ПИФАГОРЕИЗМ И ИСТОКИ ДРЕВНЕГРЕЧЕСКОЙ МАТЕМАТИКИ

ПРЕДИСЛОВИЕ

Эта книга, посвященная истории древнегреческой философии, имеет свою специфику: античная философия рассматривается здесь в тесной связи с возникновением и развитием научного знания - математики, космологии, физики. Такой способ рассмотрения продиктован не субъективным предпочтением автора, а вполне объективным обстоятельством: философская мысль, возникающая в конце VI-V вв. до н.э., находится в непосредственном единстве с ранней греческой наукой. Это и понятно, если мы примем во внимание, что на первых этапах своего развития греческая мысль - это главным образом философия природы, и ее волнует прежде всего проблема возникновения и структуры космического бытия, в которое полностью включен человек и которое определяет характер и смысл жизни богов и людей. Вот почему на протяжении того периода, который служит предметом анализа в этой книге, - с конца VI по IV в. до н.э., т.е. от возникновения древнегреческой философии до ее наиболее зрелой и завершенной формы, какую она получила в учении Аристотеля, связь философии с наукой оказывается глубокой и органической, а потому и раскрытие этой связи позволяет более адекватно понять характер и специфику древнегреческой мысли.

До известной степени, пожалуй, можно считать справедливым широко распространенное представление о первоначальной нерасчлененности философского и научного познания, однако лишь до известной степени, ибо, например, такая научная дисциплина, как математика, довольно рано получила у греков относительно самостоятельное развитие, хотя, конечно, и не потеряла своей связи с тем натурфилософским лоном, из которого первоначально вышла. Если бы это было не так, если бы математика не обрела уже в V в. до н.э. свой собственный предмет исследованиє, то мы не получили бы такое классическое наследие античной науки, как "Начала" Евклида, где систематически излагаются достижения греческой математики, которыми она обязана плеяде выдающихся ученых V-IV вв. до н.э.

Излагая учения древнегреческих философов, автор ставил перед собой задачу показать, какие вопросы волновали их и как из стремления решить эти вопросы возникали философские построения, а из неудовлетворенности первоначальными ответами рождались новые проблемы и новые учения. Именно таким образом можно показать логическую связь, проступающую сквозь пестрое разнообразие исторических фактов. А установление этой связи позволяет увидеть то целое, каким является древнегреческая мысль, несмотря на всю кажущуюся несхожесть ее элементов, разноголосицу точек зрения и методологических подходов. Такая целостность в значительной мере обусловлена религиозными, социальными, политическими особенностями, определившими характер древнегреческой культуры. И тем не менее важнейшее содержание философской мысли Древней Греции невозможно вывести ни из своеобразия греческой культуры, ни из духовного склада древних эллинов. Античная мысль потому и не утратила по сей день своей живейшей актуальности, что ее содержание выходит за рамки всякой культурной и исторической ограниченности и непосредственно касается тех проблем, которые волновали людей на протяжении многих веков до нас и продолжают волновать нас сегодня. Раскрыть подлинно общечеловеческое значение тех вопросов, на которые искали ответ древние философы, а также понять смысл находимых ими ответов, смысл, который нередко оказывается скрытым от современного читателя в силу своеобразия того философского языка, на котором изъяснялись греческие мудрецы, - такая задача в первую очередь ставилась автором этой книги.

Автор стремился сделать сложные философские конструкции по возможности более простыми и доступными, а потому надеется, что предлагаемая работа будет полезна всем, кто изучает философию и ее историю.

Введение:

ГЕНЕЗИС ФИЛОСОФИИ. МИФОЛОГИЯ И ФИЛОСОФИЯ

У философии - свой особый подход к предмету, отличающий философское мышление как от житейски-практического, так и от естественнонаучного. Подобно тому как математик ставит вопрос, что такое единица, и дает довольно-таки сложное определение этого, казалось бы, простейшего понятия, - так и философ с глубокой древности задается проблемой: что такое бытие? Что значит - быть?

