Пиши Дома Нужные Работы

Обратная связь

Молекулярная физика. Термодинамика

Основные формулы

1. Количество вещества (число молей)[3]

, (1Ф)

где N – число молекул (атомов) вещества; – постоянная Авогадро.

2. Молярная масса вещества

, (2Ф)

где m – масса вещества.

3. Уравнение Менделеева – Клапейрона (уравнение состояния идеального газа)

, (3Ф)

где Р, V – давление и объем газа; m – масса газа;. – молярная масса, – универсальная газовая постоянная (находятся из таблицы); – термодинамическая температура.

4. Зависимость давления газа от концентрации молекул n и температуры (уравнение состояния идеального газа)

(4Ф)

где k – постоянная Больцмана.

5. Концентрация молекул

. (5Ф)

6. Основное уравнение молекулярно – кинетической теории газов

, (6Ф)

где средняя кинетическая энергия поступательного движения молекулы.

7. Средняя кинетическая энергия поступательного движения молекулы

. (7Ф)

8. Средняя полная кинетическая энергия молекулы

, (8Ф)

где – число степеней свободы молекулы.

9. Средняя квадратичная скорость молекул массой m1

 

10. Молярные теплоемкости тела (газа) при постоянном объеме и постоянном давлении

(10Ф)

11. Связь между удельной и молярной теплоeмкостями

(11Ф)

12. Уравнение Майера

(12Ф)

13. Внутренняя энергия газа (E = U)

14. Первое начало термодинамики

(14Ф)

где сообщенной газу; – изменение внутренней энергии газа; – работа, совершенная газом против внешних сил.

15. Работа при расширении газа от объема V1 до объема V2 [3]

: (15Ф)

= (m/M)RΔT; (16Ф)

А = ln(V2/V1),

где = m/M – число молей газа;

16. Работа газа при адиабатическом процессе

, или A = νR(T1T2)/(γ – 1), (18Ф)

где γ = СP/СV – постоянная адиабаты.

17. Уравнение Пуассона при адиабатическом процессе



(19Ф)

18. К. п. д. тепловой машины

(20Ф)

где – тепло, полученное рабочим телом от нагревателя; – тепло, переданное рабочим телом холодильнику.

19. К. п. д. идеального цикла Карно

(21Ф)

где и – термодинамические температуры нагревателя и холодильника.

Примеры решения задач

Пример 1. В баллоне находятся азот массой и водород массой при температуре t = 10 oC и давлении Р = 1,0 МПа. Найти молярную массу смеси и объем баллона.

Р е ш е н и е

m1 = 14 г = 14.10–3кг, Молярная масса М смеси равна отношению массы смеси m m2 = 9,0 г = 9,0.10–3кг, к количеству вещества (числу молей) ν смеси (см. (2Ф))

Т = t + 273 = 283 K, M = m/ν. (1)

Р = 1,0 Мпа = 1,0.106Па. Масса смеси равна сумме масс ее компонентов

(2)

M = ? V = ? Число молей смеси равно сумме молей ее компонентов

ν = + (3)

где

Молярные массы азота и водорода находятся из таблицы

Учитывая (2) – (4) , найдем из (1) молярную массу смеси

(5)

Объем баллона найдем, применяя уравнение Менделеева – Клапейрона (3Ф)

откуда, используя (2) и (5),

Учитывая табличные значения универсальной газовой постоянной R и молярных масс азота и водорода , получим числовой ответ:

V = 1,2.10–2м3 = 12 л.

Пример 2. В баллоне объемом находится гелий под давлением и при температуре = 27 оC. Из баллона взяли гелий массой , при этом темпера-тура газа понизилась до = 17 оC. Найти давление гелия, оставшегося в баллоне.

 

Р е ш е н и е

Применим уравнение Менделеева – Клапейрона (3Ф), к начальному ( ) и конечному ( ) состояниям газа, находящегося в баллоне,

V = 10 л = 0,010 м3, Р1 = 1,0 МПа = 1,0.106 Па, Т1 = t1 + 273 = 300 K, T2 = t2 + 273 = 290 K, m = 10 г = 0,010 кг.   Р2 = ?

где – первоначальная масса газа; – масса газа, оставшегося в баллоне; M = 4,0.10–3кг/моль, R = 8,31 Дж/(моль.К) – молярная масса гелия и универсальная газовая постоянная (находятся из таблиц).

