Пиши Дома Нужные Работы

Обратная связь

Расчет режима сложных электроэнергетических сетей

Задача расчета режима сложной электрической сети требует определения токов ветвей и напряжения узлов многоконтурной схемы замещения.

Современные электрические сети имеют схемы замещения, содержащие сотни узлов, ветвей и контуров, что делает невозможным расчет вручную и актуализирует применение ЭВМ. Применение ЭВМ требует таких методов формулировки задачи, которые легко могли бы быть переведены на машинный язык. Для того чтобы программа носила универсальный характер и могла вести расчет с сетью произвольной конфигурации, необходимо в единой системе вводить в расчет как характеристики элементов схемы замещения, так и топологию их связей.

Это стало возможным с применением матричной алгебры и теории графов, поэтому современные методы аналитических расчетов режимов сложных электрических сетей используют символику и правила этих математических дисциплин.

Применение ЭВМ необходимо для решения следующих задач электроэнергетике:

· Расчет установившихся режимов сложной энергосистемы,

· Оптимизация режима энергосистемы,

· Прогнозирование нагрузки энергосистемы,

· Проверка статической и динамической устойчивости энергосистемы.

 

Параметры схем замещения элементов электроэнергетических систем (ЭЭС)

 

1. Линии электропередачи (ЛЭП)

Схема замещения ЛЭП при напряжении меньше 330 кВ, когда активной проводимость на землю gл, См, можно пренебречь, приведена на рис.1.

Рис.1. Схема замещения ЛЭП

 

Здесь r – активное сопротивление линии, Ом,

x – реактивное сопротивление линии, Ом,

QC – реактивная мощность, вар, генерируемая линией и определяемая по формуле



,

где Uф – фазное напряжение, кВ,

bл – емкостная проводимость на землю, См.

Активная проводимость на землю обусловлена потерями на корону и утечками тока через изоляторы, емкостная – наличием емкости, как между фазами, так и между фазами и землей.

Таким образом, база данных должна содержать следующие параметры линии: ,

где Nн – номер узла присоединения начала линии,

Nк – номер узла присоединения конца линии.

2. Трансформаторы

Г-образная схема замещения двухобмоточного трансформатора изображена на рис. 2.

Здесь r – активное сопротивление обмоток, Ом,

x – реактивное сопротивление обмоток, Ом,

g – активная проводимость, соответствующая потерям в стали магнитопровода вследствие действия токов намагничивания См,

b – индуктивная проводимость, соответствующая потерям вызванным взаимоиндукцией обмоток, См.

 

Рис.2. Схема замещения трансформатора

 

Таким образом, база данных должна содержать следующие параметры трансформатора: ,

где Nв – номер узла присоединения обмотки высшего напряжения,

Nн – номер узла присоединения обмотки низшего напряжения.

r и x в совокупности представляют продольную часть схемы замещения трансформатора, g и b – поперечную.

 

3. Автотрансформатор

Схема замещения автотрансформатора приведена на рис. 3.

 

Рис. 3. Схема замещения автотрансформатора

 

Продольная часть схемы замещения имеет трехлучевую форму (в соответствии с числом ступеней напряжения) и включает среднюю точку – узел соединения ветвей, соответствующих обмоткам высшего, среднего и низшего напряжений.

Здесь rв – активное сопротивление обмоток высшего напряжения, Ом,

xв – реактивное сопротивление обмоток высшего напряжения, Ом,

rс – активное сопротивление обмоток среднего напряжения, Ом,

xс – реактивное сопротивление обмоток среднего напряжения, Ом,

rн – активное сопротивление обмоток низшего напряжения, Ом,

xн – реактивное сопротивление обмоток низшего напряжения, Ом,

Таким образом, база данных должна содержать следующие параметры автотрансформатора

,

где Nв – номер узла присоединения обмотки высшего напряжения,

Nст – номер узла, соответствующего средней точке трехлучевой схемы замещения,

 

Nв – номер узла присоединения обмотки среднего напряжения,

Nн – номер узла присоединения обмотки низшего напряжения.

 

Способы задания нагрузки

Задание нагрузки возможно следующими способами, выбор которых зависит от ступени напряжения и режима работы энергосистемы.

