Выравнивающие и теоретические частоты. Критерий согласия Пирсона.

1.Рассмотрим дискретную случайную величину X, закон распределения которой неизвестен и пусть произведено n испытаний, в которых величина X приняла раз значение , раза значение ,… , раза значение , .

Эмпирическими частотами называют фактически наблюдаемые частоты .

Пусть имеются основания предположить, что изучаемая величина распределена по некоторому определённому закону. Для того, чтобы проверить согласуется ли это предположение с данными наблюдений, вычисляют теоретические (выравнивающие) частоты наблюдаемых значений. То есть, находят теоретически, сколько раз величина X должна была принять каждое из наблюдаемых значений, если она распределена по предполагаемому закону.

Выравнивающие частоты обозначим , находим по формуле: где n – число испытаний, - вероятность наблюдаемого значения x_i, вычисленная с учетом, что X имеет предполагаемое распределение.

2. В случае непрерывного распределения вероятности отдельных возможных значений равны нулю. Поэтому весь интервал возможных значений делят на m непересекающихся интервалов и вычисляют вероятности попадания X в частичный интервал. А затем находят как .

Ранее закон распределения генеральной совокупности предполагался известным, и мы выдвигали гипотезы о параметрах распределения, однако возможны случаи, когда закон распределения не известен, но есть основания предположить, что он имеет определённый вид, например A. Тогда выдвигают гипотезу: генеральная совокупность распределена по закону A.

Проверка гипотезы о предполагаемом законе неизвестного распределения производится так же, как и проверка гипотезы о параметрах распределения. В качестве случайной величины (критерия) используют критерий согласия. Одним из самых распространенных критериев согласия является критерий согласия .

Для проверки гипотезы о распределении генеральной совокупности применяется критерий согласия , где эмпирические частоты, выравнивающие частоты. Для имеющегося эмпирического распределения находят и , где k – число степеней свободы; s – число групп, вариант, интервалов; r – число оцениваемых параметров предполагаемого распределения

(см приложение 5).

Чтобы найти используют правостороннюю область, для которой должно выполняться . Если , то принимаем; если , то отвергаем.

Замечание. Объём выборки должен быть достаточно велик (не менее 50). Каждая группа должна содержать не менее 5-8 вариант. Малочисленные группы объединяют в одну, суммируя частоты.

Образец выполнения лабораторной работы №5

Задание 1

Из большой партии изделий берут на пробу n=4 изделия. Известно, что доля дефектных изделий во всей партии равна =0,23. Провели =300серий испытаний и получили эмпирическое распределение:

При уровне значимости проверить нулевую гипотезу о биномиальном распределении. На одной координатной плоскости построить полигоны частот для эмпирического и теоретического распределений. Сравнить.

Решение

Для проверки гипотезы о биномиальном распределении генеральной совокупности применяем критерий согласия Пирсона, для этого находим хи- квадрат наблюдаемое по формуле: , где -теоретические (выравнивающие) частоты признака X, они равны , где - число серий испытаний, - вероятности значений признака, которые находим по формуле Бернулли: , где n-количество изделий, - значения признака X–число дефектных изделий, p-вероятность одного дефектного изделия, - вероятность одного стандартного изделия, при этом . В задачи имеем:

Тогда

		0,35153		0,609524
		0,42001		1,142857
		0,18819		4,017857
	16	0,03747	13	0,692308
		0,00280
				6,462546

Все данные и полученные результаты занесем в таблицу 3:

Таблица 3

Из таблицы выписываем 6,462546 и находим . Так как , то группируем , получаем , а тогда , , так как параметр p в задаче дан и поэтому не оценивается. Имеем, . Из того, что и по приложению 5 в [ ] находим 7

Так как , то гипотезу о биноминальном распределении генеральной совокупности принимаем.

На одной координатной плоскости построить полигоны частот для эмпирического и теоретического распределений.

Замечаем, что эмпирическое и теоретическое распределения достаточно близки. Поэтому можно сделать вывод, что рассматриваемое эмпирическое распределение является биномиальным.

Ответ: нулевую гипотезу принимаем.

Задание 2

Доля дефектных деталей составляет . Производится 75 испытаний и 320 таких серий. Получили эмпирическое распределение признака X-числа дефектных изделий

При уровне значимости проверить нулевую гипотезу о распределении Пуассона. На одной координатной плоскости построить полигоны частот для эмпирического и теоретического распределений. Сравнить.

Решение

Для проверки гипотезы о распределении Пуассона генеральной совокупности применяем критерий согласия Пирсона: , где – эмпирические частоты признака X; -теоретические (выравнивающие) частоты признака X, которые равны , где - число серий испытаний, - вероятности значений признака, которые находим по формуле Пуассона: , где - параметр; - значения признака X–числа дефектных изделий.