Искомое давление находится из уравнения (2), где

Подставляя сюда массу , найденную из уравнения (1), получим ответ:

Пример 3. Найти среднюю кинетическую энергию вращательного движения молекулы кислорода при температуре Т = 350 К, а также кинетическую энергию вращательного движения всех молекул кислорода массой .

 

Р е ш е н и е

Используем закон равномерного распределения кинетической энергии молекул по степеням свободы, согласно которому на каждую степень свободы молекулы приходится одинаковая средняя кинетическая энергия где ж/К – постоянная Больцмана (находится из таблицы). Двухатомная молекула кислорода имеет две вращательные степени свободы. Поэтому средняя кинетическая энергия вращательного движения молекулы

Кинетическая энергия вращательного движения N молекул газа

Число молекул газа

где – постоянная Авогадро (находится из таблицы); – число молей кислорода. Если учесть , где – масса газа; – молярная масса кислорода (находится из таблицы), то формула (3) запишется

Подставляя (1) и (4) в формулу (2) и, учитывая – универсальная газовая постоянная, найдем кинетическую энергию вращательного движения всех молекул кислорода:

Пример 4. В двух теплоизолированных сосудах объемами и находится одинаковый идеальный газ при давлениях и температурах , . Сосуды соединяют трубкой. Какая температура установится в сосудах после смешивания газов?

Р е ш е н и е

V1 = 3 л = 3.10–3м3, V2 = 5 л = 3.10–3м3, Р1 = 400 кПа, Р2 = 600 кПа Т1 = 300 К, Т2 = 400 К.   Т = ?
Внутренняя энергия газов, находящихся в первом и втором сосудах до их смешивания, равна (см. (13Ф)):

где – число степеней свободы молекул газа; , – число молей газов в первом и втором сосудах; R – универсальная газовая постоянная. Используем уравнение Менделеева – Клапейрона (3Ф) для газовв первом и втором сосудах

Из сравнения первых и вторых равенств в формулах (1) и (2) имеем

Общая энергия газов в сосудах до их соединения или учитывая (3), получим:

После смешивания газов (соединение сосудов трубкой) установится искомая температура и внутренняя энергия газа , или, учитывая , получим:

Число молей и найдем из уравнений (2) и подставим их в (5). Тогда

Сосуды теплоизолированные, поэтому (закон сохранения энергии), откуда с учетом (4) и (6), найдем искомую температуру

Пример 5. Кислород массой находится при температуре и рас-ширяется при постоянном давлении, при этом объем увеличивается в n = 2,0 раза. Найти

количество теплоты, сообщенной газу.

 

Р е ш е н и е

Используем первое начало термодинамики (14Ф)

m = 6,4 г = 6,4.10–3кг, Т1 = 300 К, V2/V1 = n = 2,0.   Q = ?
Количество теплоты, сообщенной газу, идет на приращение внутренней энергии газа и на совершение газом работы против внешних сил. Приращение внутренней энергии (13Ф)

где = 5 – число степеней свободы молекул для двухатомного кислорода; – молярная масса кислорода; – универсальная газовая постоянная; – приращение температуры. Работа газа при изобарном процессе (16Ф)

(3)

С учетом (2) и (3) количество теплоты (1) запишется

, (4)

где ΔТ = Т2Т1. У нас процесс изобарный, поэтому температура находится из закона Гей – Люссака , откуда с учетом условия задачи

Тогда приращение температуры

Подставляя это выражение в (4), получим:

Учитывая условие задачи и табличные данные, найдем количество теплоты:

Пример 6. Два моля идеального газа, находящегося при температуре , охладили изохорно, вследствие чего его давление уменьшилось в n = 2,0 раза. Затем газ изобарно расширили так, что в конечном состоянии его температура стала равной первоначальной. Найти количество теплоты, поглощенной газом в данном процессе.