Эта специфика философии проливает известный свет и на вопрос о том, почему и когда философия возникает. В самом деле, размышлять над тем, что в повседневном обиходе кажется само собой понятным, Ч значит усомниться в правомерности и достаточности повседневного подхода к вещам. А это в свою очередь означает сомнение в общепринятом, в традиционном типе знания и поведения.

Когда и почему такое сомнение становится возможным? Видимо, тогда, когда в общественной жизни и в общественном сознании возникают серьезные противоречия и конфликты, которые не поддаются разрешению с помощью традиционных убеждений и верований, связанных с греческой мифологией. Тут и появляется потребность различения того, что общепринято (мнение), и того, что истинно на самом деле (знание). Это различение рождается вместе с философией, и не удивительно, что философия с самого начала выступает как критика обычая, обычного права, обыденного сознания, традиционных норм нравственности и традиционных ценностей.

Самые первые греческие философы выступили как критики традиционной греческой мифологии, прежде всего Гомера, обвиняя мифологию в логической непоследовательности и безнравственности.

Но было бы опрометчивым на этом основании заключить, что философ, выступая как критик, полностью порывает с культурной традицией, с нравами и обычаями той социальной общности, к которой сам принадлежит, и создает учение как бы из "ничего", на новом "голом" месте.

Весь драматизм истории философии - а историческая судьба философов нередко драматична, подчас даже глубоко трагична - коренится в отношении философа к традиции - религиозной и нравственной, культурной и художественной, политически-правовой, наконец, к традиционным формам быта и образа жизни. С одной стороны, философ ставит все это под вопрос - но делает это для того, чтобы докопаться до подлинных корней, из которых растет сама эта традиция; в этом и состоит смысл его вопроса: что значит быть? Что такое "бытие"? А ухватившись за этот корень, ответив на этот главный вопрос и начиная положительное строительство, философ в той или иной форме, в той или иной мере опирается опять-таки на те представления, которые он сам впитал с молоком матери, с обычаями и нравами своего народа.

Но и тут имеет место неоднозначность. Все эти моменты определяют учение философа либо положительно, либо отрицательно, а чаще всего одно - положительно, другое - отрицательно: какие-то из традиционных жизненных ориентиров философ поддерживает, углубляет и обосновывает; другие - изменяет, корректирует; третьи - отбрасывает как вредные заблуждения и предрассудки. Но все это тем не менее - разные формы зависимости мышления философа от родной ему культуры.

Итак, существует напряжение между философским мышлением и традиционными формами знания и верования, отталкивание и в то же время осмысление. У одних философов преобладает первый момент, и тогда они выступают как разрушители традиции, у других - второй момент, и они стремятся обновить традиционные нормы, дав им новое обоснование.

Философия, таким образом, с самого начала глубоко укоренена в жизненном мире человека; и какими бы отвлеченными ни представлялись рассуждения философов, они не случайно всегда завершаются учением о том, как следует человеку жить, в чем смысл и оправдание его деятельности. Не случайно - потому что с этих жизненно-непреложных вопросов, в сущности, и начинается философское размышление.

Естественно, однако, возникает вопрос: какая общественная ситуация, какие сдвиги в культуре способствуют появлению философии? В античной Греции философия формируется в тот период, когда смысл человеческой жизни, ее привычный строй и порядок оказываются под угрозой. И не только возникновение, но и расцвет философии в те или иные исторические периоды, как правило, обусловлен глубоким социальным кризисом, когда человеку становится трудно, а подчас и невозможно жить по старым образцам, когда прежние ценности теряют свое значение и остро встает вопрос: как быть дальше?

Что касается генезиса философии в Древней Греции, то она формируется в тот период (VI в. до н.э.), когда прежние традиционно-мифологические представления античного общества обнаруживают свою недостаточность, перестают выполнять свою мировоззренческую функцию.

