Пояснения к рабочей программе

Изучение электрических и магнитных явлений было впервые обощено в XIX в. Эти явления связаны с особой формой существования материи – электромагнитным полем. Электромагнитные взаимодействия не только объясняют все электромагнитные явления, но и обеспечивают силы, обусловливающие существование вещества на атомном и молекулярном уровнях как целого. Важность теории электромагнитного поля связана с тем, что она включает всю оптику, так как свет представляет собой электромагнитное излучение. Основой теории электромагнитного поля является теория Максвелла. Уравнения Максвелла установили тесную связь между электрическими и магнитными явлениями, которые раньше рассматривались как независимые. Максвелл сформулировал такое важнейшее понятие физики, как электромагнитное поле.

Изучение основ электродинамики начинается с электрического поля в вакууме. Эта тема является фундаментом раздела, включающего электростатику и постоянный ток. Особое внимание при изучении этого раздела следует обратить на закон сохранения электрического заряда, инвариантность его в теории относительности, на силовую и энергетическую характеристики поля (напряженность, потенциал) и связь между ними. Студент должен уметь применять теорему Остроградского-Гаусса для вычисления напряженности электрических полей и уяснить такие понятия, как поток и циркуляция вектора напряженности поля.

При изучении электрического поля в диэлектриках следует представлять механизм поляризации полярных и неполярных диэлектриков и преимущество вектора электрического смещения перед вектором напряженности для описания электрического поля в неоднородных диэлектриках.

При изучении вопроса об энергии заряженных проводников и конденсаторов студент должен обратить внимание, что в рамках электростатики нельзя однозначно решить вопрос о локализации этой энергии. С равным правом можно считать, что энергией обладают как заряженные проводники, так и создаваемое ими электрическое поле.

Изучение темы «Постоянный электрический ток» следует начать с классической электронной теории проводимости металлов, на ее основе рассмотреть законы Ома и Джоуля-Ленца. Четко разграничить такие понятия, как разность потенциалов, электродвижущая сила и электрическое напряжение.

Изучая раздел «Магнитное поле», студент должен уделить особое внимание закону Ампера, знать и уметь применять закон Био-Савара-Лапласа для расчета магнитной индукции или напряженности магнитного поля прямолинейного и кругового токов, а также закон полного тока (циркуляция вектора магнитной индукции) для расчета магнитного поля тороида и длинного соленоида. При изучении вопроса, связанного с действием магнитного поля на движущиеся заряды, нужно уметь применять силу Лоренца для определения направления движения заряженных частиц в магнитном поле, представлять себе принцип действия циклических ускорителей заряженных частиц, а также определять работу перемещения проводника и контура с током в магнитном поле.

При изучении явления электромагнитной индукции необходимо усвоить, что механизм возникновения ЭДС индукции имеет электронный характер. Изучив основной закон электромагнитной индукции Фарадея-Максвелла, студент на его основе должен уметь вывести и применять для расчетов формулы электродвижущей силы индукции, энергии магнитного поля.

Изучение магнитных свойств вещества носит, в основном, описательный характер. Студент при этом должен уяснить, что исходя из выражения циркуляции вектора магнитной индукции, магнитное поле, в отличие от электрического, является вихревым.

Студенту следует ясно представлять себе физический смысл уравнений Максвелла (в интегральной форме), знать, что переменные электрическое и магнитное поля взаимосвязаны, они поддерживают друг друга и могут существовать независимо. Под энергией электромагнитного поля следует подразумевать сумму энергий электрического и магнитного полей.

Контрольная работа № 2 представлена набором таких задач, которые помогут студенту проверить свои знания по разделам «Электростатика», «Постоянный ток», «Электромагнетизм». Она включает в себя задачи на определение напряженности и разности потенциалов электрического поля, расчет простейших электрических полей с помощью принципа суперпозиции, определение электроемкости и энергии поля конденсаторов, применение законов Ома и Джоуля-Ленца. Включены задачи на применение закона Био-Савара-Лапласа для расчета магнитной индукции (или напряженности) магнитного поля, создаваемого проводниками с током различной конфигурации, применение принципа суперпозиции при определении индукции или напряженности простейших полей, определение траектории движения заряженной частицы, ее удельного заряда и силы, действующей на движущуюся частицу в магнитном поле, вычисление работы, совершаемой силами как при движении прямолинейного проводника с током, так и при вращении контура с током различной конфигурации в магнитном поле, нахождение намагниченности, энергии и объемной плотности энергии магнитного поля соленоида и тороида.

ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ

ЭЛЕКТРИЧЕСТВО

Закон Кулона: ,

где q₁ и q₂ – величины точечных зарядов, – электрическая постоянная, – диэлектрическая проницаемость среды, – расстояние между зарядами.

Напряженность электрического поля: .

Напряженность поля:

точечного заряда: ,

бесконечно длинной заряженной нити: ,

равномерно заряженной бесконечной плоскости: ,

между двумя разноименно заряженными, бесконечными плоскостями:

,

где – линейная плотность заряда, – поверхностная плотность заряда, – расстояние до источника поля.

Работа по перемещению заряда в электростатическом поле:

где и – потенциалы начальной и конечной точек.

Потенциал поля точечного заряда: .

Связь между потенциалом и напряженностью: .

Сила притяжения между двумя разноименно заряженными обкладками конденсатора: ,

где S – площадь пластин.

Электроемкость уединенного проводника: ,

плоского конденсатора: ,

слоистого конденсатора: ,

где d – расстояние между пластинами конденсатора, d_i – толщина i-го слоя диэлектрика, его диэлектрическая проницаемость.

Электроемкость батареи конденсаторов, соединенных:

параллельно: ,

последовательно: .

Энергия поля:

заряженного проводника: ,

заряженного конденсатора: ,

где V – объем конденсатора.

Объемная плотность энергии электрического поля: .

Сила тока: .

Закон Ома для участка цепи в дифференциальной форме: ,

в интегральной:

где – удельная проводимость, r – удельное сопротивление, – напряжение на концах цепи, – сопротивление цепи, – плотность тока.

Закон Джоуля-Ленца в дифференциальной форме: ,

в интегральной форме:

Сопротивление однородного проводника:

где – длина проводника, – площадь его поперечного сечения.

Зависимость удельного сопротивления от температуры:

где – температурный коэффициент сопротивления, – температура по шкале Цельсия.

МАГНЕТИЗМ

Сила Лоренца: ,

где – скорость заряда, – индукция магнитного поля.

Сила Ампера: ,

где I – сила тока в проводнике, dl – элемент длины проводника.

Магнитный момент контура с током:

где S – площадь контура.

Механический момент, действующий на контур с током в магнитном поле: .

Закон Био-Савара-Лапласа: ,

где – магнитная постоянная, – магнитная проницаемость среды.

Магнитная индукция:

в центре кругового тока: ,

поля бесконечного длинного прямого тока: ,

поля, созданного отрезком проводника с током:

,

поля бесконечно длинного соленоида: ,

где R – радиус кругового тока, r – кратчайшее расстояние до оси проводника, n – число витков на единицу соленоида, a₁ и a₂ – углы между отрезком проводника и линией, соединяющей концы отрезка с точкой поля.

Сила взаимодействия двух прямолинейных бесконечно длинных параллельных токов на единицу их длины: ,

где r – расстояние между проводниками с токами I₁и I₂.

Работа по перемещению контура с током в магнитном поле: ,

где Ф – магнитный поток через поверхность контура.

Магнитный поток однородного магнитного поля через площадку S:

,

где a – угол между вектором и нормалью к площадке.

Закон электромагнитной индукции: ,

где N – число витков контура.

Потокосцепление контура с током: ,

где L – индуктивность контура.

Электродвижущая сила самоиндукции: .

Индуктивность соленоида: .

где V – объем соленоида, n – число витков на единицу длины соленоида.

Мгновенное значение сила тока в цепи, обладающей сопротивлением R и индуктивностью L: .

Энергия магнитного поля: .

Объемная плотность энергии магнитного поля:

.

