УЧЕБНЫЕ МАТЕРИАЛЫ ПО РАЗДЕЛАМ КУРСА

ФИЗИКИ

I. ФИЗИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ МЕХАНИКИ, МОЛЕКУЛЯНОЙ

ФИЗИКИ И ТЕРМОДИНАМИКИ

Пояснения к рабочей программе

Приступая к изучению физики, необходимо уяснить, что физика, наряду с другими естественными науками, изучает объективные свойства окружающего нас материального мира. Она исследует наиболее общие формы движения материи и их взаимные превращения. Движение есть форма существования материи. Физические понятия являются простейшими и в то же время основополагающими и всеобщими в естествознании (пространство, время, движение, масса, работа, энергия и др.).

Изучать основы классической механики надо исходя из представлений современной физики, в которой основные понятия классической механики не утратили своего значения, а получили дальнейшее развитие, обобщение и критическую оценку с точки зрения их применения. Следует помнить, что механика – это наука о простейших формах движения материальных тел и происходящих при этом взаимодействиях между телами. Движение всегда существует в пространстве и во времени. Диалектический материализм учит, что пространство, поле и время являются основными формами существования материи. Предметом классической механики является движение макроскопических материальных тел, совершаемое со скоростями, малыми по сравнению со скоростью света в вакууме. Движение частиц со скоростями порядка скорости света рассматривается в теории относительности, а движение микрочастиц изучается в квантовой механике.

В контрольную работу № 1 включены задачи, дающие возможность проверить знания студентов по ключевым вопросам классической механики и элементам специальной теории относительности. Решая задачи по кинематике, в которых необходимо использовать математический аппарат дифференциального и интегрального исчислений, студент должен научиться определять мгновенные скорость и ускорение по заданной зависимости координаты от времени, а так же решать обратные задачи.

Задачи на динамику материальной точки и поступательное движение твердого тела охватывают такие вопросы, как закон движения центра масс механической системы, закон сохранения количества движения, работа силы и ее выражение через криволинейный интеграл, связь кинетической энергии механической системы с работой сил, приложенных к этой системе, закон сохранения механической энергии. Тщательного изучения и понимания требуют вопросы о поле как форме материи, осуществляющей взаимодействие между частицами вещества или телами, о потенциальной энергии механической системы.

В задачах на кинематику и динамику вращательного движения твердого тела главное внимание уделялось изучению соотношений между линейными и угловыми характеристиками, понятий момента силы, момента инерции тела, законов сохранения количества движения, момента количества движения и механической энергии.

В контрольную работу включены задачи по элементам специальной теории относительности, которые охватывают следующие вопросы: относительность одновременности, длин и промежутков времени, релятивистский закон сложения скоростей, зависимость релятивистской массы от скорости, соотношение между релятивистской массой и полной энергией. Решая эти задачи, студент должен усвоить, что законы классической механики имеют границы применимости и что они получаются как следствие теории относительности.

Изучая физические основы молекулярной физики и термодинамики, студенты должны уяснить, что существуют два качественно различных и взаимодополняющих метода исследования физических свойств макроскопических систем – статистический (молекулярно-кинетический) и термодинамический. Молекулярно-кинетический метод исследования лежит в основе молекулярной физики, термодинамический – в основе термодинамики. Молекулярно-кинетическая теория позволяет с единой точки зрения рассмотреть различные явления во всех состояниях вещества, вскрыть их физическую сущность и теоретическим путем вывести многочисленные закономерности, открытые экспериментально и имеющие большое практическое значение.

При изучении молекулярно-кинетической теории следует уяснить, что свойства огромной совокупности молекул отличны от свойств каждой отдельной молекулы и свойства макроскопической системы в конечном счете определяются свойствами частиц системы, особенностями их движения и средними значениями кинематических характеристик частиц, т. е. их скоростей, энергий т. д.