1. Задание нагрузки постоянным по модулю и по фазе током.

U

 

 

Нагрузка задает постоянным током при расчете установившихся режимов распределительных сетей при .

Установившийся режим при таком способе задания нагрузки описывается системой линейных алгебраических уравнений (СЛАУ).

,

где

- квадратная матрица собственных и взаимных проводимостей;

- столбец искомых узловых напряжений;

- известные токи нагрузки.

2. Задание нагрузки постоянной мощностью.

 

Нагрузка задается постоянной мощностью при расчете установившихся режимов питающих сетей при .

Установившийся режим описывается системой нелинейных алгебраических уравнений, вследствие наличия в правых частях уравнений токов нагрузок, нелинейно зависящих от напряжения:

где – сопряженный комплекс мощности нагрузки,

U* – сопряженный комплекс напряжения.

Система нелинейных алгебраических уравнений в матричной форме при этом имеет следующий вид:

.

Причина, по которой задание нагрузки источником постоянного тока невозможна для питающих сетей, показана на рис. 4.

Если на стороне 35 кВ регулирование напряжения ведется как в центре питания (трансформатор с регулированием под нагрузкой), так и непосредственно в узлах присоединения потребителей (источники реактивной мощности) и, следовательно, напряжение в узлах 1, 2, 3 может быть постоянной величиной, откуда следует и постоянство тока нагрузки

,

то для стороны 110-220 кВ напряжение может существенно отличаться от номинального и задание нагрузки источником постоянного тока привело бы к слишком большим погрешностям в расчете. Поэтому для данных ступеней напряжения нагрузка в узлах задается источником постоянной мощности, а ток нагрузки при этом нелинейно зависит от напряжения.

 

Sн=const

Рис. 4. Схема энергосистемы с двумя ступенями напряжения

 

3) Задание нагрузки постоянным сопротивлением или проводимость

используется при расчете переходных процессов

.

4) Задание нагрузки статическими характеристиками по напряжению (СХН) наиболее полно отражает свойства нагрузки, но существенно усложняет расчет. Данный способ используется при расчете послеаварийных режимов, когда напряжение существенно отличается от номинального

.

 

Рис. 5. Зависимости и

 

5) Задание нагрузки источником случайного тока

 
 
U


,

 

 

где g – случайная величина.

Данный способ используется при описании сетей с преобладанием электротяговой нагрузки (например, электровоз – нагрузка, величина и точка подключения которой постоянно меняются во времени).

Определение токораспределения в ветвях многоконтурной схемы замещения электрической сети

 

Установившийся режим распределительных сетей с описывается системой линейных алгебраических уравнений (СЛАУ)

При этом (см. рис. 6) нагрузка представляется как источник задающего тока, который равен по модулю и противоположен по знаку току i-го узла (току нагрузки). То есть для каждого i-го узла верно

Iiу = – Ji.

 

Рис. 6. Алгоритм расчета режима сетей

 

Считается, что токораспределение в ветвях сети, есть результат действия источников задающих токов, включенных в местах присоединения нагрузок.

В совокупности токи описываются столбцами. Матрица узловых токов имеет вид

,

матрица задающих токов

,

где n – число узлов.

Для матриц, так же как и для каждого из ее элементов, верно выражение:

Токи в ветвях в совокупности образуют матрицу токов ветвей:

,

где m – число ветвей.

Любая техническая схема может быть представлена в виде рисунка (графа), состоящего из точек (вершин) и ребер, соединяющие определенные пары точек.

Рис. 7. Расчетная схема замещения электрической сети

 

Правило построения направленного графа:

1) каждой ветви ставится в соответствующее произвольно выбранное напряжение;

2) ветви и независимые контуры произвольно нумеруются;

3) для каждого независимого контура выбирается направление обхода, принимаемое за положительное;

4) выбирается балансирующий узел.

 

Топология направленного графа может быть полностью описана при помощи двух прямоугольных матриц инциденций (соединений), описывающих соединение ветвей и узлов (матрица М) и соединение ветвей и контуров (матрица N)

 

 

 

 


Рис. 8. Топология направленного графа

 

1) Матрица соединения в узлах .