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

1. В углах при основании равнобедренного треугольника с боковой стороной 8 см расположены заряды Q₁ и Q₂. Определить силу, действующую на заряд Q₂ равный 1нКл, помещенный в третью вершину треугольника, угол при которой 120°. Рассмотреть случаи: а) Q₁= Q₂ = 2 нКл; б) ½Q₁½=½-Q₂ ½= 2 нКл.

Решение. В соответствии с принципом суперпозиции поле каждого из зарядов Q₁ и Q₂ действует на заряд Q₃ независимо. Это значит, что на заряд Q₃ действуют силы (рис. 1, а): , . Так как , то . Векторная сумма является искомой величиной. Модуль силы определяется по теореме косинусов В случае одноименных зарядов Q₁ и Q₂ из рис.1, а видно, что угол b = 120°, поэтому F₁ = F₁₃ = F₂₃: . F₁=2,8×10^-6 Н.

В случае разноименных зарядов Q₁ и Q₂ из рис.1,б видно, что угол b = 60° и, следовательно, ,

F₂=4,8×10^-6 Н.

Ответ: F₁=2,8×10^-6 Н, F₂= 4,8×10^-6 Н.

2. Два равных отрицательных заряда по 9 нКл находятся в воде на расстоянии l=8 см друг от друга. Определить напряженность и потенциал поля в точке, расположенной на расстоянии h=5 см от линии, соединяющей заряды.

Решение. Напряженность поля, создаваемого в точке А (рис.2) зарядами Q₁ и Q₂ по принципу суперпозиции полей, равна векторной сумме напряженностей, создаваемых каждым из зарядов:

. (1)

По теореме косинусов: . (2)

Напряженность поля точечного заряда Q: , где – диэлектрическая проницаемость; – электрическая постоянная; – расстояние от заряда до точки поля, в которой определяется его напряженность. Заряды Q₁ и Q₂ отрицательны, следовательно, векторы и направлены к зарядам. По условию заряды Q₁ = Q₂ расположены на одинаковом расстоянии от точки А, поэтому Е₁ = Е₂. Следовательно, формула (2) принимает вид Е = 2Е₁×cos , где cos = h/r, . Тогда напряженность в точке А: , E = 480 В/м. Потенциал , создаваемый системой точечных зарядов в данной точке поля, равен алгебраической сумме потенциалов полей, создаваемых этими зарядами: . Потенциал результирующего поля в точке А равен: . Потенциал поля, создаваемого точечным зарядом, . Следовательно, = - 40 В.

Ответ: Е = 480 В/м; = - 40 В.

3. Заряд 1 нКл переносится в воздухе из точки, находящейся на расстоянии 1 м от бесконечно длиной равномерно заряженной нити, в точку на расстоянии 10 см от нее. Определить работу, совершаемую против сил поля, если линейная плотность заряда нити 1 мкКл/м. Какая работа совершается на последних 10 см пути?

Решение. Работа внешней силы по перемещению заряда Q из точки поля с потенциалом в точку с потенциалом равна: . (1)

Бесконечная равномерно заряженная нить с линейной плотностью заряда t создает аксиально-симметричное поле напряженностью . Напряженность и потенциал этого поля связаны соотношением откуда Разность потенциалов точек поля на расстоянии от нити: (2)

Подставляя в формулу (1) найденное выражение для разности потенциалов из (2), определим работу, совершаемую внешними силами по перемещению заряда из точки, находящейся на расстоянии 1 м, до точки, расположенной на расстоянии 0,1 м от нити: , A₁ = 4,1×10^-5 Дж. Работа по перемещению заряда на последних 10 см пути равна: , A₂ = 1,25×10^-5 Дж.

Ответ: А₁ = 4,1×10^-5 Дж; А₂ = 1,25×10^-5Дж.

4. К одной из обкладок плоского конденсатора прилегает стеклянная плоскопараллельная пластинка (e=7) толщиной 9 мм. После того как конденсатор отключили от источника напряжения 220 В и вынули стеклянную пластинку, между обкладками установилась разность потенциалов 976 В. Определить зазор между обкладками и отношение конечной и начальной энергии конденсатора.

