VII. Функции нескольких переменных МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ, НАУКИ И МОЛОДЕЖИ РЕСПУБЛИКИ КРЫМ
ГБОУ ВО РК
«КРЫМСКИЙ ИНЖЕНЕРНО-ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»
Кафедра математики
Д.Д. Гельфанова, Т.М. Шамилев
ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА
Учебно-методическое пособие
для студентов заочной формы обучения
Направления подготовки 44.03.04. «Профессиональное обучение
(по отраслям)»
Симферополь 2015
ББК 22.18в6
Г32
Рекомендовано к печати решением Ученого совета инженерно-технологического факультета ГБОУ ВО РК «Крымский инженерно-педагогический университет», протокол № 11, от 21.05.2015
Рецензенты:
Павлов Е.А., д.ф.-м.н, проф., зав. кафедрой математики ГБОУ ВО РК «Крымский инженерно-педагогический университет»;
Сухтаева А.М., к.ф.-м.н., ст. преп. кафедры математики ГБОУ ВО РК «Крымский инженерно-педагогический университет»;
Лопашова Ю.А., к. пед. н., доцент кафедры психологии и педагогики ГБОУ ДПО РК «Крымский республиканский институт постдипломного педагогического образования».
Гельфанова Д.Д., Шамилев Т.М.
Г32 Высшая математика. Учебно-методическое пособие. Предназначено для студентов заочной формы обучения направления подготовки 44.03.04. «Профессиональное обучение (по отраслям)» Содержит программу по дисциплине, краткие теоретические сведения, примеры решения типовых задач, контрольные работы для студентов заочной формы обучения направления подготовки 44.03.04. «Профессиональное обучение (по отраслям)» по дисциплине «Высшая математика». / Д.Д. Гельфанова, Т.М. Шамилев. – Симферополь: РИО КИПУ., 2015. – 53 с.
ББК 22.18в6
©Гельфанова Д.Д., Шамилев Т.М., 2015
ПРЕДИСЛОВИЕ
Данное учебно-методическое пособие по дисциплине «Высшая матемтика» предназначено для студентов заочной формы обучения направления подготовки 44.03.04. «Профессиональное обучение (по отраслям)». Содержит программу по дисциплине, краткие теоретические сведения, примеры решения типовых задач, контрольные работы.
Каждая контрольная работа должна быть выполнена в отдельной тетради, на обложке которой студенту следует разборчиво написать свою фамилию, инициалы, шифр, номер контрольной работы, название дисциплины.
Учебным планом предусмотрено выполнение двух контрольных работ по высшей математике. Контрольная работа №1 выполняется в первом семестре и сдается в на проверку преподавателю за 20 дней до начала зимней экзаменационной сессии. Контрольная работа №2 выполняется во втором семестре и сдается не проверку преподавателю за 20 дней до начала летней экзаменационной сессии.
Решения задач необходимо проводить в той же последовательности, что и в условиях задач. При этом условие задачи должно быть полностью переписано перед ее решением.
Студент выполняет тот вариант контрольной работы, который совпадает с его номером в списке группы (смотреть в деканате).
ПРОГРАММА ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ
I. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии
1. Трехмерное пространство R3. Векторы. Линейные операции над векторами. Линейно-независимые системы векторов. Базис.
2. Скалярное произведение в R3 и его свойства. Длина вектора. Угол между двумя векторами. Ортогональный базис. Разложение вектора по базису.
3. Определители второго и третьего порядков, их свойства. Алгебраические дополнения и миноры. Определители n-го порядка. Векторное произведение и его свойства. Смешанное произведение.
4. Уравнение плоскости в R3 (векторная и координатная формы). Уравнение прямой в R2 и R3(векторная и координатная формы).
5. Системы двух и трех линейных уравнений с двумя и тремя неизвестными. Правило Крамера. Системы m линейных уравнений с n неизвестными.
6. Матрицы. Действия над матрицами, обратная матрица. Матричная запись системы линейных уравнений и ее решения.
7. Общее уравнение кривых второго порядка. Канонические формы уравнений эллипса, гиперболы и параболы. Геометрические свойства эллипса, гиперболы и параболы.
8. Поверхности второго порядка. Канонические формы уравнений. Исследование поверхностей второго порядка методом сечений.
