Применение метода Гаусса для решения нелинейных уравнений узловых напряжений

Нелинейные уравнения узловых напряжений в форме балансов токов имеют особенность: они линейны слева и нелинейны справа, т.е. все элементы схемы замещения линейны, кроме источников тока.

Т.к. нелинейность токов справа, то возможно применение метода Гаусса и метода обратной матрицы для решения этой задачи.

1) Применение метода Гаусса

При решении нелинейной системы уравнений узловых напряжений в форме баланса токов метод Гаусса может использоваться на каждом шаге итерационного процесса, считая нелинейную систему линейной на данном шаге

Алгоритм

- зададим начальное приближение узловых напряжений и определим правые части нелинейной системы ;

Правая часть системы нелинейных уравнений узловых напряжений в форме баланса токов при подстановке имеет вид

Считая, что токи постоянны и определяются приближениями, в таком случае система нелинейных уравнений превращается в систему линейных алгебраических уравнений, которую можно рассчитать методом Гаусса.

Линейная система решается методом Гаусса

Решение методом Гаусса дает столбец новых приближений .

Решив линейную систему методом Гаусса, получаем новое приближение узловых напряжений и переходим к этапу два: определению кривых нелинейных частей системы узловых уравнений при подстановке новых приближений узловых напряжений.

Далее находятся вектора приближения узловых напряжений решением нелинейной системы методом Гаусса и так далее, до тех пор, пока итерационный процесс не сойдется.

Таким образом, каждый шаг итерационного процесса методом Гаусса включает два этапа:

1) определение нелинейных правых частей системы уравнений при подстановке приближений узловых напряжений, найденных на предыдущей итерации

2) решение линейной системы методом Гаусса и определение следующих приближений:

Каждый -ый итерационный шаг итерационного процесса с применением на каждом шаге метода Гаусса для решения линейной системы уравнений:

1)

2)

Применение метода простой итерации и метода Зейделя для решения системы нелинейных уравнений

Узловых напряжений

где , при

, при

Линейный случай метода простой итерации

Нелинейный случай метода простой итерации

где - нелинейная функция, описывающая итерационный процесс по методу простой итерации

Отличие заключается в том, что вместо постоянной величины принимается нелинейная известная часть системы уравнений, зависящая от напряжений и изменяется от итерации к итерации.

Применение метода Зейделя

Метод Зейделя: линейный случай

Метод Зейделя: нелинейный случай

где - нелинейная функция, описывающая итерационный процесс по методу Зейделя.

При расчете на ЭВМ комплексные переменные заменяются действительными и по методу Зейделя вычисляются действительные и мнимые части узловых напряжений.

, - составляющие

Ускоренный метод Зейделя

Для ускорения сходимости метода Зейделя используется ускоряющий коэффициент

,

где - ускоряющий коэффициент, - поправка k-го узлового напряжения на (i+1) шаге.

Ускоряющий коэффициент находится в пределах от 0 до 1, если ускоряющий коэффициент равен единице, то это обычный метод Зейделя.

Список литературы

1.Основная литература

1. Идельчик В.И. Электрические системы и сети. М.: Альянс, 2009

2.Зарудский Г.К., Кутлер П.П. Особенности расчетов нормальных режимов электропередач сверхвысокого напряжения. – М.:ИПКгосслужбы, 2005.

3.Азаров В.С. Передача и распределение электроэнергии в примерах и решениях. М.: МГОУ, 2005.

4.Исмагилов Ф.Р., Максудов Д.В. Расчеты на ЭВМ установившихся режимов электроэнергетической системы. Уфа, Изд-во УГАТУ, 2008.

5.Исмагилов Ф.Р. Максудов Д.В. Оптимизация установившихся режимов электроэнергетической системы. Уфа, Изд-во УГАТУ, 2008.

2. Дополнительная литература

1. Хемди А. Таха. Глава 3. Симплекс-метод // Введение в исследование операций. М.: «Вильямс», 2007. — С. 95-141.

2. Томас Х. Кормен и др. Глава 29. Линейное программирование // Алгоритмы: построение и анализ— 2-е изд. — М.: «Вильямс», 2006. — С. 1296.

3. Кремер Н. Ш., Путко Б. А., Тришин И. М., Фридман М. Н. Высшая математика для экономистов / Под ред. Н. Ш. Кремера. — 3-е изд. — М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2007. — 479 с.

4. Куликов, Ю. А. Переходные процессы в электрических системах: учеб. пособие / Ю. А. Куликов. - Изд. 2-е» испр. и доп. - Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2006. - 284 с.