Решение. После отключения конденсатора и удаления стеклянной пластинки заряд на его обкладках остается неизменным, т.е. выполняется равенство: . (1)

где С₁ и С₂ – электроемкости конденсатора в начальном и конечном случае. По условию конденсатор вначале является слоистым и его электроемкость определяется по формуле: , (2)

где S – площадь обкладок; d₀ – зазор между ними, d₁ – толщина стеклянной пластинки; ε₁ и ε₂ – диэлектрические проницаемости стекла и воздуха соответственно. После удаления стеклянной пластинки электроемкость конденсатора: . (3)

Подставляя (2) и (3) в (1), получим: , откуда , м. Начальная и конечная энергии конденсатора: , . Тогда отношение этих энергий: . Учитывая (1), получим: .

Ответ: d₀ = 10^{-2 м;} W₂/W₁ = 4,44.

5. Батарею из двух конденсаторов емкостью 400 и 500 пФ соединили последовательно и включили в сеть с напряжением 220 В. Потом батарею отключили от сети, конденсаторы разъединили и соединили параллельно обкладками, имеющими одноименные заряды. Каким будет напряжение на зажимах полученной батареи?

Решение. У последовательно соединенных конденсаторов заряды на обкладках равны по модулю Q₁ = Q₂ = Q и заряд батареи равен заряду одного конденсатора. Емкость батареи последовательно соединенных конденсаторов определяется по формуле: . Для батареи из двух конденсаторов: , а их заряд: . (1)

При отключении конденсаторов их заряд сохраняется. У параллельно соединенных конденсаторов заряд батареи равен сумме зарядов конденсаторов Q' = Q₁ + Q₂, а емкость сумме емкостей: . Напряжение на зажимах батареи из двух параллельно соединенных конденсаторов: . (2)

Подставляя (1) в (2), получаем: , В.

Ответ: В.

6. Заряд конденсатора 1 мкКл, площадь пластин 100 см², зазор между пластинками заполнен слюдой. Определить объемную плотность энергии поля конденсатора и силу притяжения пластин.

Решение. Сила притяжения между двумя разноименно заряженными обкладками конденсатора: , (1)

где Е – напряженность поля конденсатора; S – площадь обкладок конденсатора; ε – диэлектрическая проницаемость слюды; ε₀ – электрическая постоянная. Напряженность однородного поля плоского конденсатора: , (2)

где – поверхностная плотность заряда. Подставляя (2) в (1), получаем: , Н. Объемная плотность энергии электрического поля: . (3)

Подставляя (2) в (3), получаем: , Дж/м³.

Ответ: Н, Дж/м³.

7. В медном проводнике сечением 6 мм и длиной 5 м течет ток. За 1 мин в проводнике выделяется 18 Дж теплоты. Определить напряженность поля, плотность и силу электрического тока в проводнике.

Решение. Для решения задачи используем законы Ома и Джоуля-Ленца. Закон Ома в дифференциальной форме имеет вид: , (1)

где j – плотность тока; Е – напряженность поля; γ – удельная проводимость. Закон Джоуля-Ленца: , (2)

здесь I – сила тока, t – время. – сопротивление проводника, где r, l, S – удельное сопротивление, длина и площадь поперечного сечения проводника соответственно. Силу тока находим из (2): , А. По определению, плотность тока равна: , А/м². Напряженность поля в проводнике определим из (1), учитывая, что . , В/м.

Ответ: А, А/м², В/м.

8. Внутреннее сопротивление аккумулятора 2 Ом. При замыкании его одним резистором сила тока равна 4 А, при замыкании другим – 2 А. Во внешней цепи в обоих случаях выделяется одинаковая мощность. Определить электродвижущую силу аккумулятора и внешние сопротивления.

Решение. Закон Ома для замкнутой (полной) цепи имеет вид:

, , (1)

где r – внутреннее сопротивление источника тока; ξ – э.д.с. аккумулятора; R₁ и R₂ – внешние сопротивления цепей. Уравнения (1) представим в виде:

, . (2)

Из равенства (2) следует, что:

. (3)

Мощность, выделяемая во внешней цепи в первом и втором случаях, cоответственно равна: и . Из условия равенства мощностей следует, что:

. (4)

Решая совместно уравнения (3) и (4), получаем:

и . (5)

Подставляя (5) в (2), получаем: , В, Ом, Ом.