II. Введение в математический анализ
9. Множество вещественных чисел. Числовые последовательности. Предел. Верхние и нижние пределы множеств. Существование предела монотонной ограниченной последовательности. Число е. Натуральные логарифмы. Предел функции в точке. Предел функции в бесконечности. Свойства функции, имеющих предел.
10. Непрерывность функции. Непрерывность основных элементарных функций.
11. Бесконечно малые функции и их свойства.
12. Бесконечно большие функции и их свойства. Связь между бесконечно большими функциями и бесконечно малыми.
13. Сравнение бесконечно малых. Эквивалентные бесконечно малые. Их использование при вычислении пределов.
14. Свойства непрерывных в точке функций. Непрерывность суммы, произведения и частного. Предел и непрерывность сложной функции.
15. Односторонние пределы. Односторонняя непрерывность. Точки разрыва функции и их классификация.
16. Свойства функций, непрерывных на отрезке: ограниченность, существование наибольшего и наименьшего значений, существование промежуточных значений.
III. Дифференциальное исчисление функции одной переменной
17. Производная функции, ее геометрический и механический смысл. Производная суммы, произведения и частного (обзор теорем школьного курса).
18. Производная сложной функции. Производная обратной функции. Производные обратных тригонометрических функций. Функции, заданные параметрически, и их дифференцирование.
19. Гиперболические функции, их свойства и графики. Производные гиперболических функций.
20. Дифференцируемость функции. Дифференциал функции. Связь дифференциала с производной. Геометрический смысл дифференциала. Дифференциал суммы, произведения и частного. Инвариантность формы дифференциала.
21. Производные и дифференциалы высших порядков. Формула Лейбница.
IV. Исследование функций с помощью производных
22. Условия возрастания и убывания функции. Точки экстремума. Необходимые условия экстремума. Достаточные признаки существования экстремума. Отыскание наибольшего и наименьшего значений непрерывной на отрезке функции.
23. Исследование функции на экстремум с помощью производных высшего порядка. Исследование функций на выпуклость и вогнутость. Точка перегиба. Асимптоты кривых. Общая схема построения графиков функций.
24. Комплексные числа. Их изображение на плоскости. Модуль и аргумент комплексного числа. Алгебраическая, тригонометрическая и показательная формы комплексного числа. Операции над комплексными числами. Формула Муавра.
25. Многочлен в комплексной области. Теорема Безу.
26. Корни многочлена. Основная теорема алгебры. Разложение многочлена с действительными коэффициентами на линейные и квадратичные множители.
27. Комплексные функции действительного переменного. Их дифференцирование. Формула Эйлера.
V. Неопределенный интеграл
28. Первообразная. Неопределенный интеграл, его свойства. Таблица основных формул интегрирования. Непосредственной интегрирование по частям и подстановкой.
29. Интегрирование рациональных функций путем разложения на простейшие дроби. Интегрирование выражений, содержащих тригонометрические функции. Интегрирование некоторых иррациональных выражений. Использование таблиц интегралов.
VI. Определенный интеграл
30. Задачи, приводящие к понятию определенных интегралов. Определенный интеграл как предел интегральных сумм. Основные свойства определенного интеграла.
31. Производная интеграла по верхнему пределу. Формула Ньютона – Лейбница.
32. Вычисление определенного интеграла: интегрирование по частям и подстановкой. Приближенное вычисление определенного интеграла: формулы прямоугольников, трапеций и Симпсона.
33. Приложение интегралов к вычислению площадей плоских фигур, длин дуг кривых, объемов тел и площадей поверхностей вращения. Физические приложения определенного интеграла.
34. Несобственные интегралы с бесконечными пределами. Несобственные интегралы от неограниченных функций, основные свойства. Абсолютная и условная сходимости. Признаки сходимости.
VII. Функции нескольких переменных
35. Функции нескольких переменных. Область определения. Предел функции. Непрерывность.
36. Частные производные. Полный дифференциал и его связь с частными производными. Инвариантность формы полного дифференциала. Касательная плоскость и нормаль к поверхности. Геометрический смысл полного дифференциала.
37. Частные производные и полные дифференциалы высших порядков.
38. Экстремумы функции нескольких переменных. Необходимое условие. Достаточные условия. Абсолютный экстремум.
|