Пиши Дома Нужные Работы


Частотные критерии устойчивости

По виду частотных характеристик САУ можно судить об устойчивости систем, поэтому существуют частотные критерии устойчивости систем, которые позволяют осуществлять исследование устойчивости систем во взаимосвязи с графическим представлением их характеристик.

Частотные критерии имеют довольно простую интерпретацию, поэтому с их помощью удобно исследовать устойчивость систем, описываемых характеристическими уравнениями высокого порядка.

Рассмотрим основные критерии.

 

Критерий Михайлова

В 1938 году русский ученый А.В.Михайлов сформулировал критерий устойчивости САУ, основанный на анализе годографа Михайлова и принципе аргумента, которым обусловлено, что сумма аргументов всех сомножителей комплексного числа равна аргументу произведения комплексных чисел.

Возьмем характеристическое уравнение системы следующего вида:

 

(2.43.)

Подставим в уравнение мнимое значение р = jw и получим:

 

(2.44.)

 

Полученное выражение представляет собой математическое описание вектора Михайлова, конец которого при изменении частоты w от 0 до ¥, будет описывать на комплексной плоскости кривую, называемую годографом Михайлова, графическое представление которого изображено на рисунке 68.

Критерий Михайлова сформулирован следующим образом: САУ является устойчивой, если годограф Михайлова при изменении частоты от0 до ¥ начинается приw = 0на положительной вещественной полуоси, и с увеличением частоты проходит в положительном направлении (против часовой стрелки) последовательно, нигде не обращаясь в нуль,nквадрантов координатной плоскости, гдеnявляется порядком характеристического уравнения системы.

Система является неустойчивой при любом отклонении от критерия Михайлова. На рисунке 68 годограф 1 соответствует устойчивой системе, описываемой уравнением 3-го порядка, годограф 2 соответствует устойчивой системе, описываемой уравнением 4-го порядка, годограф 3 соответствует неустойчивой системе, годограф 4 соответствует системе, находящейся на границе устойчивости, при этом годограф Михайлова проходит через 0.

 

Рис.68. Графическое представление годографа Михайлова

1 и 2 – устойчивая система, 3 – неустойчивая система,

4 – система находится на границе устойчивости

 

На рисунке 69 изображены годографы Михайлова для устойчивых и неустойчивых систем, где n - порядок дифференциального уравнения:

 

 

Рис.69. Годографы Михайлова:

а) устойчивых систем, б) неустойчивых систем

 

Пример определения устойчивости САУ с помощью критерия Михайлова

Необходимо определить устойчивость САУ, структурная схема которой представлена на рисунке 65, числовые значения данных представлены в таблице на рисунке 66.

 

Решение:

 

Характеристическое уравнение данной системы имеет вид:

 

D(s) = (2.42.)

 

Подставив в уравнение , получим:

 

(2.45.)

 

Преобразуем уравнение в следующий вид:

 

(2.46.)

 

Выделим действительную и мнимую части:

 

; (2.47.)

 

Для построения годографа Михайлова составим таблицу значений (рисунок 70):

 

7.817 13.176 132.9
19.35 −35.49
5.0654 −13386.75

 

Рис.70. Таблица значений

 

С помощью таблицы значений построим на комплексной плоскости годограф Михайлова и представим его на рисунке 71.

Рис.71. Годограф Михайлова

 

Анализируя годограф на рисунке 71 в соответствии с критерием Михайлова можно сделать вывод, что САУ устойчива, т.к. годограф начинается на действительной оси и с ростом ω от 0 до обходит последовательно в положительном направлении 4 квадранта комплексной плоскости.

Критерий Найквиста

 

В 1932 г. американский физик Найквист сформулировал критерий устойчивости САУ, позволяющий судить об устойчивости замкнутой системы по АФЧХ ее разомкнутого контура. Критерий Найквиста сформулирован следующим образом – если САУ устойчива в разомкнутом состоянии, то необходимым и достаточным условием ее устойчивости в замкнутом состоянии будет условие, чтобы АФЧХ разомкнутой системы при изменении частоты от 0 до+ ¥ не охватывала на комплексной плоскости точку с координатами (-1; j0).

Из определения разомкнутой системы вытекает, что входная величина системы является входной величиной первого звена прямой цепи, а выходной величиной разомкнутой системы является выходная величина последнего звена цепи обратной связи. Для замкнутой системы передаточная функция разомкнутой системы примет следующий вид:

 

(2.48.)

 

Заменив в формуле передаточной функции разомкнутой системы (2.48.)

р = jw, получим АФЧХ разомкнутой системы n - ного порядка:

 

(2.49.)

Указанную АФЧХ разомкнутой системы построим на комплексной плоскости при увеличении частоты от 0до +¥, что показано на рисунке 72.

 

 

Рис.72. Критерий устойчивости Найквиста:

1 – АФЧХ устойчивой системы, 2 – АФЧХ системы на границе

устойчивости, 3 – АФЧХ неустойчивой системы

 

В случае, когда АФЧХ разомкнутой системы пройдет через точку с координатами

(-1; j0), как видно из рисунка 72 (график 2), система будет находиться на колебательной границе устойчивости. В случае, когда АФЧХ разомкнутой системы будет охватывать точку с координатами (-1; j0), замкнутая система будет являться неустойчивой (рисунок 72, график 3).

 






ТОП 5 статей:
Экономическая сущность инвестиций - Экономическая сущность инвестиций – долгосрочные вложения экономических ресурсов сроком более 1 года для получения прибыли путем...
Тема: Федеральный закон от 26.07.2006 N 135-ФЗ - На основании изучения ФЗ № 135, дайте максимально короткое определение следующих понятий с указанием статей и пунктов закона...
Сущность, функции и виды управления в телекоммуникациях - Цели достигаются с помощью различных принципов, функций и методов социально-экономического менеджмента...
Схема построения базисных индексов - Индекс (лат. INDEX – указатель, показатель) - относительная величина, показывающая, во сколько раз уровень изучаемого явления...
Тема 11. Международное космическое право - Правовой режим космического пространства и небесных тел. Принципы деятельности государств по исследованию...



©2015- 2017 pdnr.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.