В отличие от молекулярно-кинетической теории, термодинамика не изучает конкретно молекулярные взаимодействия, происходящие с отдельными атомами или молекулами, а рассматривает взаимопревращения и связь различных видов энергии, теплоты и работы. Термодинамика базируется на опытных законах (началах), которые позволяют описывать физические явления, связанные с превращением энергии макроскопическим путем.

При изучении основ термодинамики студент должен четко усвоить такие понятия, как термодинамическая система, термодинамические параметры (параметры состояния), равновесное состояние, уравнение состояния, термодинамический процесс, внутренняя энергия, энтропия и т. д.

Задачи контрольной работы дают возможность проверить знания студентов по основным вопросам молекулярной физики и термодинамики.

В задачах на тему «Основы молекулярно-кинетической теории» внимание уделено таким вопросам программы, как уравнение Клайперона-Менделеева, уравнение молекулярно-кинетической теории, средние кинетические энергии поступательного и вращательного движения молекул, средняя длина свободного пробега и среднее число соударений, явления переноса.

Задачи по теме «Основы термодинамики» охватывают такие важные соотношения и понятия, как первое начало термодинамики, внутренняя энергия, работа при различных изопроцессах и адиабатном процессе. Включены также задачи, которые позволяют проверить понимание второго начала термодинамики, понятие энтропия идеального газа, являющегося, в отличие от количества теплоты функцией состояния. Задачи в контрольной работе расположены приблизительно в том порядке, в каком соответствующие вопросы рассматриваются в рабочей программе.

ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ

МЕХАНИКА

Мгновенная скорость: ,

где – радиус-вектор материальной точки, t – время.

Ускорение:

тангенциальное: ,

нормальное: ,

полное: ,

где R – радиус кривизны траектории, – единичный вектор нормали, направленный к центру кривизны траектории.

Угловая скорость: ,

где - угловое перемещение.

Ускорение угловое: .

Связь между линейными и угловыми величинами:

Импульс (количество движения) материальной точки: ,

где m – масса материальной точки.

Основное уравнение динамики материальной точки (II закон Ньютона):

Закон сохранения импульса для изолированной системы: .

Радиус-вектор центра масс: .

Скорости частиц после столкновения:

Сила сухого трения: ,

где f – коэффициент трения, – сила нормального давления.

Сила упругости: ,

где k – коэффициент упругости (жесткость), – деформация.

Сила гравитационного взаимодействия: ,

где m₁ и m₂ – массы частиц, g – гравитационная постоянная, r – расстояние между частицами.

Работа силы: .

Мощность: .

Потенциальная энергия:

упругодеформированного тела: ,

гравитационного взаимодействия двух частиц: ,

тела в однородном гравитационном поле: ,

где g – ускорение свободного падения,h – расстояние от нулевого уровня.

Потенциал гравитационного поля Земли: ,

где M₃ – масса Земли, R₃ – радиус Земли, h – расстояние от поверхности Земли.

Напряженность гравитационного поля Земли: .

Кинетическая энергия материальной точки:.

Закон сохранения механической энергии: .

Момент инерции материальной точки: ,

момент инерции абсолютно твердого тела: ,

где r – расстояние до оси вращения.

Моменты инерции тел массой m относительно оси, проходящей через центр масс:

тонкостенного цилиндра, кольца радиуса R, если ось вращения совпадает с осью цилиндра: ,

сплошного цилиндра, диска радиуса R, если ось вращения совпадает с осью цилиндра: ,

шара радиуса R: ,

тонкого стержня длиной l, если ось вращения перпендикулярна стержню: .

Момент инерции тела массой m относительно произвольной оси (теорема Штейнера): ,

где J_o – момент инерции относительно параллельной оси, проходящей через центр масс тела, d – расстояние между осями.

Момент силы: ,

где – радиус-вектор точки приложения силы.

Момент импульса: .

Основное уравнение динамикивращательного движения: .

Закон сохранения момента импульса для изолированной системы: .

Работа при вращательном движении:.

Кинетическая энергия вращающегося тела: .

Релятивистское изменение длины: ,

где l₀ – длина покоящегося тела, с – скорость света в вакууме.

