Резонанс в последовательном контуре

Чтобы вызвать вынужденные колебания, нужно оказывать на систему внешнее периодически изменяющееся воздействие. В случае электрических колебаний это можно осуществить, если включить последовательно с элементами контура переменную ЭДС или подать на контур переменное напряжение (рис.5).

Рис. 5

Цепь, в которой последовательно с ЭДС включенысопротивление R, индуктивность Lи конденсатор С, называется последовательным колебательным контуром. Рассмотрим процессы в этом контуре.

По второму правилу Кирхгофа

или . Разделив на L, получаем уравнение вынужденных колебаний

(2)

Частное решение этого уравнения

(3)

где Подставим и :

Общее решение получится, если к частному решению (3) прибавить общее решение однородного дифференциального уравнения, которое было получено в предыдущем параграфе. Оно содержит множитель , который очень быстро убывает, и при прошествии достаточно большого времени им можно пренебречь. Таким образом, установившиеся вынужденные электромагнитные колебания в контуре описываются уравнением (3).

Силу тока в контуре при установившихся колебаниях найдем, продифференцировав (3) по времени:

где - сдвиг фаз между током и приложенным напряжением. Тогда

Из этого выражения следует, что ток отстает по фазе от напряжения ( )при . И опережает напряжение ( ) при . Для силы тока можно записать

. (4)

Представим соотношение (2) в виде: . Произведение - падение напряжения на активном сопротивлении; - падение напряжения на конденсаторе; – напряжение на индуктивности; тогда можно записать

. (5)

Таким образом, сумма напряжений на отдельных участках контура равна в каждый момент времени напряжению, приложенному извне.

Согласно (4) - напряжение на активном сопротивлении совпадает по фазе с током в контуре.

Для напряжения на конденсаторе, подставив (3), имеем – напряжение на ёмкости отстаёт от силы тока на π/2.

Напряжение на индуктивности

,

где ,– напряжение на индуктивности опережает ток на π/2.

Фазовые соотношения можно представить наглядно с помощью векторной диаграммы. Действительно, гармонические колебания можно задать с помощью вектора, длина которого равна амплитуде колебаний , а направление вектора образует с некоторой осью угол, равный начальной фазе колебаний. Возьмём в качестве прямой, от которой отсчитывается начальная фаза, ось токов (рис. 6).

Рис. 6

совпадает по фазе с током, – отстаёт на π/2), – опережает на π/2. Векторы , , в сумме дают , причём Uопределяется выражением (5).

При определенной частоте внешнего воздействия в контуре наступает резонанс. Резонансная частота для напряжения на конденсаторе и для заряда qравна:

Резонансные кривые для имеют вид, представленный на рис.7. Все резонансные частоты . При ω→0 резонансные кривые сходятся в одной точке – это напряжение на конденсаторе при подключении его к источнику постоянного напряжения . Максимум при резонансе тем острее и выше, чем меньше затухание β=R/2L, то есть чем меньше Rи больше L. Ход резонансной кривой аналогичен резонансной кривой при механических колебаниях.

Рис. 7

Резонансные кривые для тока приведены на рис. 8.

Амплитуда силы тока имеет максимальные значения, когда , то есть резонансная частота для силы тока совпадает с собственной частотой колебаний контура:

Рис. 8

При ω→0 сила тока уменьшается до нуля, так как при постоянном напряжении установившийся ток в цепи с конденсатором течь не может.

При малом затухании ( ) резонансную частоту для напряжения можно считать равной . Тогда отношение амплитуды напряжения на конденсаторе при резонансе к амплитуде внешнего напряжения равно:

– то есть добротность контура показывает, во сколько раз напряжение на конденсаторе может превышать приложенное напряжение.

Итак, при резонансе причём поэтому

– амплитуды напряжений на ёмкости и индуктивности равны между собой, но противоположны по фазе. Поэтому напряжения на ёмкости и индуктивности компенсируют друг друга, и цепь ведёт себя как цепь только с активным сопротивлением. Вся энергия, приложенная к контуру идёт, на Ленц-Джоулево тепло. Ток в цепи достигает максимального значения. Это резонанс напряжений – индуктивного и емкостного .