Структура:

- строки соответствуют узлам схемы (кроме балансирующего);

- столбцы соответствуют ветвям схемы.

Правило заполнения:

Позицию матрицы, находящеюся на пересечении строки, соответствующей i-му узлу и столбца, соответствующего j-й ветви, может заполнять 0, 1, –1 при выполнении следующих условий:

0 – ветвь не связана с узлом;

1 – ветвь начинается в узле;

– 1 – ветвь в узле кончается.

Например, для направленного графа, приведенного на рис. 7. матрица соединений ветвей и узлов имеет вид

Таким образом, ввод в ЭВМ информации о топологии схемы предполагает выполнение двух вложенных друг в друга циклов, в процессе которого происходит считывание всех элементов двухмерного массива данных

.

2) Матрица соединения в контурах .

Структура:

- строки соответствуют независимым контурам;

- столбцы соответствуют ветвям.

Правило заполнения:

Позицию матрицы, находящеюся на пересечении строки, соответствующей i-му контуру и столбца, соответствующего j-й ветви, может заполнять 0, 1, -1 при выполнении следующих условий:

0 – ветвь не входит в состав контура;

1 – направление ветви совпадает с направлением обхода контура;

–1 – направление ветви не совпадает с направлением обхода контура.

Любой граф включает в себя

а) ветви остова – минимальное количество ветвей, соединяющих балансирующий узел со всеми остальными;

б) хорды – прочие ветви.

Матрица может быть разделена на 2 подматрицы, каждая из которых соответствует ветвям остова и хордам.

 

Законы Кирхгофа и Ома в матричной форме

Умножение матрицы соединения ветвей и узлов и матрицы токов ветвей для графа, приведенного на рис. 7, дает столбец, каждый элемент которого представляет собой сумму токов в одном из узлов графа

.

С учетом наличия задающих узловых токов нагрузок для каждого узла может быть записано уравнение, которые в совокупности образуют систему

.

В общем случае, для сети содержащей сколь угодно большое число узлов, данная система может быть записана в матричной форме

,

где – матрица, соединения узлов и ветвей;

– матрица токов ветвей;

– матрица задающих узловых токов.

Приведенное матричное выражение представляет собой запись первого закона Кирхгофа в матричной форме.

Второй закон, связывающий сумму паданий напряжения на сопротивлениях ветвей, входящих в какой либо независимый контур и сумму ЭДС в том же контуре, может быть проиллюстрирован на примере для графа, приведенного на рис. 7: Произведение матрицы соединения ветвей и независимых контуров на столбец падений напряжения на сопротивлениях ветвей дает столбец, каждый элемент которого представляет собой сумму падений напряжения на сопротивлениях ветвей, входящих в соответствующий контур

,

 

где Ek – матрица контурных ЭДС ,

EkI, EkII, EkIII– суммы ЭДС в соответствующих контурах.

В общем случае, будучи записанным в матричной форме, второй закон Кирхгофа имеет вид

,

где – матрица падений напряжения на сопротивлениях ветвей.

Падения напряжений на сопротивлениях ветвей представляет собой произведение токов ветвей и их сопротивлений. Для записи закона Ома в матричной форме используется диагональная матрица сопротивлений ветвей, каждая строка и каждый столбец которой соответствует определенной ветви, которая для случая графа, приведенного на рис. 7, имеет вид

.

Произведение матрицы сопротивлений ветвей на столбец токов ветвей дает столбец, каждый элемент которого представляет собой падение напряжения на сопротивлении одной из ветвей и для данного примера имеет вид

 

.

В общем случае закон Ома в матричной форме имеет следующий вид:

.

Если ввести матрицу ЭДС ветвей ,то для нее будут выполняться те же равенства, что и для матрицы падений напряжения на сопротивлениях ветвей

и, следовательно,

.

С учетом закона Ома

и, таким образом, можно записать выражение для падения напряжения в ветвях в общем случае

,

где– матрица падений напряжений в ветвях в общем случае, содержащих ЭДС.

 

Прямой метод расчета токораспределения

в электрической сети

Метод расчета токораспределения в ветвях электрической сети, основанный на использовании I и II закона Кирхгофа, без какого либо их предварительного преобразования, называется прямым методом.