Ответ: В, Ом, Ом.

9. Электродвижущая сила батареи равна 20 В. Коэффициент полезного действия батареи составляет 0,8 при силе тока 4 А. Чему равно внутреннее сопротивление батареи?

Решение. Коэффициент полезного действия источника тока η равен отношению падения напряжения во внешней цепи к его электродвижущей силе: , откуда . Используя выражение закона Ома для замкнутой цепи , получаем . Тогда и Ом.

Ответ: Ом.

10. По двум бесконечно длинным прямолинейным проводникам, находящимся на расстоянии 50 см друг от друга, в одном направлении текут токи и силой по 5 А. Между проводниками на расстоянии 30 см от первого расположен кольцевой проводник с током силой 5 А. Радиус кольца 20 см. Определить индукцию и напряженность магнитного поля, создаваемого токами в центре кольцевого проводника.

Решение. В соответствии с принципом суперпозиции индукция результирующего магнитного поля в точке А равна: , где и – индукции полей, создаваемых соответственно токами и , направленными за плоскость рисунка; – индукция поля, создаваемая кольцевым током. Векторы и направлены по одной прямой в противоположные стороны, поэтому их сумма равна по модулю: . Индукция поля, создаваемого бесконечно длинным проводником с током: и . Тогда . Индукция поля, создаваемого кольцевым проводником с током: , где r₃ – радиус кольца. Векторы и взаимно перпендикулярны, поэтому: или , мкТл. Напряженность магнитного поля: и А/м.

Ответ: мкТл, А/м.

11. Электрон, пройдя ускоряющую разность потенциалов 88 кВ, влетает в однородное магнитное поле перпендикулярно его линиям индукции. Индукция поля равна 0,01 Тл. Определить радиус траектории электрона.

Решение. В магнитном поле на электрон, движущийся со скоростью перпендикулярно , действует сила Лоренца: , которая обусловливает центростремительное ускорение электрона при его движении по окружности: , где m – масса электрона; е – его заряд; r – радиус траектории его движения. Пройдя ускоряющую разность потенциалов U, электрон приобретает кинетическую энергию, равную работе А сил электрического поля: . Отсюда находим скорость электрона: . Зная ее, найдем радиус траектории: и м.

Ответ: м.

12. Соленоид длиной 20 см и диаметром 4 см имеет плотную трехслойную обмотку из провода диаметром 0,1 мм. По обмотке соленоида течет ток 0,1 А. Зависимость B = f(H) для материала сердечника приведена на рис. 3. Определить напряженность и индукцию поля в соленоиде, магнитную проницаемость сердечника, индуктивность соленоида, энергию и объемную плотность энергии поля соленоида.

Решение. Поле внутри соленоида можно считать однородным. В этом случае напряженность поля: , где – сила тока в обмотке; число витков, приходящихся на единицу длины соленоида. Тогда: и 300А/м. По графику В = f(H) находим, что напряженности 3000 А/м соответствует индукция 1,7 Тл. Используя связь между индукцией и напряженностью: , определим магнитную проницаемость: и . Индуктивность соленоида: , где l – длина, – площадь поперечного сечения соленоида. Получаем: . Объемная плотность энергии магнитного поля: и Дж/м³. Энергия магнитного поля соленоида: и Дж.

Ответ: В =1,7 Тл, Тл. 3000 А/м, , Дж/м³, Дж.

13. На соленоид (см. условие и решение задачи 12) надето изолированное кольцо того же диаметра. Определить электродвижущую силу индукции в кольце и электродвижущую силу самоиндукции в соленоиде, если за 0,01 с ток в его обмотке равномерно снижается до нуля.

Решение. По условию за время ∆t = 0,01 с сила тока в обмотке соленоида равномерно уменьшается от 0,1 А до нуля, поэтому магнитный поток, пронизывающий площадь кольца , уменьшается от до . Электродвижущая сила индукции, возникающая в кольце: и B. Электродвижущая сила самоиндукции ξ_S , возникающая в соленоиде при выключении тока в нем: . Так как при выключении сила тока уменьшается до нуля равномерно, то: . Тогда: и В.