 

Решение

T1 = 300 K, Решение задачи упрощается, если заданные процессы изобразить на P1/P2 = n = 2,0, , – диаграмме (см. рис. 20). Количество теплоты находится из перво- ν = 2. го начала термодинамики

Q = ? Q = ΔU + A, (1)

где – работа газа; – приращение внутренней энергии газа. В данной задаче работа совершается только при изобарном расширении (на рис. 20 изобара 23). На участке 12 (изохора) объем не изменяется и работа = 0. Следовательно, в данном процессе работа А = А23 = P2 ΔV. Применяя уравнение Менделеева – Клапейрона (3Ф) к состояни-

V1
V2
P1,V1,T1
P2,V1,T2
V
Рис. 20
1
3  
2
P2,V2,T1
Р
Р2
Р1
ям 2 и 3 (см. рис), получим формулу работы при изобарном процессе:

A = νRΔT = νR(T3T2), (2)

где по условию задачи Т3 = Т1. Температура находится из закона Шарля для изохорного процесса (12)

откуда, учитывая условие задачи,

Подставляя эту формулу в уравнение (2), найдем работу, совершенную газом в данном процессе:

Приращение внутренней энергии

где – число степеней свободы. В данном процессе начальная и конечная температура равны (на рис. т. т. 1 и 3), следовательно, Тогда из (1) искомое количество теплоты . Учитывая (3), получим:

Пример 7. Объем одного моля ( = 1) идеального газа с числом степеней свободы молекул изменяется по закону V = а/Т, где – постоянная. Найти количество теплоты, полученной газом в этом процессе, если его температура испытала приращение .

 

ν = 1, i, V = a/T, ΔT. Q = ?
Р е ш е н и е

Количество теплоты находится из первого начала термодинамики (14Ф)

Q = ΔU + A. (1)

Приращение внутренней энергии одного моля газа

, (2)

где R = 8,31 Дж/(моль/.К) – универсальная газовая постоянная. Работа газа

Воспользуемся уравнением Менделеева – Клапейрона (3Ф) для одного моля газа

откуда, учитывая условие задачи,

Продифференцируем условие задачи V = а/Т

Подставляя (4) и (5) в формулу (3), найдем работу:

С учетом (2) и (6) количество теплоты (1) равно

Пример 8. Водород массой m = 20,0 г находится при температуре = 300 К. Его объем при адиабатическом процессе увеличился в n = 5,00 раз, затем при изотермическом процессе уменьшился до прежнего значения. Найти: температуру в конце адиабатического расширения; работу газа и приращение внутренней энергии при этих процессах.

 

 
Рис. 21
адиабата
изотерма  
 
Р е ш е н и е

 
m = 20,0 г = 20,0


 

Процессы расширения и сжатия газа изобразим графически в системе координат (см. рис. 21). Параметры газа можно определить из уравнений адиабатического и изотермического процессов. При адиабатическом процессе температура и объем идеального газа в состояниях 1 и 2 связаны между собой уравнением Пуассона (19Ф)

откуда, учитывая условие задачи, получим:

где постоянная адиабаты . Для молекулярного водорода (число степеней сво-боды = 5) молярная теплоемкость при постоянном давлении . (R – универсальная газовая постоянная). Молярная теплоемкость при постоянном объеме , тогда γ = 1,4. Подставляя это значение γ в (1), найдем температуру: = 158 К. Работа газа при адиабатическом расширении (см. (18Ф))

Учли, что молярная масса водорода (находится из таблицы). Работа газа при изотермическом процессе (17Ф)

где = (см. рис. 21). Учитывая условие задачи и выражение (1), найдем работу при изотермическом сжатии:

Подставив числовые данные, получим . Знак «минус» показывает, что при сжатии газа работа совершается внешними силами. Для определения приращения внутренней энергии газа при адиабатическом процессе воспользуемся первым началом термодинамики (14Ф)

В данном процессе = 0 и = ­ . С учетом (2) имеем

При изотермическом процессе Т = const и = 0. Следовательно (см. (18Ф)),

Пример 9. У тепловой машины, работающей по циклу Карно, температура нагревателя в n = 1,6 раза больше температуры холодильника . За один цикл машина производит полезную работу А = 12 кДж. Какая работа за цикл затрачивается внешними силами на изотермическое сжатие рабочего тела?

