Определение положения нейтральной оси.

СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ

М Е Т О Д И Ч Е С К И Е У К А З А Н И Я

к выполнению контрольных работ по сопротивлению материалов для студентов заочной формы обучения строительных специальностей.

Часть2.

Сложное сопротивление. Кривой брус. Устойчивость. Удар.

Брянск 2011

доцент, к.т.н. В.М. Захаров

Рецензент: доцент, к.т.н., зав. кафедрой СК БГИТА С.Г. Парфенов

Рекомендованы учебно-методической комиссией строительного факультета

Протокол от .

К ЗАДАЧЕ № 8

ВНЕЦЕНТРЕННОЕ СЖАТИЕ

Короткий чугунный стержень, поперечное сечение которого изображено на рисунке 8.1, сжимается продольной силой Р, приложенной в точке А.

Требуется:

1.Выразить наибольшее растягивающее и наибольшее сжима­ющее напряжения в поперечном сечении через силу Р и размеры сечения.

2.Найти допускаемую нагрузку [Р] при допускаемых напряже­ниях для чугуна на сжатие [σ_с]=1000 МПа (кгс/см²) и на растяжение [σ_р]= 300 МПа (кгс/см²) .

3.Определить положение нейтральной оси и построить эпюру напряже­ний вдоль линии, перпендикулярной к нейтральной оси,

В общем случае внецентренного сжатия, когда точка приложения силы Р не лежит ни на одной ив главных осей инерции, через каждое поперечное сечение стержня передаются продольная сила М=-Р и изгибающие моменты М_х=Р·х_Р и М_у=Р·у_Р (рисунок 8.1в), то есть внецентренное сжатие стержня можно представить комбинацией центрального сжатия и косого изгиба.

Напряжение в произвольной точке поперечного сечения с коорди­натaми x и у для рассматриваемого случая внецентренного сжатия определяется по формуле:

σ= - - = - - - =

=- (1 + + ). (8.1)

Так как это уравнение плоскости, то максимальные напряжения будут в точках, наиболее удаленных от нейтральной оси, уравнение которой имеет вид: :

(1 + + ) = 0. (8.2)

Здесь x и у - координаты точек нейтральной оси;

x_Р и у_Р - координаты точки приложения силы Р (точки А);

J_х и J_у - главные центральные моменты инерции сечения;

i_х и i_у - радиусы инерции относительно глазных центральных осей.

Провести нейтральную ось можно, вычислив координаты точек, в которых она пересекает главные центральные оси по формулам:

a_x = - ; a_y = - . (8.3)

Можно поступить иначе. Поскольку нас интересует лишь направление нейтральной осн. можно определить угол ее наклона по отношению к оси X по формуле, известной из теории косого изгиба: tg α = tg φ · . (8.4)

Здесь tg φ = x_P/у_P, определяющий направление силовой линии ОА по от­ношению к оси У, нам известен. В нашем примере без определения нап­равления нейтральной оси можно определить лишь точку, в которой воз­никает наибольшее сжимающее напряжение (это точка 1). Наибольшее же растягивающее напряжение возникает либо в точке 2, либо в точке 3, в зависимости от того, какая из них окажется более удаленной от нейт­ральной оси (рисунок 8.1а).

Определение положения центра тяжести сечения

Центр тяжести "О" лежит на оси X, являющейся осью симметрии сечения. Вспомогательной осью для определения положения центра тяжести на этой оси выбираем ось У.

Площадь сечения:

F = F₁ + F₂ = 3·8 + 6·4 = 24 + 24 = 48 см².

Статический момент относительно оси y₁:

S_y1 = F₁·0 + F₂·x_1c2 = F·x₁₍₀₎,

откуда

x₁₍₀₎ = = = = 2,25 cm.

Рисунок 8.1,

Вычисление главных центральных моментов и радиусов инерции.

Главными центральными осями являются: ось X и перпен­дикулярная к ней ось У.

J_Х = J^Ix1 + J^IIx2 = + = 128 + 32 = 160 см⁴.

Jy = J^Iy1+ F₁·m₁² + J^IIy2+ F₂·m₂² + + 24·2,25² + + 24·2,25² = 333 см⁴.

i_x² = = = 3,34 см²; iy² = = = 6,95 см²

Определение положения нейтральной оси.