Ответ: B, В.

14. Виток радиусом 5 см с током 1 А помещен в однородное магнитное поле напряженностью 5000 А/м так, что нормаль к витку составляет угол 60° с направлением поля. Какую работу совершат силы поля при повороте витка в устойчивое положение?

Решение. Работа А при повороте витка с током в магнитном поле: . Здесь – изменение магнитного потока сквозь площадь витка ; – магнитный поток, пронизывающий виток в начальном положении, где α – угол между векторами и . Устойчивым положением витка в магнитном поле является такое, при котором направление нормали к нему совпадает с вектором индукции, т. е. . Следовательно, . Таким образом, . Учитывая, что , имеем: . Окончательно имеем: и Дж.

Ответ: Дж.

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 2

201. В вершинах квадрата со стороной 0,1 м расположены равные одноименные заряды. Потенциал создаваемого ими поля в центре квадрата равен 500 В. Определить заряд.

202. В вершинах квадрата со стороной 0,5 м расположены заряды одинаковой величины. В случае, когда два соседних заряда положительные, а два других – отрицательные, напряженность поля в центре квадрата равна 144 В/м. Определить величину зарядов.

203. В вершинах квадрата со стороной 0,1 м помещены заряды по 0,1 нКл. Определить напряженность и потенциал поля в центре квадрата, если один из зарядов отличается по знаку от остальных.

204. Пространство между двумя параллельными бесконечными плоскостями с поверхностной плотностью зарядов +5∙10^-8 и -9∙10^-8 Кл/м² заполнено стеклом. Определить напряженность поля: а) между плоскостями; б) вне плоскостей.

205. На расстоянии 8 см друг от друга в воздухе находятся два заряда по 1 нКл. Определить напряженность и потенциал поля в точке, находящейся на расстоянии 5 см от зарядов.

206. Две параллельные плоскости одноименно заряжены и имеют поверхностную плотность зарядов 2 и 4 нКл/м². Определить напряженность поля: а) между плоскостями; б) вне плоскостей.

207. Если в центр квадрата, в вершинах которого находятся заряды по +2 нКл, поместить отрицательный заряд, то результирующая сила, действующая на каждый заряд, будет равна нулю. Вычислить числовое значение отрицательного заряда.

208. Заряды по 1 нКл помещены в вершинах равностороннего треугольника со стороной 0,2 м. Равнодействующая сил, действующих на четвертый заряд, помещенный на середине одной из сторон треугольника, равна 0,6 мкН. Определить этот заряд, напряженность и потенциал поля в точке его расположения.

209. Два шарика массой по 0,2 г подвешены в общей точке на нитях длиной 0,5 м. Шарикам сообщили заряд и нити разошлись на угол 90°. Определить напряженность и потенциал поля в точке подвеса шарика.

210. Два одинаковых заряда находятся в воздухе на расстоянии 0,1 м друг от друга. Напряженность поля в точке, удаленной на расстоянии 0,06 м от одного и 0,08 м от другого заряда, равна 10 кВ/м. Определить потенциал поля в этой точке и значение зарядов.

211. Пылинка массой 8∙10^{-15 кг удерживается в равновесии между горизонтально расположенными обкладками плоского конденсатора. Разность потенциалов между обкладками 490 В, а зазор между ними 1 см. Определить, во сколько раз заряд пылинки больше элементарного заряда.}

212. В поле бесконечной равномерно заряженной плоскости с поверхностной плотностью заряда 10 мкКл/м² перемещается заряд из точки, находящейся на расстоянии 0,1 м от плоскости, в точку на расстоянии 0,5 м от нее. Определить заряд, если при этом совершается работа 1 мДж.

213. Какую работу нужно совершить, чтобы заряды 1 и 2 нКл, находившиеся на расстоянии 0,5 м, сблизились до 0,1 м?

214. Поверхностная плотность заряда бесконечной равномерно заряженной плоскости равна 30 нКл/м². Определить поток вектора напряженности через поверхность сферы диаметром 15 см, рассекаемой этой плоскостью пополам.