Динамика вращательного движения твердого тела вокруг

Неподвижной оси

Момент силы , действующей на тело, относительно оси вращения

,

где - проекция силы на плоскость, перпендикулярную оси вращения; l - плечо силы (кратчайшее расстояние от оси вращения до линии действия силы).

Момент инерции относительно оси вращения:

а) материальной точки

J=mr²,

 

где т - масса точки; r - ее расстояние от оси вращения;

б) дискретного твердого тела

 

,

 

где Δm_i - масса i-го элемента тела; r_i - расстояние этого элемента от оси вращения; п - число элементов тела;

в) сплошного твердого тела

 

 

Если тело однородно, т. е. его плотность ρ одинакова по всему объему, тоdm=ρdV, и

 

,

 

где V - объем тела.

Теорема Штейнера. Момент инерции тела относительно произвольной оси

 

J=J₀+ma²,

 

где J₀ - момент инерции этого тела относительно оси, проходящей через центр тяжести тела параллельно заданной оси; а - расстояние между осями; m - масса тела.

Момент импульса вращающегося тела относительно оси

 

.

 

Закон сохранения момента импульса

 

,

 

где - момент импульса i-го тела, входящего в состав системы.

 

Таблица 2 - Моменты инерции тел правильной геометрической формы

 

Тело	Ось, относительно которой определяется момент инерции	Формула момента инерции
Однородный тонкий стержень массой т и длиной l     Тонкое кольцо, обруч, труба радиусом R и массой т, маховик радиусом R и массой т, распределенной по ободу   Круглый однородный диск (цилиндр) радиусом R и массой т   Однородный шар массой т и радиусом R	Проходит через центр тяжести стержня перпендикулярно стержню   Проходит через конец стержня перпендикулярно стержню   Проходит через центр перпендикулярно плоскости основания   Проходит через центр диска перпендикулярно плоскости основания   Проходит через центр шара	mR2

 

Закон сохранения момента импульса для двух взаимодействующих тел

 

 

где - моменты инерции и угловые скорости тел до взаимодействия; - те же величины после взаимодействия.

Закон сохранения момента импульса для одного тела, момент инерции которого меняется,

 

,

 

где J₁ и J₂ - начальный и конечный моменты инерции; ω₁ и ω₂ - начальная и конечная угловые скорости тела.

Основное уравнение динамики вращательного движения твердого тела относительно неподвижной оси

 

 

где - момент силы, действующей на тело в течение времени dt;J - момент инерции тела;ω - угловая скорость; - момент импульса.

Если момент силы и момент инерции постоянны, то это уравнение записывается в виде

 

.

 

В случае постоянного момента инерции основное уравнение динамики вращательного движения принимает вид

 

,

 

где e - угловое ускорение.

Работа постоянного момента силы М, действующего на вращающееся тело

 

A=Mj,

 

где j - угол поворота тела.

Мгновенная мощность, развиваемая при вращении тела

 

N=M .

 

Кинетическая энергия вращающегося тела

 

.

 

Кинетическая энергия тела, катящегося по плоскости без скольжения

 

,

 

где v_С - скорость центра масс тела; - кинетическая энергия вращательного движения тела вокруг оси, проходящей через центр масс.

 

Силы в механике

Закон всемирного тяготения

,

где F - сила взаимного притяжения двух материальных точек; m₁ и m₂ - их массы; r - расстояние между точками; G - гравитационная постоянная.

В написанной форме закон всемирного тяготения можно применять и к взаимодействию шаров, масса которых распределена сферически-симметрично. В этом случае r есть расстояние между центрами масс шаров.

Напряженность гравитационного поля

,

где F - сила тяготения, действующая на материальную точку массы m, помещенную в некоторую точку поля.

Напряженность гравитационного поля, создаваемого планетой, массу М которой можно считать распределенной сферически-симметрично

,

где r - расстояние от центра планеты до интересующей нас точки поля, находящейся вне планеты.

Ускорение свободного падения на высоте h над поверхностью Земли

,

где R - радиус Земли; g - ускорение свободного падения на поверхности Земли. Если , то

.