Исходная система уравнений включает законы Кирхгофа и Ома в матричной форме и имеет вид:

.

Поскольку падения напряжений в ветвях не являются искомыми величинами, число матричных уравнений может быть уменьшено до двух, при подстановке третьего выражения во второе

.

Искомая величина – матрица токов ветвей входит в оба уравнений, но ни одно из них по отдельности недостаточны для определения всех токов ветвей, так как матрицы и не квадратные, т.е. число уравнений меньше числа неизвестных.

Система уравнений должна быть приведена к форме, содержащей сложные матрицы, в которых матрицы , , , , – играют роли блочных подматриц.

В блочно-матричной форме система уравнений имеет вид

.

Если сомножитель столбца искомых величин – токов ветвей – обозначить как

,

то в левой части имеет место квадратная матрица и токораспределение в сети определяется из простого выражения:

 

.

Данная форма записи решения позволяет применять ЭВМ для проведения расчетов, однако, в общем случае выражение содержит комплексные переменные, что вносит дополнительные требования к подготовке данных для проведения расчета на ЭВМ.

Например, если x1 и x2 – матрицы, содержащие комплексные переменные

,

,

то их произведение включает четыре произведения матриц, элементами которых являются действительные переменные

.

Перемножение матриц, содержащих комплексные коэффициенты увеличивает число операций и машинное время, т.к. исходные данные заданы в виде матриц действительных и мнимых частей комплексных коэффициентов.

Достоинства прямого метода:

- простота алгоритма

Недостатки прямого метода:

- необходимость обращения матрицы , имеющей высокий порядок для сложных энергосистем и содержащей много нулевых элементов, что ведет к неэффективному использованию машинного времени.

Обращение матрицы производится по формуле:

и требует вычисление определителей порядка. Применимость прямого метода ограничена сетью, содержащей не более нескольких ветвей.

 

Определение напряжения в узлах сети

 

Напряжения узлов сети, наряду с токами ее ветвей, являются параметрами ее режима и эти напряжения, называемые узловыми, отличаются друг от друга на величину падения напряжения в ветвях.

Задача определения напряжений в узлах приобретает единственное решение, в случае если напряжение задано в одном из узлов. Этот узел называется базисным. При известном базисном напряжении связь между матрицей узловых напряжений и матрицей падений напряжений в ветвях, в общем случае содержащих ЭДС, задается через транспонированную матрицу соединения ветвей и узлов .

Например, для схемы, приведенной на рис. 9, произведение транспонированной матрицы соединений и столбца разностей напряжений в независимых узлах и в базисном дает столбец падений напряжения в ветвях

Рис. 9. Расчетная схема

.

 

В общем случае приведенное выше уравнение связи может быть записано в матричной форме, приобретая при этом следующий вид

 

или, с учетом того, что

,

где – базисное напряжение,

выражение может быть переписано в виде

.

Если базисный и балансирующий узел не совпадает, связь между матрицей узловых напряжений и матрицей падения напряжения в ветвях задается через , получаемую из составленной для всех узлов с вычитанием строки соответствующей базисному узлу.

В примере для схемы, приведенной на рис. 9, при том, что балансирующий узел – a, базисный узел – b, матрица имеет вид

,

 

или же после вычеркивания строки

Для рассматриваемого примера взаимосвязь матриц и записывается через уравнение


В общем случае указанная взаимосвязь в матричной форме имеет следующий вид

.

С учетом закона Ома

.

Умножение правой и левой частей последнего выражения на обращенную диагональную матрицу сопротивлений ветвей и на матрицу соединения узлов и ветвей, приводит выражение к виду

,

с учетом первого закона Кирхгофа

,

где – столбец задающих узловых токов.

Данное выражение – узловое уравнение, записанное через матрицу узловых проводимостей

,

где – квадратная матрица с числом строк и столбцов, соответствующих числу узлов, кроме базисного.

Таким образом, разность напряжений в независимых узлах и в базисном

,

что при вводе в уравнение матрицы контурных сопротивлений

,

дает узловое уравнение записанное через матрицу контурных сопротивлений.

.

С учетом последнего выражения столбец искомых напряжений в независимых узлах может быть определен через уравнение

.