Релятивистское замедление времени: ,

гдеt₀ –собственное время.

Релятивистская масса: ,

где m₀ – масса покоя.

Энергия покоя частицы: .

Полная энергия релятивистской частицы: .

Релятивистский импульс: .

Кинетическая энергия релятивистской частицы: .

Релятивистское соотношение между полной энергией и импульсом: .

Теорема сложения скоростей в релятивистской механике: ,

где u и – скорости в двух инерциальных системах отсчета, движущихся относительно друг друга со скоростью , совпадающей по направлению с u (знак «-») или противоположно ей направленной (знак «+»).

МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА

Количество вещества: ,

где N – число молекул, N_A – постоянная Авогадро, m – масса вещества, m – молярная масса.

Уравнение Клайперона-Менделеева: ,

где P – давление газа, V – его объем, R – малярная газовая постоянная, T – абсолютная температура.

Уравнение молекулярно-кинетической теории газа: ,

где n – концентрация молекул, – средняя кинетическая энергия поступательного движения молекулы, m₀ – масса молекулы, – средняя квадратичная скорость.

Средняя энергия молекулы: ,

где i – число степеней свободы, k – постоянная Больцмана.

Внутренняя энергия идеального газа: .

Скорости молекул:

средняя квадратичная: ,

средняя арифметическая: ,

наиболее вероятная: .

Средняя длина свободного пробега молекулы: ,

где d – эффективный диаметр молекулы.

Среднее число столкновений молекулы в единицу времени:

.

Распределение молекул в потенциальном поле сил: ,

где П – потенциальная энергия молекулы.

Барометрическая формула: .

Уравнение диффузии: ,

где D – коэффициент диффузии, r – плотность, dS – элементарная площадка, перпендикулярная к направлению вдоль которого происходит диффузия.

Уравнение теплопроводности: , æ ,

где æ – теплопроводность.

Сила внутреннего трения: ,

где h – динамическая вязкость.

Коэффициент диффузии: .

Вязкость (динамическая): .

Теплопроводность: æ ,

где С_V – удельная изохорная теплоемкость.

Молярная теплоемкость идеального газа:

изохорная: ,

изобарная: .

Первое начало термодинамики:

Работа расширения газа при процессе:

изобарном: ,

изотермическом: ,

изохорном:

адиабатном: ,

где .

Уравнения Пуассона:

Коэффициент полезного действия цикла Карно: ,

где Q и T – количество теплоты, полученное от нагревателя, и его температура; Q₀ и Т₀ – количество теплоты, переданное холодильнику, и его температура.

Изменение энтропии при переходе из состояния 1в состояние 2: .

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

1.Движение тела массой 1 кг задано уравнением s = 6t³ + 3t + 2. Найти зависимость скорости и ускорения от времени. Вычислить силу, действующую на тело в конце второй секунды.

Решение. Мгновенную скорость находим как производную от пути по времени: , . Мгновенное ускорение определяется первой производной от скорости по времени или второй производной от пути по времени: , . Сила, действующая на тело, определяется по второму закону Ньютона: , где , согласно условию задачи, ускорение в конце второй секунды. Тогда , Н.

Ответ: , , Н.

2. Стержень длиной 1 м движется мимо наблюдателя со скоростью на 20% меньше скорости света. Какой покажется наблюдателю его длина?

Решение. Зависимость длины тела от скорости в релятивистской механике выражается формулой: , где l₀ – длина покоящегося стержня; – скорость его движения; с – скорость света в вакууме. Подставляя в формулу для l₀ числовые значения, имеем: l = 0,6 м.

Ответ: l = 0,6 м.

3. Две частицы движутся навстречу друг другу со скоростями: 1) = 0,5с и u = 0,75с; 2) = с и u = 0,75с. Найти их относительную скорость в первом и втором случаях.