 

Р е ш е н и е

.
Воспользуемся теоремой Карно: коэффициент полезного действия (к. п. д.) тепловой машины, работающей по циклу Карно, зависит только от температур нагревателя и холодильника и не зависит от природы рабочего тела и устройства тепловой машины (см. (21Ф))

Учитывая условие задачи, получим коэффициент полезного действия машины:

К. п. д. цикла Карно можно записать также через работу и тепло , переданное рабочему телу от нагревателя: , откуда с учетом (2)

Работа находится через и тепло , переданное от рабочего тела холодильнику,

откуда с учетом (3) имеем:

Применим к изотермическому сжатию первое начало термодинамики (14Ф) в виде:

где – приращение внутренней энергии рабочего тела. У нас = 0, т. к. Т = const; – тепло, переданное рабочему телу. В нашей задаче Q = – Q2, т. к. тепло отнимается от тела и передается холодильнику; – искомая работа внешних сил над рабочим телом. В результате из (5) имеем . Используя (4), найдем:

Пример 10. Водород совершает цикл Карно. Найти к. п. д. цикла, если при адиабатическом расширении: а) объем газа увеличивается в n = 2,0 раза; б) давление уменьшается в n = 2,0 раза.

 
 
 
а) Воспользуемся формулой к. п. д. цикла Карно (21Ф) где – температура нагревателя и холодильника. Используем для адиабатического процесса уравнение Пуассона (19Ф) в виде  
Р е ш е н и е

 

 

откуда имеем

где = 1,4 – постоянная адиабаты для двухатомного водорода. По условию задачи . Тогда из (2)

Подставляя это выражение в (1), найдем к. п. д. цикла Карно при увеличении объема газа в n = 2,0 раза

б) Запишем уравнение Пуассона в следующем виде:

откуда

,

или, учитывая условие задачи, получим:

С учетом этого выражения, из (1) найдем к. п. д. цикла, когда давление уменьшается в n = 2,0 раза

Пример 11. Один моль гелия при изобарном расширении увеличил свой объем в = 4.0 раза. Найти приращение энтропии.

Р е ш е н и е

He,   He,
 
 
 
 
Приращение энтропии находится из второго начала термодинамики (принципа возрастания энтропии) , или в интегральной форме для равновесных (квазистатических) процессов    

 


 

где – элементарное количество теплоты, находится из первого начала термодинамики (14Ф), записанного в дифференциальной форме,

Приращение внутренней энергии для одного моля газа (см. (13Ф))

где – универсальная газовая постоянная (находится из таблицы).

Элементарная работа газа

Продифференцируем уравнение состояния идеального газа (3Ф) для одного моля , с учетом того, что процесс изобарный: . Тогда (4) запишется

Подставляя (3) и (5) в уравнение (2), получим:

Подставим это выражение в (1) и проинтегрируем:

где – число степеней свободы атомов гелия. Для изобарного процесса T1/V1 = T2/V2, откуда с учетом условия задачи имеем:

Используя это соотношение, из (6) найдем приращение энтропии:

Пример 12. Один моль двухатомного идеального газа находится при температуре = 300 К и сжимается от объема V1 до объема V2 = V1/2 один раз изотермически, а другой раз – адиабатически. Найти приращение энтропии и конечную температуру в обоих процессах.

Р е ш е н и е

 
Для нахождения приращения энтропии используем второе начало термодинамики

(1)

Элементарное количество теплоты находится из первого начала термодинамики (14Ф) в дифференциальной форме

δQ = dU + δA, (2)

где dU – приращение внутренней энергии, при изотермическом процессе dU = 0. Элементарная работа

δА = PdV .(3)

Из уравнения Менделеева–Клапейрона (3Ф), записанного для одного моля, PV = RT, найдем: P = RT/V и подставим это выражение в (3). В результате получим

. (4)

Учитывая dU = 0, из (2) и (4) имеем:

.

Подставляя это выражение в (1), найдем приращение энтропии при изотермическом сжатии:

.

Учитывая условие задачи V2 = V1/2 и табличное значение универсальной газовой постоянной R = 8,31 Дж/(моль.К), получим числовое значение приращения энтропии:

ΔS1 = – R 2 = – 5,76 Дж/К.

Знак « минус » означает, что энтропия при этом процессе уменьшается. Это объясняется тем, что макросистема не является замкнутой.

Для адиабатического процесса , тогда из (1) видно, что , т. е. энтропия или при данном процессе остается постоянной.