а) Определяем отрезки, отсекаемые нейтральной осью на главных осях по формулам (8.3):

a_y = - = - = - 1.57 см.

a_x = - = - = - 9.28 см.

Знак минус означает, что эти отрезки следует отложить в сторону, про­тивоположную выбранным направлениям отсчетов координат. Чем ближе рас­положена точка приложения силы к центру тяжести сечения, тем дальше от центра отодвигается нейтральная ось, т.е. тем меньше становится зона растяжения.

б) Определяем направление нейтральной оси по формуле (8.4) (в этом случае не нужно вычислять i_x, i_y, а_х и а_у):

tg φ = = = 0б375;

tg α = tg φ · = 0,375· = 0,180;

α = 10° 13'.

8.4. Определение опасных точек, запись условий прочности и определение допускаемой нагрузки.

По построению (рисунок 8.1а) видно, что наиболее удален­ными от нейт­ральной оси являются точки 1 (х=3,75 см; у=4 см) и 2 (х=0.75 см; у=-4 см).

В т. 1, как уже отмечалось, возникает наибольшее сжимающее напряже­ние. В т. 2 возникает растягивающее напряжение, большее, чем в т. 3, несмотря на то, что в ней растяжение создает лишь момент М_х, а в т. 3 возникает растяжение от обоих моментов (см. рис. 8.1в).

Условия прочности:

а) на сжатие: max σ_с = | σ₁ | = (1 + + ) ≤[σ],

(1 + + ) ≤ 100·10⁶,

P₁ · 793 ≤ 100·10⁶,

откуда

P₁ ≤ = 126000 Н = 126 кН (12600 кгс);

б) на растяжение:
max σ_р = σ₂ = (1 + + ) ≤[σ],

(1 + + ) ≤ 30·10⁶

P₂ · 275 ≤ 30·10⁶,

откуда

P₂ ≤ = 109000 Н = 109 кН (10900 кгс);

Из найденных двух значений берем меньшее.

Итак, [P]= 109 кН.

Построение эпюры напряжений

Построение эпюры напряжений вдоль линии, перпенди­куляр­ной к нейтральной оси, показано на рисунке 8.1б.

Его можно выполнить различными способами.

Одной из ординат эпюры является отрезок, пропорциональный напряжению max σ_р = σ₂ = 30 МПа.

В качестве второй точки для проведения эпюры может служить либо ну­левая точка, принадлежащая нейтральной оси, если таковая определялась (пункт 8.За), либо ордината, соответствующая напря­же­нию в центре тяжес­ти сечения σ₀ = - P/F = 109000/(48·10^-4) =

=- 22,8·10⁶ Па = - 22,8 МПа (- 228 кгс/см²), если определялось лишь направление нейтральной оси (пункт 8.Зб).

Наибольшее сжимающее напряжение max σ_с определится на эпюре автома­тически, но для контроля его можно вычислить, используя данные пункта 8.4а.

max σ_с = σ₁ =109000·793 = 86,9 ·10⁶Па = 86,9 МПа (869 кгс/см²),

На рисунке 8.1г показана пространственная эпюра напряжений в.попереч­ном сечении стержня. Для ее построения ординаты, соответствующие всем угловым точкам, взяты по эпюре, показанной на схеме 8.1б. Конечно, их можно подсчитать также по формуле (8.1).

σ₃ = - (1 + + ) = (1 + +

) = 17,4·10⁶ Па = 17,4 МПа (174 кгс/см²);

σ₄ = - (1 + + ) = (1 + +

) = -37,2·10⁶ Па = -37,2 МПа (-372 кгс/см²);

σ_А = - (1 + + ) = (1 + +

) = -79,2·10⁶ Па = -79,2 МПа (-792 кгс/см²);

σ₅ = - (1 + + ) = (1 + +

) = -79,2·10⁶ Па = -79,2 МПа (-792 кгс/см²);

σ₆ = - (1 + + ) = (1 + +

) = 24,4·10⁶ Па = 24,4 МПа (244 кгс/см²);

σ₇ = - (1 + + ) = (1 + +

) = 2,67·10⁶ Па = 2,67 МПа (26,7 кгс/см²);

К ЗАДАЧЕ № 9