 

Расчет токораспределения

методом узловых напряжений

Число уравнений при определении токораспределения может быть уменьшено, если выразить искомые токи через падение напряжения в ветвях, находимое в свою очередь как разность напряжений в узлах.

Как правило, число узлов меньше числа ветвей (n<m), следовательно, определение узловых напряжений проще, чем вычисление токов ветвей прямым методом, предусматривающим работу с матрицей, имеющей порядок равный числу ветвей.

Исходя из ранее выведенных уравнений

взаимосвязь между токами ветвей и матрицей разностей напряжений в независимых узлах и в базисном может быть определена как

,

где

– матрица токов ветвей,

– матрица разностей напряжений в независимых узлах и в базисном.

Если рассмотреть простейший случай сети состоящей всего из трех ветвей, то матрица сопротивлений ветвей примет вид

.

Обращение матрицы, как уже было показано выше, представляет довольно громоздкую процедуру

,

но в данном случае, с учетом диагональности матрицы, вычисления существенно упрощаются. Определитель обращаемой матрицы

,

а сама матрица в обращенном и транспонированном виде

 

 

Элементы обращенной матрицы сопротивления ветвей – их проводимости. Это верно для данной матрицы любого порядка. Таким образом, вычисление обращенной матрицы сопротивлений ветвей в силу ее диагональности не представляет сложности.

Для вычисления матрицы (разность напряжений независимых и базисного узлов) требуется решение системы узловых напряжений, что связано с обращением матрицы узловых проводимостей.

Для упрощения процесса обращения матрицы узловых проводимостей возможно применение следующих методов:

- упрощение схемы замещения;

- предварительное преобразование матрицы.

Кроме того, возможен принципиальный отказ от алгоритмически простой, но громоздкой процедуры обращения матрицы и использование точных или итерационных методов решения линейных уравнений.

 

Составление матрицы узловых проводимостей непосредственно по схеме замещения электрической сети

 

Как было показано выше матрица узловых проводимостей представляет собой произведение трех матриц

.

 

 

Рис.10. Схема замещения и соответствующий ей направленный граф

 

Однако даже для простейшей сети с тремя независимыми узлами (см. рис. 10) перемножение указанных матриц достаточно трудоемкая процедура

.

В тоже время матрица узловых проводимостей может быть получена без вышеприведенных матричных перемножений, непосредственно по схеме замещения, при использовании простых правил ее формирования.

Каждая строка, как и каждый столбец матрицы узловых проводимостей, соответствует одному из независимых узлов, кроме базисного. На главной диагонали находятся собственные узловые проводимости, т.е. суммы проводимостей ветвей, соединенных с одним из узлов. Недиагональные элементы – это взаимные узловые проводимости, т.е. взятые с обратным знаком проводимости ветвей, соединяющих узлы, соответствующие строке и столбцу на пересечение которых находится данный элемент.

Правило составления матрицы узловых проводимостей по схеме замещения без предварительных операций с матрицами соединения упрощает подготовку к расчету непосредственно режима электрической сети.

Собственная проводимость узла представляет собой взятую с обратным знаком сумму взаимных проводимостей с узлами, соединенными с данным

,

взаимная проводимость двух узлов k и j, , равна проводимости ветви , соединяющей данные узлы, взятой с обратным знаком

.

Указанная проводимость ветви определяется из формулы

,

где

R – активное сопротивление ветви,

X – реактивное сопротивление ветви,

g – активная проводимость ветви,

b – реактивная проводимость ветви.

 

Методы решения линейных уравнений

установившегося режима

Методы решения нелинейных уравнений установившегося режима делятся на два вида: точные и итерационные.

Точные методы расчета в предположении, что расчеты ведутся точно, без округления, позволяют получить точное решение в результате выполнения конечного числа операций.

Итерационные методы даже в предположении, что вычисления ведутся без округлений, позволяют получить решение лишь с заданной точностью.

К точным методам относятся:

- метод Гаусса;

- метод обратной матрицы.

Число арифметических операций N связано с числом узлов n соотношением

N ~ n3

К итерационным методам относятся:

- метод Зейделя;

-метод простой итерации;

- метод Ньютона.

Число арифметических операций N связано с числом узлов n соотношением

N ~ kn2,

где N – число операций;

n – число узлов;

k – число итераций.