Решение. Согласно теореме о сложении скоростей тел, движущихся навстречу друг другу, в теории относительности: , где , u – скорости соответственно первого и второго тел; – их относительная скорость; с – скорость света в вакууме. Для первого и второго случаев находим:

Это подтверждает, что, во-первых, ни в какой инерциальной системе отсчета скорость процесса не может превзойти скорость света, и, во-вторых, скорость распространения света в вакууме абсолютна.

Ответ: = 0,91с; = с.

4. На двух шнурах одинаковой длины, равной 0,8 м, подвешены два свинцовых шара массами 0,5 и 1 кг. Шары соприкасаются между собой. Шар меньшей массы отвели в сторону так, что шнур отклонился на угол a=60°, и отпустили. На какую высоту поднимутся оба шара после столкновения? Удар считать центральным и неупругим. Определить энергию, израсходованную на деформацию шаров при ударе.

Решение. Так как удар шаров неупругий, то после удара шары будут двигаться с общей скоростью u. Закон сохранения количества движения при этом ударе имеет вид:

. (1)

Здесь и – скорости шаров до удара. Скорость большого шара до удара равна нулю ( = 0). Скорость меньшего шара найдем, используя закон сохранения энергии. При отклонении меньшего шара на угол ему сообщается потенциальная энергия, которая затем переходит в кинетическую: . Следовательно: . Из геометрических построений следует: , поэтому:

. (2)

Из уравнений (1) и (2) находим скорость шаров после удара:

. (3)

Кинетическая энергия, которой обладают шары после удара, переходит в потенциальную:

, (4)

где h – высота поднятия шаров после столкновения. Из формулы (4) находим ,или с учетом (3) и подставив числовые данные получим h = 0,044 м. При неупругом ударе шаров часть энергии расходуется на их деформацию. Энергия деформации определяется разностью кинетических энергий до и после удара:

. Используя уравнения (2) и (3), получаем: , Дж.

Ответ: h = 0,044 м, DE_Д = 1,3 Дж.

5.Молот массой 70 кг падает с высоты 5 м и ударяет по железному изделию, лежащему на наковальне. Масса наковальни вместе с изделием 1330 кг. Считая удар абсолютно неупругим, определить энергию, расходуемую на деформацию изделия. Систему молот–изделие–наковальня считать замкнутой.

Решение. По условию задачи, система молот–изделие–наковальня считается замкнутой, а удар неупругий. На основании закона сохранения энергии можно считать, что энергия, затраченная на деформацию изделия, равна разности значений механической энергии системы до и после удара. Считаем, что во время удара изменяется только кинетическая энергия тел, т. е. незначительным перемещением тел по вертикали во время удара пренебрегаем. Тогда для энергии деформации изделия имеем:

, (1)

где – скорость молота в конце падения с высоты h; – общая скорость всех тел системы после неупругого удара. Скорость молота в конце падения с высоты h определяется без учета сопротивления воздуха и трения по формуле:

. (2)

Общую скорость всех тел системы после неупругого удара найдем, применив закон сохранения количества движения: . Для рассматриваемой системы закон сохранения количества движения имеет вид , откуда:

. (3)

Подставив в формулу (1) выражения (2) и (3), получим: , Дж.

Ответ: Дж.

6. Тело массой 1 кг под действием постоянной силы движется прямолинейно. Зависимость пути, пройденного телом, от времени задана уравнением s = 2t²+4t+1. Определить работу силы за 10 сек от начала ее действия и зависимость кинетической энергии от времени.

Решение. Работа, совершаемая силой, выражается через криволинейный интеграл:

. (1)

Сила, действующая на тело, из II закона Ньютона равна: или (мгновенное значение ускорения определяется первой производной от скорости по времени или второй производной от пути по времени). В соответствии с этим находим:

, (2), , (3)

. (4)

Из выражения (2) определим ds:

(5)

Подставив (4) и (5) в уравнение (1), получим: По этой формуле определим работу, совершаемую силой за 10 сек от начала ее действия: , А = 960 Дж. Кинетическая энергия определяется по формуле:

. (6)

Подставляя (2) в (6), имеем: .