Тут необходимо дать краткую характеристику древней языческой мифологии. Античная мифология глубоко родственна искусству; не случайно греческие мифы донесли до нас поэты, и прежде всего великий художник древности - Гомер. По самому существу своему мифология греков - создание воображения: именно с помощью воображения древнегреческое сознание пыталось открыть тайны мироздания. А у воображения свои законы, отличные от тех, какими руководится разум; греческие мифы прекрасны, пластичны, но при этом лишены той однозначности, доказательности и непреложности, какая свойственна науке или сфере нравственности. В них всегда присутствует элемент игры, поэтому древний грек и верит, и не верит в свои мифы, - он относится к ним всегда немножко эстетически. Это вовсе не значит, что в мифе не заключено подчас глубокое содержание: как во всяком продукте воображения, в нем запечатлен опыт человеческой жизни; но этот опыт явлен не в назидательной, характерной для морального сознания форме, а в качестве иносказания, живо и художественно. Однако от произведения искусства в более позднем смысле миф все же отличается: он возник в эпоху, когда еще не было жесткого отделения художественного вымысла именно как вымысла от реальной действительности: боги и духи предков, дриады и сильфиды, духи гор и ручьев - это не чистые вымыслы; просто вопрос об их реальности не встает: в них, пожалуй, и верят, даже исполняют обряды, приносят богам жертвы, но без напряжения и серьезности, без особых нравственных обязательств по отношению к ним. В этом - эстетический характер языческой мифологии. Греческая религия - это политеизм, или многобожие; боги - антропоморфные существа, могучие и бессмертные, но власть их над миром не безгранична: сами боги, как и люди, подчиняются судьбе; последняя есть слепая и грозная, неотвратимая сила, уклониться от которой не дано никому. Таким образом, греческие боги не отделены от людей непроходимой пропастью: они, как и люди, обуреваемы страстями, могут быть как доброжелательными, так и коварными, враждуют и ссорятся между собой, заключают союзы, влюбляются друг в друга и в смертных, плетут интриги, в которые нередко втягивают и людей. Греческий историк Геродот рассказывает, что всякое божество завистливо и непостоянно, оно стоит на страже общего уровня и низвергает того, кто слишком возвысился над этим уровнем - идея, глубоко укорененная в древнегреческом сознании. Боги блюдут справедливость и стоят на страже всех принятых в обществе установлений. Так, например, богини мщения Эриннии карают за клятвопреступления, за преступления против семьи, за обиду, нанесенную нищим, и т.д.

Кризис мифологического сознания был вызван рядом причин. Главную роль здесь сыграло экономическое развитие Греции, экономический подъем IX-VII вв. до н.э.: расширение торговли и судоходства, возникновение и расширение греческих колоний, увеличение богатства и его перераспределение, рост народонаселения и прилив его в города. Некоторые исследователи считают, что по отношению к этому периоду можно говорить даже о демографическом взрыве, который, быть может, был вызван усовершенствованием старых форм земледелия и ремесла благодаря выплавке железа, начавшейся около Х в. до н.э. Использование железа в сельском хозяйстве содействовало повышению производительности труда. Существует даже точка зрения, что формирование греческого общественного устройства в виде самостоятельных городов-государств - полисов - является непосредственным результатом распространения железа; здесь, однако, видимо, слишком преувеличена роль технических открытий в развитии социальных форм жизни древних народов.

В результате расширения торговли, мореходства, колонизации новых земель расширился географический горизонт греков. Средиземное море стало известным до Гибралтара, куда достигали ионийские торговые суда, а тем самым гомеровское представление о вселенной обнаружило свою неадекватность. Но самым важным, пожалуй, было расширение связей и контактов с другими народами, открытие прежде незнакомых грекам обычаев, нравов и верований, которое естественно наводило на мысль об относительности, условности их собственных социальных и политических установлений. Эти факторы способствовали социальному расслоению и разрушению прежних форм жизни, порождали классовые антагонизмы и политическое напряжение, вели к кризису традиционного уклада и к утрате прочных нравственных ориентиров.