Потенциальная энергия гравитационного взаимодействия двух материальных точек массами m₁ и m₂ (шаров с массой, распределенной сферически симметрично), находящихся на расстоянии r друг от друга

(Потенциальная энергия бесконечно удаленных друг от друга материальных точек принята равной нулю.)

Относительная деформация при продольном растяжении или сжатии тела

,

где ε - относительное удлинение (сжатие); x – абсолютное удлинение; l – начальная длина тела.

Напряжение нормальное

,

где F_ynp - упругая сила, перпендикулярная поперечному сечению; S - площадь этого сечения.

Закон Гука для продольного растяжения или сжатия

, или ,

где k - коэффициент упругости (в случае пружины - жесткость); Е – модуль Юнга.

Потенциальная энергия растянутого или сжатого стержня

, или ,

где V - объем тела.

Релятивистская механика

В специальной теории относительности рассматриваются только инерциальные системы отсчета. Во всех задачах считается, что оси у, у' и z, z' сонаправлены, а относительная скорость v₀ системы координат К' относительно системы К направлена вдоль общей оси хх'.

Релятивистское (лоренцево) сокращение длины стержня

,

где l₀ - длина стержня в системе координат К', относительно которой стержень покоится (собственная длина); l - длина стержня, измеренная в системе К, относительно которой он движется со скоростью v; с - скорость распространения электромагнитного излучения.

Релятивистское замедление хода часов

,

где Δt₀ - интервал времени между двумя событиями, происходящими в одной точке системы K', измеренный по часам этой системы (собственное время движущихся часов); Δt - интервал времени между двумя событиями, измеренный по часам системы K.

Релятивистское сложение скоростей

,

где v' - относительная скорость (скорость тела относительно системы K'); v₀ - переносная скорость (скорость системы K' относи­тельно К), v - абсолютная скорость (скорость относительно системы К).

В теории относительности абсолютной скоростью называется скорость тела в системе координат, условно принятой за неподвижную.

Релятивистская масса

, или ,

где m₀ - масса покоя; β - скорость частицы, выраженная в долях скорости света ( ).

Релятивистский импульс

, или ,

Полная энергия релятивистской частицы

,

где - кинетическая энергия частицы; - ее энергия покоя.

Частица называется релятивистской, если скорость частицы сравнима со скоростью света, и классической, если v<<с.

Связь полной энергии с импульсом релятивистской частицы

Связь кинетической энергии с импульсом релятивистской частицы

Механические колебания

Уравнение гармонических колебаний

,

где x - смещение колеблющейся точки от положения равновесия; t - время; А, ω, φ - соответственно амплитуда, угловая частота, начальная фаза; - фаза колебаний в момент t.

Угловая частота колебаний

, или ,

где ν и Т - частота и период колебаний.

Полная энергия материальной точки, совершающей гармонические колебания,

Период колебаний тела, подвешенного на пружине (пружинный маятник)

,

где m - масса тела; k -жесткость пружины.

Период колебаний математического маятника

,

где l - длина маятника; g - ускорение свободного падения.

Период колебаний физического маятника

,

где J - момент инерции колеблющегося тела относительно оси колебаний; а - расстояние центра масс маятника от оси колебаний.

Период крутильных колебаний тела, подвешенного на упругой нити,

,

где J - момент инерции тела относительно оси, совпадающей с упругой нитью; k - жесткость упругой нити, равная отношению упругого момента, возникающего при закручивании нити, к углу, на который нить закручивается.

Уравнение затухающих колебаний

,

где А(t) - амплитуда затухающих колебаний в момент t; ω – их круговая частота.

Угловая частота затухающих колебаний

,

где δ – коэффициент затухания.

Зависимость амплитуды затухающих колебаний от времени

,

где А₀ - амплитуда колебаний в момент t=0.

Логарифмический декремент затухания

.

Амплитуда вынужденных колебаний

,

где F₀ - амплитудное значение вынуждающей силы.

Резонансная частота и резонансная амплитуда вынужденных колебаний

и .