Температура при изотермическом процессе не изменяется, следовательно, конечная температура в этом процессе по условию задачи равна .= 300 К. Для адиабатического процесса используем уравнение Пуассона (19Ф) в виде: откуда

Постоянная адиабаты = Cp/СV. Используя формулы молярных теплоемкостей Cp и СV (10Ф), найдем: γ = (i + 2)/i. В задаче дан двухатомный газ, для которого число степеней свободы i = 5, тогда γ = 1,4. Учитывая условие задачи V2 = V1/2, получим из (5)

Таким образом, конечная температура больше при адиабатическом сжатии.

 

Таблица вариантов к контрольной работе №2

 

Таблица содержит варианты для специальностей, учебными планами которых пре­дусмотрено по курсу физики четыре и шесть контрольных работ.

 

Вариант Номера задач

 

Количество задач и их номера указываются преподавателем.

 

Задачи для самостоятельного решения

201. Найти кинетическую энергию поступательного движения молекул газа, находящихся в неподвижном баллоне объемом V = 6,0 л при давлении Р = 300 кПа.

202. Найти внутреннюю энергию двухатомного газа, находящегося в сосуде объемом V = 2 л под давлением Р = 150 кПа.

203. Найти внутреннюю энергию кислорода массой m = 20 г при температуре t = 20 оС. Какая часть этой энергии приходится на долю поступательного движения молекул и какая часть – на вращательное движение?

204. Водород массой m = 0,30 г находится в сосуде объемом V = 2,0 л при давлении Р = 200 кПа. Найти среднюю квадратичную скорость и среднюю кинетическую энергию молекул водорода.

205. Найти концентрацию молекул водорода при давлении Р = 300 Па, если средняя квадратичная скорость его молекул vкв = 2,5.103 м/с.

206. Сколько молекул воздуха находится в комнате объемом V = 60 м3 при нормальных условиях?

207. В баллоне объемом V = 0,01 м3 находится газ при температуре t = 27 оС. Из-за утечки газа давление в баллоне уменьшилось на ΔР = 4,1 кПа. Сколько молекул вышло из баллона при постоянной температуре?

208. Средняя квадратичная скорость молекул газа при нормальных условиях равна vкв = 460 м/с. Сколько молекул находится в газемассы m = 1 г?

209. В баллоне объемом V = 0,20 м3 находится газ под давлением Р1 = 100 кПа и при температуре Т1 = 290 К. После накачивания газа: Р2 = 300 кПа и Т2 = 320 К. На сколько увеличилось число молекул газа в баллоне

210. Аэростат объемом V = 300 м3 наполняется водородом при температуре t = 20 оС и давлении Р = 98 кПа. Сколько времени наполняется аэростат, если в него из баллона за каждую секунду переходит водород массой m = 2,5 г/с?

211. Найти внутреннюю энергию U воздуха в комнате объемом V = 40 м3 при нормальном атмосферном давлении. Зависит ли величина U от температуры воздуха в комнате при постоянном давлении?

212. По газопроводу течет углекислый газ при давлении Р = 500 кПа и температуре t = 17 оC. Найти скорость движения газа в трубе, если за время τ = 5,0 мин через поперечное сечение трубы площадью S = 6 см2 протекает газ массой m = 2,5 кг?

213. Два теплоизолированных баллона наполнены воздухом и соединены короткой трубкой с краном. Объемы баллонов, а также давление и температура воздуха в них равны: V1, Р1, Т1 и V2, Р2, Т2. Найти температуру и давление воздуха, которые установятся после открытия крана.






ТОП 5 статей:
Экономическая сущность инвестиций - Экономическая сущность инвестиций – долгосрочные вложения экономических ресурсов сроком более 1 года для получения прибыли путем...
Тема: Федеральный закон от 26.07.2006 N 135-ФЗ - На основании изучения ФЗ № 135, дайте максимально короткое определение следующих понятий с указанием статей и пунктов закона...
Сущность, функции и виды управления в телекоммуникациях - Цели достигаются с помощью различных принципов, функций и методов социально-экономического менеджмента...
Схема построения базисных индексов - Индекс (лат. INDEX – указатель, показатель) - относительная величина, показывающая, во сколько раз уровень изучаемого явления...
Тема 11. Международное космическое право - Правовой режим космического пространства и небесных тел. Принципы деятельности государств по исследованию...



©2015- 2017 pdnr.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.