Так, например, греческий поэт VII в. до н.э. Архилох демонстративно заявляет, что он не откажется от празднеств и наслаждений из-за гибели близкого человека, к тому же оставшегося без погребения; в другом месте он не без вызова рассказывает, как ради сохранения жизни бросил в сражении оружие; Архилох презирает посмертную славу, которую превыше всего ставили греки архаической эпохи. Все это - формы восстания против традиции.

В Греции в VI в. до н.э. происходит постепенное разложение традиционного типа социальности, предполагавшего более или менее жестокое разделение сословий, каждое из которых имело свой веками устоявшийся уклад жизни и передавало как этот уклад, так и свои навыки и умения из поколения в поколение. В качестве той формы знания, которая была общей для всех сословий, выступала мифология; и хотя каждая местность имела своих собственных богов, по характеру своему и способу отношения к человеку эти боги принципиально друг от друга не отличались: это были природные боги, олицетворение природно-космических сил.

В традиционных обществах передача и усвоение знаний и умений происходит преимущественно "по вертикали", от отца к сыну. Не случайно сын, как правило, наследует ремесло отца, а вместе с ним - и секреты ремесла, и жизненно-бытовой уклад, и ценностные установки. Авторитет отца в семье - незыблемая основа традиционного уклада. Циркуляция знания от сословия к сословию, т.е. "по горизонтали", еще весьма незначительна. В соответствии с этим и сознание человека еще не вполне индивидуально; человек мыслит себя не столько как нечто самостоятельное, сколько в категориях своего сословия, своей социальной общности, затем - своего народа, своей религии.

Понятно, что социально-экономические изменения, происходившие в VII-VI вв. до н.э., вели к разрушению сложившихся форм связи между людьми и требовали от индивида выработки новой жизненной позиции. Философия и была одним из ответов на это требование. Она предлагала человеку новый тип самоопределения: не через привычку и традицию, а через собственный разум. Философ говорил своему ученику: не принимай все на веру, думай сам. На место обычаев приходило образование, место отца в воспитании занимал учитель, а тем самым и власть отца в семье становилась под вопрос. Функции отца и учителя, таким образом, расщепились, и на протяжении нескольких веков - с VII по IV - мы видим жестокую схватку между родом и духом, началами, которые прежде выступали как нечто единое.

Схватка эта, впрочем, протекала в разных формах. Ее первый этап был изображен в греческой трагедии. Нравственность, выросшая на почве родовых отношений, вступает в конфликт не просто с частным интересом отдельного лица. Между собой сталкиваются, с одной стороны, родовая, семейная нравственность, которая представляет всеобщее начало, но данное в его природной непосредственности, а с другой Ч новый нарождающийся тип всеобщего, по отношению к которому отдельный род, семья выступает как нечто частное: это - государство, все граждане которого составляют правовое и политическое целое.

Такое столкновение мы видим в трагедиях Эсхила "Ифигения в Авлиде", "Агамемнон" и "Эвмениды" (VI в. до н.э.). Микенский царь Агамемнон приносит в жертву богам свою дочь Ифигению ради успеха греческого войска в походе против троянцев, тем самым подчиняя всеобщим интересам жизнь своего собственного рода. Жена Агамемнона, Клитемнестра, защищает родовую нравственность и убивает мужа, возвратившегося из похода победителем. Сын Агамемнона и Клитемнестры, Орест, чтит свою мать, но по закону он должен защищать права отца. И Орест мстит за смерть отца, совершая убийство матери.

Аналогичный конфликт изображает Софокл в трагедии "Антигона" (V в. до н.э.). Брат Антигоны, Полиник, совершил тяжкое преступление против своего народа, пойдя войной на родной город Фивы. Глава государства, Креонт, решает предать поруганию тело убитого Полиника: он угрожает смертной казнью тому, кто посмеет предать земле тело преступника. Антигона предпочитает пойти на смерть, но схоронить брата и тем снять с него бесчестье: родовые узы для нее священны.