; ;

; ;

;

Все данные и полученные результаты занесем в таблицу 4:

Таблица 4

i
			0,509		1,9877
			0,344		0,9091
			0,116
		11	0,026	8	6,4
			0,005
Σ	-

Из таблицы выписываем 9,2968 и находим . Так как , то группируем , получаем , а тогда , , так как параметр p в задаче дан и поэтому не оценивается. Имеем, . Из того, что и по приложению 5 в [ ] находим 7

Так как , то гипотезу о распределении Пуассона генеральной совокупности отвергаем.

На одной координатной плоскости построить полигоны частот для эмпирического и теоретического распределений.

Замечаем, что эмпирическое и теоретическое распределения на участке [0;1,5] существенно отличаются. Поэтому можно сделать вывод, что рассматриваемое эмпирическое распределение не является распределением Пуассона.

Ответ: нулевую гипотезу отвергаем.

Задание 3

При уровне значимости проверить нулевую гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности, если известно эмпирическое распределение исследуемого признака: n=180

Решение

Так как предполагаем, что признак генеральной совокупности распределен нормально, то представим данное эмпирическое распределение в виде распределения частичных интервалов. Для этого шаг разбиения найдем по формуле: , где m - количество частичных интервалов. Для проверки гипотезы о нормальном распределении генеральной совокупности применяем критерий согласия Пирсона: , где – эмпирические частоты признака X; - теоретические (выравнивающие) частоты признака X, они равны , где - число серий испытаний, - вероятности значений признака X. Так как признак X нормально распределенная случайная величина, то для нахождения вероятностей используем формулу:

, где ,

Математическое ожидание и среднеквадратическое отклонение генеральной совокупности неизвестны, поэтому заменяем их оценками:

и .

Все данные и полученные результаты занесем в таблицу 5:

Таблица 5

i
Σ

Все данные и результаты занесем в таблицу 6:

		0,875		-	-1,44	-0,5	-0,4251	0,0749		2,7692
	0,875	1,75		-1,44	-0,94	-0,4251	-0,3264	0,0987		0,5
	1,75	2,625		-0,94	-0,43	-0,3264	-0,1664	0,1600		2,2069
	2,625	3,5		-0,43	0,08	-0,1664	0,0319	0,1983		2,7778
	3,5	4,375		0,08	0,58	0,0319	0,2190	0,1871		0,7353
	4,375	5,25		0,58	1,09	0,2190	0,3621	0,1431		0,9615
	5,25	6,125		1,09	1,59	0,3621	0,4441	0,0820		0,0667
	6,125			1,59	+	0,4441	0,5	0,0559

Таблица 6

.

Так как , то гипотезу о нормальном распределении принимаем.

Построим на одной координатной плоскости эмпирическое и теоретическое распределения и сравним между собой.

Замечаем, что эмпирическое и теоретическое распределения достаточно близки. Поэтому можно сделать вывод, что рассматриваемое эмпирическое распределение является нормальным.

Ответ: нулевую гипотезу принимаем.

Задание 4

Проектный контролируемый размер изделий, изготовляемых станком-автоматом, . Измерения 20 случайно отобранных изделий дали следующие результаты:

контролируемый размер	34,8	34,9	35,0	35,1	35,2
частота (число изделий)

Требуется при уровне значимости 0,05 проверить нулевую гипотезу при конкурирующей гипотезе .

Решение

Так как дисперсия генеральной совокупности неизвестна, то в качестве критерия используем случайную величину , распределенную по закону Стьюдента. Найдем и , используя таблицы Excel. В качестве ложного нуля возьмем С=35, при этом h=0,1.

Таблица 7

i
	34,8		-2	-4
	34,9		-1	-3
	35,0
	35,1
	35,2
	-		-

Так как , то

Так как , то

Вычислим наблюдаемое значение критерия

Так как конкурирующая гипотеза , то имеем двустороннюю критическую область и по приложению 6 находим =

Так как , действительно, 0,0009 2,09, то нулевую гипотезу принимаем.

Контрольные вопросы для защиты лабораторной работы №5

1.Эмпирические и выравнивающие (теоретические) частоты. Построение нормальной кривой по опытным данным.

2. Статистическая гипотеза. Нулевая и конкурирующая, простая и сложная гипотезы. Ошибки первого и второго рода. Статистический критерий.

3. Критическая область. Область принятия гипотезы. Критические точки. Виды критических областей. Отыскание критических областей. Мощность критерия.

4. Проверка гипотезы о распределении генеральной совокупности. Критерий согласия Пирсона. χ² распределение.

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 6

Тема: Элементы теория корреляции. Задачи теории корреляции. Линейная регрессия, ее уравнение. Коэффициент корреляции, его свойства.

Цель: 1. Нахождение уравнения прямой линии регрессии.

2. Построение прямой линии регрессии и диаграммы рассеяния.

3. Выяснение значимости выборочного коэффициента корреляции.

4. Нахождение выборочного коэффициента корреляции.

Требования к работе

1. Работу провести с использованием таблиц Exсel.

2. Работу распечатать в формате А-4.

3. Ответить на контрольные вопросы и защитить.