Применение метода Гаусса для решения линейных уравнений узловых напряжений

 

Система линейных уравнений узловых напряжений

в частном случае для трех независимых узлов, приобретает следующий вид, если записать ее в матричной форме

или в виде системы уравнений

.

Если перенести базисные напряжения и их сомножители направо и обозначить правые части каждого уравнения как Ii

 

.

Метод Гаусса решения систем линейных уравнений предполагает два этапа: прямой ход, в процессе которого матрица коэффициентов приводится к верхнетреугольной форме и обратный ход, в ходе которого находятся искомые параметры (в данном случае узловые напряжения).

1) Прямой ход для данного примера системы третьего порядка включает следующие под-этапы:

1.1) Преобразование первой строки по формулам

В результате этого преобразования элемент на пересечении первой строки и главной диагонали становится равным единице

.

1.2) Преобразование остальных строк (в данном примере второй и третьей) по формулам

,

в результате которого первые элементы этих строк обнуляются

.

1.3) Преобразование второй строки

 

 

1.4) Преобразование остальных строк (в данном случае третьей)

 

1.5) Преобразование третьей строки:

.

На этом прямой ход метода Гаусса для данного примера завершается, поскольку матрица коэффициентов приведена к верхнетреугольной форме

,

а система уравнений приобретает вид

.

 

2) Обратный ход.

После выполненных преобразований, обратный ход метода Гаусса позволяет легко найти искомые параметры. Для данного примера обратный ход имеет следующий вид:

.

В общем случае (для системы n-го порядка с n неизвестных) алгоритм метода Гаусса предполагает выполнение нескольких вложенных друг в друга циклов:

 

1. Прямой ход

 

;

 

2. Обратный ход

.

 

При использовании метода Гаусса число операций соотносится с числом неизвестных как N ~ n3.

Достоинства метода Гаусса:

гарантия получения точного решения в результате выполнения определенного количества операций, зависящих только от n, в отличие от итерационных методов, где количество операций зависит не только от n, но и от непрогнозируемого количества шагов, за который итерационный процесс сойдется.

Недостатки метода:

необходимость многократного пересчета матрицы коэффициентов системы уравнений, вследствие которой для сложной энергосистемы с большим количеством узлов, эффективное использование метода Гаусса невозможно без специальных методов учета слабой заполненности матрицы узловых проводимостей. Но такой учет алгоритмически сложен.

 

Итерационные методы решения

линейных уравнений узловых напряжений

Непосредственное определение матрицы узловых напряжений возможно на основании записи узловых уравнений в форме, требующей определения обратной матрицы

.

Число арифметических операций N при обращении матрицы связано с числом независимых узлов n следующими соотношениями

N ~ n!;

.

Для сложной энергосистемы с большим количеством независимых узлов обращение матрицы высокого порядка может быть затруднено.

Рассмотрим применение итерационных методов на примере решения узловых уравнений. Итерационные методы имеют широкое распространение, т.к. они соответствуют специфике ЭВМ, т.е. решение задачи, как результат последнего приближения к нему после выполнения ряда однотипных вычислений.

Пусть электрическая сеть состоит из 4-х узлов (1 базисный и 3 независимых). Система уравнений узловых напряжений

для данногослучая может быть записана матричной форме

или в виде системы уравнений

.






ТОП 5 статей:
Экономическая сущность инвестиций - Экономическая сущность инвестиций – долгосрочные вложения экономических ресурсов сроком более 1 года для получения прибыли путем...
Тема: Федеральный закон от 26.07.2006 N 135-ФЗ - На основании изучения ФЗ № 135, дайте максимально короткое определение следующих понятий с указанием статей и пунктов закона...
Сущность, функции и виды управления в телекоммуникациях - Цели достигаются с помощью различных принципов, функций и методов социально-экономического менеджмента...
Схема построения базисных индексов - Индекс (лат. INDEX – указатель, показатель) - относительная величина, показывающая, во сколько раз уровень изучаемого явления...
Тема 11. Международное космическое право - Правовой режим космического пространства и небесных тел. Принципы деятельности государств по исследованию...



©2015- 2017 pdnr.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.