Здесь еще не обсуждается дилемма "отецЧучитель", о которой мы говорили выше. Она достигает своей максимальной остроты несколько позже, в эпоху так называемого греческого Просвещения (V в. до н.э.), когда фигура учителя-софиста приобретает важное значение в социальной и политической жизни греческих полисов. Трагическая кульминация этой дилеммы - смерть афинского философа Сократа, о которой у нас пойдет речь ниже.

Подытоживая сказанное, мы можем сделать вывод, что философия с самого начала выполняет как мировоззренческую, так и теоретическую функцию. Она возникает в момент кризиса традиционного уклада жизни и традиционных ценностей. С одной стороны, философия выступает как критика традиции, углубляющая сомнение в значимости устоявшихся веками форм жизни и верований, а с другой Ч пытается найти фундамент, на котором можно было бы возвести новое здание, новый тип культуры. Фундамент же должен быть врыт как можно глубже; поэтому греческая философия и ставит вопрос всех вопросов: что такое бытие? Решая теоретическую проблему, она тем самым ищет пути преодоления мировоззренческого кризиса.

Спецификой греческой философии, особенно в начальный период ее развития, является стремление понять сущность природы, космоса, мира в целом. Первые греческие философы - Фалес, Анаксимандр, Анаксимен, несколько позднее - пифагорейцы, Гераклит, Эмпедокл и другие - размышляют о происхождении мира, его строении, пытаются постигнуть его начала и причины. Не случайно их так и называли - "физиками", от греческого слова "фюсис" - природа. Направленность интереса ранних греческих мыслителей определялась в первую очередь характером древнегреческой мифологии, традиционных языческих верований и культов. А греческая мифология была религией природы, и одним из важнейших вопросов в ней был вопрос о происхождении мира. Существенное различие между мифологией и философией состояло, однако, в том, что миф повествовал, кто родил все сущее, а философ спрашивал, из чего оно произошло. Гомер в "Илиаде" рассказывает о рождении богов от Океана и Тефиды; в других вариантах мифа у истоков всего сущего стоят Царица Ночь, Мать Земля, подземная река Стикс. В "Теогонии" Гесиода читаем, что раньше всего возник Хаос, затем Земля, Тартар (подземное царство) и Эрос - любовное влечение. Хаос породил Ночь и Мрак, от их любовного союза возникли День и Эфир. Нет надобности детально входить в содержание теогонических мифов, чтобы видеть, что вопрос о возникновении мира - традиционный для древнегреческого сознания. Традиционно и его решение: первое начало мыслитсє как Хаос (бездна), Мрак, Ночь, первобытный океан и т.д.

Поэтому не удивительно, что и ранние греческие философы ищут некое первоначало, фюсис, из которого все произошло: у Фалеса это - вода, у Анаксимена - воздух, у Гераклита - огонь, у Анаксимандра - "беспредельное", которое, судя по всему, мыслилось и как "стихия", и как некоторое первовещество.

Как видим, философское мышление по возможности ищет рациональные (или представляющиеся таковыми) объяснения происхождения мира и его сущности, отказываясь (хотя в начале и не полностью) от характерных для мифологии персонификаций, а тем самым от образа "порождения". На место "порождения" становится "причина", которая постепенно, ко времени Аристотеля, расщепляется на четыре разных вида причин. У Гесиода говорится просто: Хаос родил Мрак, Земля и Небо родили богов и т.д. Аристотель же расщепляет этот акт, вводя четыре причины любой вещи: 1) кто родил? - действующая причина (отец); 2) зачем родил? - целевая причина; 3) из чего родил? - материальная причина (мать); 4) по образцу чего родил? - формальная причина (отцовский род, генетический код отца).

