідків.

3. Рівносильні перетворення логарифмічних рівнянь.

 

1. Розв’язання найпростіших логарифмічних рівнянь
Орієнтир Приклад
Якщо а – число ( ), то (використовуємо визначення логарифма)   х – 1 = 32, х = 9 + 1, х = 10. Відповідь: 10
2. Використання рівнянь - наслідків
Орієнтир Приклад
Якщо із припущення, що перша рівність вірна, випливає, що кожне наступне вірно, те гарантуємо, що одержуємо рівняння-наслідок. При використанні рівнянь – наслідків не відбувається втрати коренів вихідного рівняння, але можлива поява стороннього кореня. Тому перевірка отриманого кореня підстановкою у початкове рівняння є складовою частиною розв’язання. За визначенням логарифма одержуємо х + 2 = х2, х2 – х – 2 = 0, х1 = -1, х2 = 2. Перевірка: х = -1 – сторонній корінь (в основі логарифма одержуємо від’ємне число); х = 2 – корінь, тому що Відповідь: 2
3. Рівносильні перетворення логарифмічних рівнянь
Заміна змінних
Орієнтир Приклад
Якщо в рівняння (нерівність або тотожність) змінна входить у тому самому виді, то зручно відповідний вираз зі змінною позначити однієї буквою (новою змінною). . Заміна: , , . Отже, або . Тоді х = 10-1 = 0,1 або х = 103 = 1000. Відповідь: 0,1; 1000.
Рівняння виду ( )
Орієнтир Приклад
(враховуємо ОДЗ і дорівнюємо вирази, які стоять під знаками логарифмів)     ОДЗ: На цій ОДЗ дане рівняння рівносильне рівнянням: х2 – 2 = 4х – 5, х2 – 4х + 3 = 0, х1 = 1, х2 = 3, х1 = 1 – сторонній корінь (не задовольняє умовам ОДЗ); х2 = 3 – корінь (задовольняє умовам ОДЗ). Відповідь: 3  
Рівносильні перетворення рівнянь в інших випадках
Орієнтир Приклад
1. Ураховуємо ОДЗ даного рівняння ( і уникаємо перетворень, що приводять до звуження ОДЗ); 2. Стежимо за тим, щоб на ОДЗ кожне перетворення можна було виконати як у прямому, так і у зворотному напрямках зі збереженням вірної рівності ОДЗ: На цій ОДЗ дане рівняння рівносильне рівнянням: , , , , х1 = 1, х2 = -5, х1 = 1 – корінь (задовольняє умовам ОДЗ); х2 = -5 – сторонній корінь (не задовольняє умовам ОДЗ). Відповідь: 1.

 

Вправи

 

1. Розв'язати рівняння:

 


1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) ;

6) ;

7) ;

8) ;

9) ;

10) ;

11) ;

12) .



 


Додаткові вправи

РОЗВ’ЯЗАННЯ ПОКАЗНИКОВИХ І ЛОГАРИФМІЧНИХ РІВНЯНЬ

 

 

  1. Розв'язати показникове рівняння:

 

  1. 4х = 64
  2. = 27
  3. 3х = 81
  4. =
  5. = 225
  6. = 36
  7. (0,25) 2 =
  8. =
1. = 2. = 3. = 4.3х = 19х 1.7х+2 + 4*7х+1 = 539 2. = 4 3.3х + 3х+1 = 108 4.4х+1 +4х = 320 5.2*3х+1 – 3х = 15 6.3*5х+3 + 2*5х+1 = 77 7.3х+1 2*3х-2 = 75

 

2. Розв'язати логарифмічне рівняння:

 

1. = 2 2. = -1 3. = - 4. = 2 5. = - 2 6. = 1 7. = 0 9. = 3 1. = x 2. = 3. = 0 4. = 5. = 0 6.   1. 2. 3. log (x+3) – log (x-1) = 2 - log 8 4. =  

 

 


Тема. Розв’язання логарифмічних нерівностей

План

1. Графік функції у = loga x, .

2. Рівносильні перетворення найпростіших логарифмічних нерівностей.

 

1. Графік функції у = loga x, .
    зростає     спадає
2. Рівносильні перетворення найпростіших логарифмічних нерівностей
    Знак нерівності не змінюється, і враховується ОДЗ     Знак нерівності змінюється, і враховується ОДЗ
Приклади
. ОДЗ: x – 5 > 0, тобто х > 5. Функція у = зростаюча, тоді х - 5 > 23, х > 13. Враховуючи ОДЗ, маємо х > 13. Відповідь: (13; + ).     . ОДЗ: x – 5 > 0, тобто х > 5. Функція в = спадна, тоді х - 5 < , х < 5 . Враховуючи ОДЗ, маємо 5 < х < 5 . Відповідь: (5; 5 ).
3. Розв’язання більш складних логарифмічних нерівностей
Орієнтир Приклад
І. За допомогою рівносильних перетворень дану нерівність приводять до нерівності відомого виду. Схема рівносильних перетворень нерівності: 1. Ураховуємо ОДЗ заданої нерівності (і уникаємо перетворень, що приходять до звуження ОДЗ). 2. Стежимо за тим, щоб на ОДЗ кожне перетворення можна було виконати як у прямому, так і у зворотному напрямках із збереженням вірної нерівності ОДЗ: x > 0. На цій ОДЗ дана нерівність рівносильна нерівностям: , . Заміна: . Тоді , тобто . Рішення цієї нерівності або     Обернена заміна дає або . Тоді або . Враховуючи, що функція у = lg x є зростаючої, одержуємо: або . За ОДЗ маємо: 0 < x 0,01 або . Відповідь: .
ІІ. Застосовується загальний метод інтервалів (дана нерівність приводиться до нерівності , ) і використовується схема: 1. Знайти ОДЗ; 2. Знайти нулі ; 3. Відзначити нулі функції на ОДЗ і знайти знак на кожному з проміжків, на які розбивається ОДЗ; 4. Записати відповідь, враховуючи знак нерівності. Розв'яжемо нерівність методом інтервалів. Воно рівносильне нерівності . Позначимо . 1. ОДЗ: тобто   2. Нулі функції: . . Тоді . На ОДЗ це рівняння рівносильне рівнянню 2х + 3 = х2 (отриманому за означенням логарифма). Тобто х2 - 2х - 3 = 0, х1 = -1, х2 = 3. В ОДЗ входить тільки х = 3. Отже, має єдиний нуль функції х = 3. 3. Відзначаємо нулі функції на ОДЗ, знаходимо знак на кожному з проміжків, на які розбивається ОДЗ, і записуємо рішення нерівності .
 
 

 


Відповідь: х (0; 1) (3; + )


Вправи

Розв'язати нерівність

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) ;

6) ;

7) ;

8) ;

9) ;

10) ;

11) ;

12) .

 

 






ТОП 5 статей:
Экономическая сущность инвестиций - Экономическая сущность инвестиций – долгосрочные вложения экономических ресурсов сроком более 1 года для получения прибыли путем...
Тема: Федеральный закон от 26.07.2006 N 135-ФЗ - На основании изучения ФЗ № 135, дайте максимально короткое определение следующих понятий с указанием статей и пунктов закона...
Сущность, функции и виды управления в телекоммуникациях - Цели достигаются с помощью различных принципов, функций и методов социально-экономического менеджмента...
Схема построения базисных индексов - Индекс (лат. INDEX – указатель, показатель) - относительная величина, показывающая, во сколько раз уровень изучаемого явления...
Тема 11. Международное космическое право - Правовой режим космического пространства и небесных тел. Принципы деятельности государств по исследованию...



©2015- 2017 pdnr.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.