Ответ: А = 960 Дж, Т = m(8t²+16t+8).

7. Протон движется со скоростью 0,7с (с – скорость света). Найти количество движения и кинетическую энергию протона.

Решение. Количество движения протона определяется по формуле:

. (1)

Так как скорость протона сравнима со скоростью света, то необходимо учесть зависимость массы от скорости, воспользовавшись релятивистским выражением для массы:

, (2)

где m – масса движущегося протона; m₀ =1,67×10^{-27 кг – масса покоя протона;} v – скорость движения протона; c = 3×10⁸ м/с – скорость света в вакууме; v/c = b – скорость протона, выраженная в долях скорости света. Подставляя уравнение (2) в (1) получаем: , кг×м/с. В релятивистской механике кинетическая энергия частицы определяется как разность между полной энергией Е и энергией покоя Е₀ этой частицы:

. (3)

Ответ: p = 4,91×10^{-19 кг}×м/с, Т = 0,6×10^-10 Дж.

8. Тонкий стержень вращается с угловой скоростью 10 с^-1 в горизонтальной плоскости вокруг вертикальной оси, проходящей через середину стержня. В процессе вращения в той же плоскости стержень перемещается так, что ось вращения проходит через его конец. Найти угловую скорость после перемещения.

Решение. Используем закон сохранения момента импульса: , где J_i, – момент инерции стержня относительно оси вращения. Для изолированной системы тел векторная сумма моментов импульса остается постоянной. В данной задаче вследствие того, что распределение массы стержня относительно оси вращения изменяется, момент инерции стержня также изменится. В соответствии с законом сохранения момента импульса запишем:

. (1)

Известно, что момент инерции стержня относительно оси, проходящей через центр масс и перпендикулярной стержню, равен:

. (2)

По теореме Штейнера: где J – момент инерции тела относительно произвольной оси вращения; J₀ – момент инерции относительно параллельной оси, проходящей через центр масс; d – расстояние от центра масс до выбранной оси вращения. Найдем момент инерции относительно оси, проходящей через его конец и перпендикулярной стержню:

. (3)

Подставляя, формулы (2) и (3) в (1), имеем: , откуда .

Ответ: w₂ = 2,5 c^-1.

9. Маховик массой 4 кг вращается с частотой 720 мин^-1 вокруг горизонтальной оси, проходящей через его центр. Массу маховика можно считать равномерно распределенной по его ободу радиусом 40 см. Через 30 с под действием тормозящего момента маховик остановился. Найти тормозящий момент и число оборотов, которое сделает маховик до полной остановки.

Решение. Для определения тормозящего момента М сил, действующих на тело, нужно применить основное уравнение динамики вращательного движения:

, (1)

где J – момент инерции маховика относительно оси, проходящей через центр масс; – изменение угловой скорости за промежуток времени . По условию, , где – начальная угловая скорость, так как конечная угловая скорость = 0. Выразим начальную угловую скорость через частоту вращения маховика; тогда и Момент инерции маховика , где m – масса маховика; R – его радиус. Формула (1) принимает вид: откуда М = -1,61 Н×м. Знак «-» говорит о том, что момент томозящий.

Угол поворота (т. е. угловой путь ) за время вращения маховика до остановки может быть определен по формуле для равнозамедленного вращения:

, (2)

где – угловое ускорение. По условию, , , . Тогда выражение (2) можно записать так: . Так как j = 2pN, w₀ = 2pn, то число полных оборотов маховика: .

Ответ: М = 1,61 Н×м, N = 180.

10. В сосуде объемом 2 м³ находится смесь 4 кг гелия и 2 кг водорода при температуре 27 °С. Определить давление и молярную массу смеси газов.