Однако рационализация вступает в свои права постепенно: первоначально природа понимается как начало живое и творящее; само слово "фюсис" происходит от глагола "juw", что значит "рождать", "взращивать". Еще у Фалеса все полно богов, демонов и душ; мир - живое целое, и души в нем - не что-то внешнее, а его органические порождения. Тут опять-таки видны следы языческой мифологии с ее бесчисленными духами гор и полей, лесов, рек и морей, источников и ручьев, которые, с одной стороны, отождествлялись с силами природы, а с другой Ч персонифицировались и представлялись в виде русалок, леших, демонов, оборотней и т.д., стоящих над природой и управляющих ею. Само "первоначало" - вода, воздух, огонь - представляло собой не просто вещество, как его понимает современная физика или химия, а нечто такое, из чего возникает живая природа и все населяющие ее одушевленные существа. Поэтому вода и огонь здесь - это своего рода метафоры, они имеют и прямое, и переносное, символическое значение. Так, например, для греческих натурфилософов характерен вопрос: чем мы мыслим - кровью, воздухом или огнем? Разумеется, говоря о том, что мы мыслим, допустим, огнем, натурфилософ хотел показать, что из всех природных стихий огонь - самая легкая и подвижная, "живая", и в этом его сходство с мышлением: ведь наша мысль не знает пространственных границ и в мгновение может достигать самых отдаленных предметов. Но ведь это - метафора, аналогия, а не логическое понятие. А всякая метафора фиксирует только одну сторону явления, и потому любое явление можно описать с помощью бесчисленного множества метафор, поскольку оно имеет бесчисленное множество сторон. Далее, метафорическое мышление не может быть доказывающим. Натурфилософ может скорее показать, чем доказать. Так, когда Фалес говорил, что все из воды, он мог в качестве аргумента лишь указать на живые существа, которые не могут существовать без влаги.

Уже у первых "физиков" философия мыслится как наука о причинах и началах всего сущего. И хотя в качестве начала каждый из них предлагает свое, однако само требование восходить к началам и из них объяснять устройство космоса, человека, познания - это требование в основном сохраняется у большинства греческих мыслителей.

В этом подходе сказалась специфика древнегреческой философии, ее интерес к проблемам онтологии. Ее центральный мотив - выяснить, что действительно есть, т.е. пребывает неизменным во всех своих изменчивых формах, а что только кажется существующим.

Освобождение от метафоричности мышления, характерной для ранних натурфилософов, предполагало переход от знания, обремененного чувственными образами, к знанию, оперирующему понятиями. Этот переход осуществляется постепенно. Один из этапов здесь - учение пифагорейцев, последователей Пифагора, жившего во второй половине VI-V в. до н.э.

Первоначальное пифагорейство возникло как религиозная община, созданная ее основателем - Пифагором - с целью спасения души; однако в отличие от других религиозных общин-орфиков, позднее - христиан, пифагорейское братство одно из важнейших средств спасения - наряду с аскетической и ритуальной практикой - видело в научно-теоретической деятельности. В результате занятие науками, особенно математикой, получило нравственно-религиозный ореол, какого оно ранее не имело ни на Древнем Востоке, ни в самой Элладе. Видимо, это обстоятельство сыграло немаловажную роль в становлении математики как теоретической науки, а такой она стала именно в Древней Греции, и значение пифагорейской школы в этом процессе становления греческой математики трудно переоценить.

Начало формы

Оглавление Предисловие Глава 1 Глава 2 Глава 3 Глава 4 Глава 5 Глава 6 Темы рефератов Литература Примечания

Конец формы

Глава первая

ПИФАГОРЕИЗМ И ИСТОКИ ДРЕВНЕГРЕЧЕСКОЙ МАТЕМАТИКИ

Отличие древнегреческой математики от математики Древнего Востока

Предпосылки для превращения математики в теоретическую науку, какой мы находим ее в "Началах" Евклида, впервые возникли в Древней Греции. Особенно важную роль в формировании древнегреческой математики сыграла пифагорейская школа. Однако может возникнуть вопрос: почему, исследуя, когда и как возникла математика как наука, мы обращаемся к древнегреческим мыслителям, в то время как уже до греков, в Вавилоне и Египте, существовала математика и, стало быть, здесь и следует искать ее истоки?

Действительно, математика возникла на Древнем Востоке, по-видимому, задолго до греков. Но особенностью древнеегипетской и вавилонской математики было отсутствие в ней (за исключением отдельных элементов) единой системы доказательств, которая впервые появляется именно у греков. "Большое различие между греческой и древневосточной наукой, - пишет венгерский историк науки Арпад Сабо, - состоит именно в том, что греческая математика представляет собой систему знаний, искусно построенную с помощью дедуктивного метода, в то время как древневосточные тексты математического содержания содержат только интересные инструкции, так сказать, рецепты и зачастую примеры того, как надо решать определенную задачу". Древневосточная математика представляет собой совокупность определенных правил вычисления; то обстоятельство, что древние египтяне и вавилоняне могли осуществлять весьма сложные вычислительные операции, ничего не меняет в общем характере их математики.

Эти особенности древневосточной математики объясняются тем, что она носила практически-прикладной характер; с помощью арифметики египетские писцы решали задачи "о расчете заработной платы, о хлебе или пиве и т.д.", а с помощью геометрии вычисляли площади или объемы. "...В обоих случаях вычислитель должен был знать правила, по которым следовало производить вычисление. Но что касается систематического вывода правил для этих расчетов, то о них нет речи, да и не может идти, ибо часто (как, например, при определении площади круга) употребляются только приближенные формулы".

Поскольку древневосточная математика носила практический характер, она не проводила существенного различия между вычислением количества зерна, числа кирпичей или размера площади, т.е. между решением задач, которые впоследствии разделялись бы на арифметические и геометрические. "Центральной задачей математики на ранней стадии ее развития, - пишет Нейгебауэр, - является численное нахождение решения, удовлетворяющего некоторым условиям. На этом уровне нет существенного различия между делением суммы денег согласно определенным правилам или делением поля данного размера на, скажем, участки равной площади. Во всех случаях нужно соблюдать внешние условия, в одном случае условия наследования, в другом - правила для определения площади, или отношения между мерами, или установившиеся нормы оплаты работников. Математическая ценность задачи состоит в ее арифметическом решении, "геометрия" является лишь одним из многих объектов практической жизни, к которым можно применить арифметические методы". В этом отношении характерны специальные тексты, предназначенные для писцов, занимавшихся решением математических задач. Писцы должны были знать все численные "коэффициенты", нужные им для вычислений. В списках "коэффициентов" содержатся "коэффициенты" для "кирпичей", для "стен", затем для "треугольника", для "сегмента круга", далее для "меди", "серебра", "золота", для "грузового судна", "ячменя", для "диагонали", "резки тростника" и т.д.

В Греции мы наблюдаем появление того, что можно назвать теоретической системой математики: греки впервые стали строго выводить одни математические положения из других, т.е. ввели в математику доказательство. "Отдельные математические теории, - пишет историк математики И.Г. Башмакова, - строятся как системы, основанные на доказательстве. Доказательство, система доказательств играют в нашей науке особую роль. Ведь большинство высказываний математики относится к бесконечному множеству объектов. Так, положение о том, что сумма углов треугольника равна 2d, не может быть установлено никаким конечным числом проверок: во-первых, потому, что треугольников бесконечно много и, во-вторых, каждое практическое измерение производится только с некоторой определенной степенью точности. Без доказательства никогда не могла бы быть открыта несоизмеримость величин, а без этого не существовало бы важнейших разделов современной математики. Можно сказать, что математика как наука стала существовать только после систематического введения в нее доказательств" (курсив мой. - П.Г.). Одной из причин того, что математика стала в Древней Греции теоретической наукой, опирающейся на доказательство, был ее тесный союз с философией. Этот союз определил характер не только древнегреческой математики, но и философии, особенно таких ее направлений, как пифагорейство, платонизм, а позднее - неоплатонизм. Не случайно время возникновения философии - конец VI-V вв. до н.э. совпадает с периодом становления теоретической математики.