Решение. Воспользуемся уравнением Клайперона-Менделеева, применив его к гелию и водороду:

, (1)

, (2)

где P₁ – парциальное давление гелия; m₁ – масса гелия; – его молярная масса; V – объем сосуда; Т – температура газа; R = 8,31 Дж/(моль×К) – молярная газовая постоянная; P₂ - парциальное давление водорода; m₂ – масса водорода; – его молярная масса. Под парциальным давлением P₁ и P₂ понимается то давление, которое производил бы газ, если бы он находился в сосуде один. По закону Дальтона давление смеси равно сумме парциальных давлений газов, входящих в состав смеси:

. (3)

Из уравнения (1) и (2) выразим P₁ и P₂ и подставим в уравнение (3). Имеем:

. (4)

Молярную массу смеси газов найдем по формуле: , где v₁ и v₂ – число молей гелия и водорода соответственно. Число молей газов определим по формулам: и . Тогда: . Подставляя числовые значения получаем: P = 2493 КПа и = 3×10^-3 кг/моль.

Ответ: P = 2493 КПа, =3×10^-3 кг/моль.

11. Чему равны средние кинетические энергии поступательного и вращательного движения молекул, содержащихся в 2 кг водорода при температуре 400 К?

Решение. Считаем водород идеальным газом. Молекула водорода двухатомная, связь между атомами считаем жесткой. Тогда число степеней свободы молекулы водорода равно 5, три из которых поступательные и две вращательные. В среднем на одну степень свободы приходится энергия , где k – постоянная Больцмана; Т – термодинамическая температура. Для одной молекулы: и . Число молекул, содержащихся в массе газа: . Тогда средняя кинетическая энергия поступательного движения молекул двух килограмм водорода: . Средняя кинетическая энергия вращательного движения этих же молекул: . Подставляя числовые значения имеем: =4986 КДж и =2324 КДж.

Ответ: =4986 КДж, =2324 КДж.

12. Определить среднюю длину свободного пробега молекул и число соударений за 1 с, происходящих между всеми молекулами кислорода, находящегося в сосуде емкостью 2 л при температуре 27 ⁰С и давлении 100 кПа.

Решение. Средняя длина свободного пробега молекул кислорода вычисляется по формуле: , где d – эффективный диаметр молекулы кислорода; n – число молекул в единице объема, которое можно определить из уравнения: , где k – постоянная Больцмана. Таким образом, имеем: . Число соударений Z, происходящих между всеми молекулами за 1 с, равно: , где N – число молекул кислорода в сосуде объемом 2×10^{-3 м3}; <Z> – среднее число соударений одной молекулы за 1 с. Число молекул в сосуде: . Среднее число соударений молекулы за 1 с равно: , где <V> – средняя арифметическая скорость молекулы. Тогда выражение для Z перепишется как: . Подставляя числовые значения, получим: Z = 9×10²⁸ с^-1, = 3,56×10⁸ м.

Ответ: Z = 9×10²⁸ с^-1, = 3,56×10⁸ м.

13. Определить коэффициенты диффузии и внутреннего трения азота, находящегося при температуре Т = 300 К и давлении 10⁵ Па.

Решение. Коэффициент диффузии определяется по формуле: , где <V> – средняя арифметическая скорость молекул, – средняя длина свободного пробега молекул. Для нахождения воспользуемся формулой из решения примера 12: . Выражение для коэффициента диффузии примет вид: . Коэффициент внутреннего трения: , где r – плотность газа при температуре 300 К и давлении 10⁵ Па. Для нахождения r воспользуемся уравнением состояния идеального газа. Запишем его для двух состояний азота: при нормальных условиях Т₀=273 К, P=1,01×10⁵ Па и в условиях задачи: и . Учитывая, что и , имеем: . Коэффициент внутреннего трения газа может быть выражен через коэффициент диффузии: . Подставляя числовые значения, получим: D = 4,7×10⁵ м²/с и h = 5,23×10^-5 кг/(м×с).

Ответ: D = 4,7×10⁵ м²/с и h = 5,23×10^-5 кг/(м×с).

14. Кислород массой 160 г нагревают при постоянном давлении от 320 до 340 К. Определить количество теплоты, поглощенное газом, изменение внутренней энергии и работу расширения газа.