Надо отметить, что в Древней Греции так же, как и в Вавилоне и Египте, разрабатывалась техника вычислений, без которой невозможно было решать практические задачи строительства, военного дела, торговли, мореходства и т.д. Но важно иметь в виду, что сами греки называли приемы вычислительной арифметики и алгебры логистикой (logistika - счетное искусство, техника счисления) и отличали логистику как искусство вычисления от теоретической математики. Правила вычислений, стало быть, разрабатывались в Греции точно так же, как и на Востоке, и, конечно, греки при этом могли заимствовать очень многое как у египтян, так и в особенности у вавилонян.

О логистике греков, как и о математических вычислениях на Востоке, можно сказать, что она носила практически-прикладной характер. "В состав логистики входили: счет, арифметические действия с целыми числами вплоть до извлечения квадратных и кубических корней, действия на счетном приборе - абаке, операции с дробями и приемы численного решения задач на уравнения первой и второй степени. В логистике рассматривались также приложения арифметики к землемерию и иным задачам повседневной жизни. Сами греки отличали логистику от теоретической арифметики, которую они называли просто арифметикой. Правила логистики излагались догматически и, вообще говоря, не снабжались доказательствами так же, как это было принято в египетских папирусах" (курсив мой. - П.Г.).

Таким образом, в Греции имела место как практически-прикладная математика (искусство счисления), сходная с египетской и вавилонской, так и теоретическая математика, предполагавшая систематическую связь математических высказываний, строгий переход от одного предложения к другому с помощью доказательства. Именно математика как систематическая теория была впервые создана в Греции.

Сравнивая греческую математику с древнеегипетской, голландский историк математики ван дер Варден указывает на ту границу, которая проходит между греками и их восточными предшественниками: "Достоверно, что египетский способ умножения и вычисления с основными дробями греки получили от египтян, а затем развили его до той степени, какую показывает нам Ахмимский папирус эллинистической эпохи. Но вычисление - это еще не математика.

Точно так же греки могли заимствовать у египтян правила вычисления площадей и объемов. Однако такие правила до греков еще не составляли математики; именно они поставили вопрос: как это доказать?"

Надо полагать, что становление математики как систематической теории, какой мы ее находим в евклидовых "Началах", представляло собой длительный процесс: от первых греческих математиков (конец VI-V в. до н.э.) до III в. до н.э., когда были написаны "Начала", прошло более двухсот лет бурного развития греческой науки. Однако уже у ранних пифагорейцев, т.е. на первых этапах становления греческой математики, мы можем обнаружить такие специфические особенности, которые принципиально отличают их подход к математике от древневосточного.

Прежде всего такой особенностью является новое понимание смысла и цели математического знания, иное понимание числа: с помощью числа пифагорейцы не просто решают практические задачи, а хотят объяснить природу всего сущего. Они стремятся поэтому постигнуть сущность чисел и числовых отношений, ибо через нее надеются понять сущность мироздания. Так возникает первая в истории попытка осмыслить число как миросозидающий и смыслообразующий элемент.

То, что у вавилонян и египтян выступало всего лишь как средство, пифагорейцы превратили в специальный предмет исследования, т.е. в цель последнего.

Проблема пифагореизма в научной литературе

Пифагореизм имел свою длительную историю - от основателя школы, полулегендарного Пифагора, младшего современника Фалеса Милетского (VI в. до н.э.), до неопифагореизма эпохи эллинизма (I в. до н.э.-III в. н.э.). Мы не будем входить во все детали развития пифагореизма, поскольку здесь возникает очень много сложных проблем и существует обширная специальная литература. Одной из причин, осложняющей анализ пифагорейской философии и науки в ранний период ее развития, является то обстоятельство, что пифагореизм первоначально существовал как религиозный орден, учения которого должны были оставаться тайной для непосвященных. Разглашение этих учений запрещалось10. Другой причиной, затрудняющей отнесение тех или иных научных открытий к определенному периоду, была характерная для пифагорейцев традиция приписывать эти открытия Пифагору. Тем самым, с одной стороны, открытия как бы освящались его именем11, а с другой - эта традиция служила в глазах пифагорейцев препятствием для честолюбивых помыслов, несовместимых со служением истине.